Лабораторная работа. Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов позволяет получить уравнение регрессии без использования графика. График необходим только для определения типа уравнения.

По данному методу рассчитываются уравнения практически любой сложности. Для получения коэффициентов уравнения необходимо рассчитать одну из приведенных систем:

Для уравнения у = а + bx

Для уравнения у = а + bx + cx²

Для уравнения у = а + bx + cx² + dx³

В зависимости от сложности необходимого уравнения составляется таблица сумм, в которой рассчитываются суммы, используемые в системе уравнений.

В нашем примере достаточным является уравнение кривой второго порядка: у = а + bx + cx²

Таблица 19

Расчет сумм квадратов

х	nх	nхx	уфакт	nхyфакт	nхxyфакт	nхx2	nхx2yфакт	nхx3	nхx4
9,95	6	59,70	0,0089	0,0534	0,53133	594,01500	5,28673	5910,449	58808,970
11,65	18	209,70	0,0100	0,1802	2,09933	2443,00500	24,45719	28461,008	331570,746
13,35	22	293,70	0,0139	0,3058	4,08243	3920,89500	54,50044	52343,948	698791,709
15,05	31	466,55	0,0183	0,5659	8,51680	7021,57750	128,17776	105674,741	1590404,858
16,75	25	418,75	0,0225	0,5625	9,42188	7014,06250	157,81641	117485,547	1967882,910
18,45	20	369,00	0,0272	0,5430	10,01835	6808,05000	184,83856	125608,523	2317477,240
20,15	17	342,55	0,0315	0,5363	10,80645	6902,38250	217,74987	139083,007	2802522,599
21,85	4	87,40	0,0352	0,1406	3,07211	1909,69000	67,12560	41726,727	911728,974
23,55	3	70,65	0,0439	0,1317	3,10154	1663,80750	73,04115	39182,667	922751,799
S	146	2318	0,211313	3,0194	51,6502	38277,485	912,9937	655476,617	11601939,8

Подставив значения в систему уравнений, получим:

Решив эту систему уравнений мы получим три коэффициента:

а = -0,00438

b = 0,000602

c = 0,000059

Таким образом, уравнение регрессии будет иметь вид:

у = 0,000059х² + 0,000602х – 0,00438

Таблица 20

Проверка адекватности уравнения

х	nх	увыч	уфакт	уфакт-увыч	(уфакт-увыч)2nх		уфакт-	(уфакт-)2nх
9,95	6	0,0075	0,0089	0,0014	0,000012		-0,01160	0,000808
11,65	18	0,0107	0,0100	-0,0006	0,000008		-0,01049	0,001981
13,35	22	0,0142	0,0139	-0,0003	0,000002		-0,00660	0,000959
15,05	31	0,0181	0,0183	0,0002	0,000001		-0,00225	0,000157
16,75	25	0,0223	0,0225	0,0002	0,000001	0,02050	0,00200	0,000100
18,45	20	0,0269	0,0272	0,0003	0,000002		0,00665	0,000884
20,15	17	0,0318	0,0315	-0,0002	0,000001		0,01104	0,002074
21,85	4	0,0370	0,0352	-0,0019	0,000014		0,01465	0,000858
23,55	3	0,0426	0,0439	0,0013	0,000005		0,02340	0,001642
					0,000045			0,009462

Уравнение считается адекватным при значении показателя тесноты связи больше 0,97. Следовательно, уравнение, полученное методом наименьших квадратов адекватно и хорошо отражает фактические данные.