Формула прямоугольников

Что такое интеграл? Это предел интегральных сумм. Если взять достаточно мелкое равномерное разбиение отрезка и построить интегральную сумму, то ее можно взять в качестве приближенного значения интеграла.

, (2.3)

где .

Формула (2.3) называется формулой прямоугольников. В зависимости от способа выбора получают различные варианты формулы:

• При получаем формулу левых прямоугольников.

• При получаем формулу правых прямоугольников.

• При получаем формулу средних прямоугольников.

Так, формула левых прямоугольников имеет вид:

. (2.4)

Название формулы прямоугольников связано с ее геометрической интерпретацией: площадь подинтегральной фигуры приблизительно равна сумме площадей прямоугольников (рисунок № 3).

Рисунок 2. Геометрический смысл метода левых прямоугольников

Формула прямоугольников позволяет вычислить приближенное значение интеграла с относительно большой погрешностью:

, где .

Если на отрезке существует, то для погрешностисуществует оценка:

. (2.5)

Данное неравенство показывает, что с возрастанием nпогрешность убывает не медленнее, чем.

Например, погрешность значения интеграла при в 100 раз меньше погрешности при.

Выводы:

• Чем больше параметр разбиения n, тем формула точнее.

• При формула дает точное значение интеграла.

Алгоритм программы метода прямоугольника

• В качестве констант можно задать количество точек разбиения Nи границы отрезка интегрирования.

• Шаг разбиения Hопределяется переменной вещественного типа, также нам понадобится вспомогательные переменнаяKцелого типа (для оператора цикла) и переменнаяIntegralдля хранения приближенного значения интеграла. Для определения координаты точки разбиения используется переменнаяXвещественного типа.

• Подинтегральную функцию лучше всего задать в программе с помощью оператора функции Function.

• В начале программы следует вычислить шаг разбиения по формуле H:=(B-A)/N;

• Начальное значение интеграла Integralравно 0.

• Для вычисления приближенного значения интеграла по формуле левых прямоугольников (2.4) нам потребуется выполнить одну и ту же операцию (суммирование) заданное количество раз. Для этого можно использовать цикл с параметром. Параметр Kменяется от 0 доN-1.

• В цикле мы должны увеличивать значение переменной Integralна.

• Для этого в текст программы вставим две команды. Первая считает координаты очередной точки разбиения X:=A+K*H;Вторая команда имеет вид:Integral:=Integral+F(X);Обе команды должны выполняться в цикле, поэтому их необходимо объединить в составной операторbegin..end.

• Для окончательного вычисления интеграла нам необходимо умножить значение переменной Integral(в формуле это сумма элементов в квадратных скобках) на шаг разбиения:Integral:=Integral*H;

• Заключительный шаг алгоритма - вывести полученное решение на экран.

Формула трапеций

Формула трапеций имеет вид:

. (2.6)

Формулу трапеций проще всего получить из геометрического смысла операции интегрирования (рисунок № 4). Интеграл равен площади фигуры, ограниченной подинтегральной функцией и осями координат. Данная площадь приблизительно равна сумме площадей трапеций.

Площадь k-той трапеции равна

. (2.7)

Поэтому имеем

.

Т.е. получили формулу (2.6).

Если на отрезке существует, то для погрешности метода трапецийсправедлива оценка:

. (2.8)

Т.о. формулы прямоугольников и трапеций характеризуются погрешностью одного класса⁶, но погрешность у метода трапеций в 2 раза больше.

Рисунок 3. Геометрический смысл метода трапеций

Примерфрагмента программы для вычисления интеграла по формуле трапеций. Предполагается, что ранее были определены все соответствующие переменные и подинтегральная функцияF(x).

H:=(B-A)/N;

Integral:=F(A)+F(B);

For K:=1 to N-1 do

begin

X:=A+K*H;

Integral:=Integral+2*F(X);

end;

Integral:=Integral*H/2;