Задачи для самостоятельной работы

Задача. Рассматривается бездефицитная система управления запасами с мгновенным пополнением. Затраты на хранение единицы запаса определяются по следующей формуле: для ,,, ,. Определить оптимальный размер партии при оптовой скидке, величине спроса=5*, постоянных издержках =23* и =12*. Построить график суммарных издержек.

10.5 Классическая дискретная детерминированная задача управления запасами

Идеальное представление о непрерывности спроса во времени вполне разумно постольку, поскольку выдача запасов невелика по сравнению с разовыми количествами произведенной или закупленной продукции. Но это предположение перестает быть справедливым в случае «медленно оборачивающихся запасаемых объектов», когда классическая формула определения наиболее выгодного размера партии уже непригодна. В то же время соображения об оптимальном размере партии могут оказаться особенно важными для медленно оборачивающихся объектов. Сюда относится решение вопроса о том, стоит ли вообще создавать запасы данного объекта. Таким образом, мы вынуждены приспособить классическую модель к случаю дискретного спроса.

Поскольку рассматриваются статические модели, предположим, что через постоянные интервалы времени, которых в единицу времени имеется , возникает спрос, равный. Очевидно, что при установлении размера заказа можно ограничиться числами, кратными спросу:

(10.6)

Кроме того, можно предположить, что возникновение затрат во времени всегда совпадает с одной из «точек спроса». Следовательно, средний уровень запасов равен , и издержки содержания запасов в единицу времени составляют

(10.7)

Задача оптимизации теперь сводится к нахождению целого , минимизирующего. Очевидно, искомое число есть одно из двух целых чисел, соседних с действительным числом:

. (10.8)

Искомое число можно найти путем подстановки двух целых чисел в (10.8). Разница между двумя вариантами обычно незначительна; поэтому может быть округлено до ближайшего целого числа.

Решение означает, что данный объект должен производиться для непосредственного удовлетворения спроса, а не на склад.

Прежде чем определять по формуле (10.8) для большого числа наименований объектов, может оказаться полезным выявление объектов, которые вообще не следует запасать. Очевидно, необходимое и достаточное условие для отказа от включения в запас описывается неравенством

(10.9)

или

. (10.10)

Откуда

. (10.11)

Эти значения легко представить в табличной форме для широких диапазонов измерения параметров.

10.6 Задача управления производством и запасами в случае сезонного спроса

Рассмотрим положение производителя сезонного продукта, который должен распланировать помесячно выпуск этого продукта на целый год. График предполагаемого спроса на этот год изображен на рис. 10.7

Рисунок 10.7 – График предполагаемого сезонного спроса

Предприниматель обязан ежемесячно удовлетворять потребности, определяемые этим графиком. Он может обеспечить месячный спрос, либо производя полностью требуемое количество в течении того же месяца, либо производя часть этого количества и покрывая разницу за счет перепроизводства в предыдущих месяцах.

Построим математическую модель этой задачи планирования производства. В начале первого месяца предприниматель имеет на складе определенное количество, скажем , продукта, оставшегося от предыдущего производства. Если (в будущем) предполагается производить продукт нового типа, то считаем. Пусть

- число единиц продукта, произведенного в течении -го месяца, т.е. выпуск продукции;

- необходимое в -м месяце количество единиц продукта, т.е. потребность;

- число не использованных после -го месяца единиц продукта, т.е. запас.

По самому существу задачи имеем для всех значений. Для первого месяца производствои предшествующий запас продуктадолжны быть таковы, чтобы сумма их была более или менее равна потребности. Отсюда следует соотношение

(10.12)

Если (10.12) удовлетворяется как равенство, то запас после первого месяца должен быть равен нулю. Если имеет место неравенство, то . В обоих случаях имеем

,

или

.

Для второго месяца производство и предшествующий запасв сумме должны быть более или равны потребностям второго месяца. Имеем тогда

или

.

Вообще, производство , запаси потребностьсвязаны соотношением

. (10.13)

Предприниматель стремиться свести к минимуму колебания графика выпуска и достичь гладкости процесса производства. Разность между любыми двумя последовательными месячными выпусками продукции, скажем , будет представлять соответственно расширение или свертывание производства. Так как любое число может быть представлено в виде разности двух неотрицательных чисел. полагаем

, (10.14)

где представляет расширение производства и- его свертывания. Сопоставляя (10.13) и (10.14), получаем основные уравнения этой модели:

(10.15)

здесь и. Если в конце года желательно свести к нулю окончательный излишек продукта, полагаем. В зависимости от условия моделии.

При известных значениях

- издержки хранения единицы продукта

- стоимость расширения производства на единицу продукта.

целевую функцию можно записать в виде:

. (10.16)