Определители

1.Выражение определителя через элементы матрицы

1.1. Перестановки. Упорядоченная совокупность чисел , в которой

1) ,;

2) при,

называется перестановкой из чисел .

Перестановка называетсянатуральной. Преобразование перестановки, при котором два ее числа ис номерамименяются местами, называетсятранспозицией.

1.2. Говорят, что два числа ив перестановкеобразуютинверсию (беспорядок), если большее из них предшествует меньшему, т.е. если при, ипорядок – в противном случае, т.е. если при. Перестановка называетсячетной, если общее число инверсий в ней четно, и нечетной – в противном случае. Общее число инверсий в перестановке обозначается символамиили.

1.3.Теорема. Число всевозможных перестановок из чисел равно.

1.4. Теорема. Каждая транспозиция меняет четность перестановки.

1.5. Рассмотрим систему величин (или), которые по определению раны нулю, если содержат два или большее число равных индексов, и равны +1 или -1, в зависимости от того, четная или нечетная перестановка. Данные символы называютсясимволами Леви-Чивитта. Можно сказать, что

,

и при одинаковых значениях индексовравен нулю.

Символ =, еслиесть некоторая перестановка значений индексов, считая, что все эти значения различны; при этом берется +1, если перестановка четная и -1, если нечетная. Во всех остальных случаях=0 ( т. е. если среди значенийили среди значенийесть одинаковые, а также среди значенийесть такие, каких нет средии наоборот). Данный символ называетсяобобщенным символом Кронекера (альтернатором). Имеем

=,

=.

1.6. Пусть А – квадратная матрица - го порядка. Рассмотрим произведение элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.

Заметим, что в этом произведении сомножители упорядочены в порядке возрастания номеров строк, при этом номера столбцов образуют перестановку из чисел, так какипри. Произведений такого вида в матрицестолько, сколько существует перестановокизчисел, т.е..

Определителем (детерминантом) квадратной матрицы -го порядка называется сумма произведений элементов матрицы, выбранных по одному из каждого столбца и каждой строки, причем если сомножители в этом произведении упорядочены в порядке возрастания номеров строк, то оно берется со знаком плюс в случае четной перестановки номеров столбцов и со знаком минус в случае нечетной перестановки.

Обозначение:

Итак,

,

где суммирование ведется по всевозможным перестановкам .

С помощью введенного обобщенного символа Кронекера, определитель может быть записан в одном из двух видов:

или

.

1.7. Вычислим определитель второго порядка

.

По определению альтернатора ,,,. Поэтому для определителя второго порядка имеем

,

или в другой записи

.

1.8. Для определителя третьего порядка:

=

.

1.9. Если в квадратной матрице зачеркнуть-строку и-столбец, то получим матрицу-го порядка. Определитель этой матрицы называетсяминором элемента определителя матрицыи обозначается через.

1.10. Алгебраическим дополнением элемента определителя матрицыназывается величина.