1.11. Простейшие свойства определителя.

. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

. При транспонировании квадратной матрицы значение определителя не меняется, т.е. .

. При перестановке двух столбцов (строк) в матрице ее детерминант меняет знак.

. Определитель, имеющий два одинаковых столбца(строки), равен нулю.

. Если одна из строк(столбцов) матрицы полностью состоит из нулей, то ее определитель равен нулю.

. Общий множитель у всех элементов столбца (строки) можно вынести за знак определителя, т.е. при умножении строки (столбца) матрицы на число ее определитель умножается на это число.

. Если одна строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией других ее строк (столбцов), то определитель матрицы равен нулю.

. Если к какой-либо строке (столбцу) матрицы прибавить линейную комбинацию других ее строк (столбцов), то ее определитель не изменится.

. Если элементы -го столбца матрицыпредставляют собой линейную комбинацию вида, то, где матрицыиполучаются из матрицыпутем замены-го столбца на элементыи.

. Если в определителе выбрать какую-либо строку (столбец), то определитель равен сумме произведений элементов этой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

-

разложение по i -й строке,

-

разложение по j-му столбцу.

. Сумма произведений какой либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой его строки (столбца) равна нулю.

. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей, т.е. .

2. Основные методы вычисления определителей.

2.1. Метод приведения к треугольному виду. Этот метод состоит в преобразовании определителя к такому виду, когда элементы, стоящие по одну сторону от главной (побочной)диагонали, равны нулю. Последний определитель равен произведению элементов главной диагонали (побочной диагонали, умноженному на ).

2.2. Метод представления определителя в виде суммы определителей. Этот метод применяется к тем определителям, которые легко вычисляются разложением на сумму определителей того же порядка относительно столбцов или строк.

2.3.Метод изменения элементов определителя. Этот метод эффективен в том случае, когда изменение всех элементов определителя на одно и тоже число приводит его к виду, позволяющему легко вычислить сам определитель и все его алгебраические дополнения.

2.4. Метод рекуррентных соотношений. Этот метод позволяет выразить данный определитель, преобразуя и разлагая его по строке или столбцу, через определители того же вида, но более низкого порядка. Полученное равенство называется рекуррентным соотношением.

20