Лабораторная работа. Расчет статистических характеристик большой выборочной совокупности через моменты Расчет моментов
Моментом распределения называется среднее из отклонений индивидуальных значений признака от определенной величины. Показатель степени определяет порядок момента, например, первая степень показывает, что рассчитывается момент первого порядка, вторая степень – рассчитывается момент второго порядка и т.д. На практике используют, как правило, только моменты четырех порядков.
Понятие моментов случайной величины является обобщением основных числовых характеристик случайных величин. Различают моменты двух видов: начальные и центральные.
Таблица 6
Расчет начальных моментов
|
х |
n |
Ах |
а |
an |
a2n |
a3n |
a4n |
|
9,95 |
6 |
|
-3 |
-18 |
54 |
-162 |
486 |
|
11,65 |
18 |
|
-2 |
-36 |
72 |
-144 |
288 |
|
13,35 |
22 |
|
-1 |
-22 |
22 |
-22 |
22 |
|
15,05 |
31 |
15,05 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
16,75 |
25 |
|
1 |
25 |
25 |
25 |
25 |
|
18,45 |
20 |
|
2 |
40 |
80 |
160 |
320 |
|
20,15 |
17 |
|
3 |
51 |
153 |
459 |
1377 |
|
21,85 |
4 |
|
4 |
16 |
64 |
256 |
1024 |
|
23,55 |
3 |
|
5 |
15 |
75 |
375 |
1875 |
|
|
146 |
|
|
71 |
545 |
947 |
5417 |
В этой таблице Ах – условное среднее значение, за которое принимается среднее значение класса с наибольшим числом вариант,
а – начальное отклонение – рассчитывается по формуле:
,
где k
- величина
классового интервала (размер класса).
Начальный момент первой степени равен:
Начальный момент второй степени равен:
Начальный момент третьей степени равен:
Начальный момент четвертой степени равен:
При расчете начальных моментов необходимо соблюдать высокую точность, так как ошибка при округлении повлечет за собой неверные расчеты всех характеристик выборочной совокупности.
Расчет центральных и основных моментов
Центральные моменты рассчитываются с использованием начальных.
Центральный момент
первой степени всегда равен нулю,
поскольку вычисляется как
Центральный момент второй степени рассчитывается через начальные моменты по формуле:
Центральный момент третьей степени рассчитывается через начальные моменты по формуле:
Центральный момент четвертой степени рассчитывается через начальные моменты по формуле:
Для практического применения рассчитываются основные моменты статистических величин, которые характеризуют отклонение фактических данных от нормального типа распределения:
;
;
Основной момент третьей степени характеризует асимметричность распределения, а основной момент четвертой степени – крутость графика распределения.
Практическая работа. Расчет статистических характеристик при помощи моментов
При помощи моментов статистических величин легко рассчитать все основные характеристики вариационного ряда.
1. Средняя арифметическая величина:
,
где Ах – условное среднее значение (см. расчет начальных моментов);
k – размер класса по ряду х (см. разбивка большой выборки на классы);
m1 – начальный момент первой степени.
2. Показатели изменчивости выборочной совокупности:
- дисперсия учитывает отклонение каждого из значений выборки от среднеарифметической величины:
- основное отклонение представлено в тех же единицах измерения, что и среднеарифметическая величина и рассчитывается в двух вариантах:
а) неполное – без учета размера класса
б) полное – с учетом размера класса
- коэффициент изменчивости представлен в процентном выражении и позволяет судить о степени изменчивости вне зависимости от абсолютных значений выборки:
По величине коэффициента изменчивости можно сделать вывод о степени вариации в пределах выборки. Общеприняты следующие придержки: C≤10% - низкое варьирование; 10%<C≤30% - среднее варьирование; C>30% - высокое варьирование. На основании этих придержек следует сделать вывод о степени варьирования. В данном примере мы имеем среднюю степень изменчивости в выборке.
3. Показатели отклонения графика от нормального распределения.
График нормального распределения имеет колоколообразный вид и симметричен относительно среднеарифметического значения. Но идеальная форма нормального распределения встречается редко. Как правило, график отклоняется вправо или влево, а также вверх или вниз.
- асимметрия характеризует отклонение графика вправо или влево от средней величины.
- эксцесс характеризует крутость графика распределения
4. Точность опыта показывает, можно ли доверять результатам, полученным при данном коэффициенте изменчивости по данному количеству наблюдений.
Показатель точности опыта до 1% - очень высокий, до 5% - высокий, до 10% - нормальный.
5.Основные ошибки статистических величин показывают пределы возможного отклонения выборочных показателей от одноименных показателей генеральной совокупности:
- основная ошибка средней величины:
- основная ошибка среднеквадратического отклонения:
- основная ошибка асимметрии:
- основная ошибка эксцесса:
6. Достоверность показателей оценивается по соотношению значения показателя и величины его основной ошибки. Показатель считается достоверным, при значении критерия больше 3.
- критерий достоверности среднеарифметической величины:
;
- критерий достоверности среднеквадратического отклонения:
;
- критерий достоверности асимметрии:
;
- критерий достоверности эксцесса:
