Упражнения
1. Решить рассмотренный в п. 8.2 пример, используя стратегию «левостороннего обхода дерева вариантов».
В программной реализации алгоритма метода ветвей и границ для решения задачи коммивояжера используется, как правило, левосторонний обход дерева вариантов. Отметьте преимущество этой стратегии в данном случае.
Решите задачу коммивояжера с матрицей:
|
a) |
b) |
|
|
|
|
Ответ: 1-4-6-7-3-5-2-1, L=126.
|
Ответ: 4-3-5-6-2-1-4, L=63.
|
|
с) |
d) |
|
|
|
|
Ответ: 3-1-6-5-4-2-3, L=39.
|
Ответ: 2-1-5-3-4-6-2, L=26.
|
Задания для самостоятельной работы
Определить
оптимальный маршрут в задаче с 6 городами
и матрицей затрат, построенной по
следующему правилу: Cij
= 7+(a+b+c)
|
№ варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
ai |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
2 |
2 |
2 |
2 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
2 |
3 |
3 |
3 |
2 |
1 |
|
bi |
1 |
0 |
1 |
2 |
2 |
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
3 |
3 |
0 |
0 |
3 |
1 |
2 |
3 |
0 |
1 |
|
ci |
1 |
1 |
0 |
1 |
2 |
1 |
2 |
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
2 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
9. Оптимизация на сетях
9.1 Задача о кратчайшем пути
Задача о кратчайшем пути состоит в нахождении связанных между собой дорог на транспортной сети, которые в совокупности имеют минимальную длину от исходного пункта до пункта назначения.
М
атематическая
модель для задачи о кратчайшем пути
строится следующим образом.
Каждая переменная соответствует дуге.
Каждое ограничение соответствует узлу.
Запишем задачу о кратчайшем пути как задачу линейного программирования.
Пусть
,
- длина дуги
.
Тогда
(9.1)
, (9.2)
, (9.3)
. (9.4)
Ограничения (9.2) и (9.3) отражают требования того, что в искомом пути из входа выходит одна дуга и в выход заходит одна дуга. Ограничение (9.4) обеспечивает равенство числа заходящих и выходящих в любую промежуточную вершину дуг.
Очевидно, что для дуг, вошедших в кратчайший путь, должно выполняться равенство:
,
для всех остальных дуг критерий правильности решения
.
Если же
,
для которых
,
то задача поиска кратчайшего пути не
решена, найденный путь требует пересмотра.
В данном случае вычисляются новые
и снова проверяется выполнение критерия
оптимального решения.
Алгоритм решения задачи о кратчайшем пути
По заранее заданной сети выписывается матрица расстояний между всеми узлами сети. Если дуга, соединяющая узлы, отсутствует (отсутствует путь, ведущий из
-го
пункта в
-й),
то в матрице расстояний ставится знак
запрета данного пути.Пусть
-
сумма длин дуг, образующих цепь, ведущую
из узла 1 в узел
.
Положим
и
,
если
.
При условии, что
и
соединены дугой, величина
определяется как
.
Процесс начинается с
и
.Определяется кратчайший путь. Проверяется выполнение неравенства
,
при этом выделяют те элементы матрицы,
для которых данное неравенство
выполняется как равенство. Если для
,
то между узлами не существует более
короткого пути. Переход к п.5.. Если
,
для которых
,
вычисляются новые значения
,
используя формулу
.
Меняются
и
для
на
.
Повторяется п.2 с новыми значениями
и
.Полученные
определяют кратчайшее расстояние между
узлами 1 и
.
По выделенным элементам матрицы
выписывается кратчайший путь.
Пример. Рассмотрим сеть
Сеть содержит циклы, возникающие из-за возможности двустороннего движения. Если дуга ориентирована, (т.е. движение одностороннее), расстояние в другом направлении полагается равным .
Занесем данные в
матрицу расстояний, где строка
(столбец
)
представляет узел
(узел
).
-
i j
1
2
3
4
5
6
7
1
2
8
11
9
0
2
4
3
5
1
2
3
1
4
2
5
4
5
9
2
23
11
5
2
7
9
7
6
8
3
5
1
10
3
7
10
4
2
13
j0
2
5
11
7
3
13
Исходные величины
и
определяются следующим образом. Пусть
.
При использовании формулы
осуществляется
последовательное обращение к величинам
и
по мере того, как они становятся
доступными.
При переходе к
шагу 2 проводится проверка условия
оптимальности путем сравнения
с
.
При этом выделяются те элементы, для
которых
=
.
-
i j
1
2
3
4
5
6
7
1
2
8
11
9
0
2
4
3
5
1
2
3
1
4
2
5
4
5
9
2
23
11
5
2
7
9
7
6
8
3
5
1
10
3
7
10
4
2
13
0
2
5
11
7
3
13
В процессе реализации
алгоритма обнаруживается, что условие
оптимальности первый раз нарушается
при
для
и 5. Величины
и
меняются следующим образом:
После этого
повторяется шаг 2 с измененными значениями
и
-
i j
1
2
3
4
5
6
7
1
2
8
11
9
0
2
4
3
5
1
2
3
1
4
2
5
4
5
9
2
23
11
(8)
5
2
7
9
7
(4)
6
8
3
5
1
10
3
7
10
4
2
13
0
2
5
11
7
3
13
(8)
(4)
Из последней
таблицы видно, что в новых изменениях
нет необходимости, и поэтому последние
измененные величины
дают длину кратчайшего пути от 1 до
.
Кратчайшее расстояние между узлами 1 и
7 равно
(=13).
Найдем участки
кратчайшего пути между узлами 1 и 7.
Определение участков пути должно
начинаться с узла 7. Из столбца 7 видно,
что равенство выполняется (подчеркнутый
элемент) при
и
,
т.е. либо узел 5, либо узел 6 соединены с
7 (альтернативные решения). Аналогичные
исследования для 5 и 6 узлов дадут
и
.
Будем продолжать эту процедуру до тех
пор, пока не вернемся в первый узел.
Таким образом, кратчайший путь имеет вид:
