10.3. Определение напряжений

Как видно из эпюр М и N, в нашем примере (в зависимо­сти от формы сечения) опасным может быть одно из трех сечений: сечение К, сечение С участка АС, либо сечение С уча­стка ВС.

Нормальные напряжения при чистом изгибе кривого бру­са (без учета N) определяются по формуле:

σ_M = - ∙=-∙ (10.7 )

Здесь обозначено:

r ─ радиус кривизны нейтрального слоя;

y_о = R-г ─ расстояние от нейтрального слоя до центра тяжести сечения;

у ─ расстояние от нейтрального слоя до точки, в кото­рой опре­деляется напряжение (положительный от­счет ведется в сторону наружных волокон);

ρ = г + у — расстояние до этих же точек от центра кривизны.

Итак, использование формулы (10.7) требует предварительного определения положения нейтральной оси. Точное значение радиуса кривизны нейтрального слоя можно опреде­лить по формулам (10.8), которые для рассматриваемых се­чений приводятся ниже. Они получены из равенства:

г = (10.8.)

Поскольку r мало отличается от R, вычисления по форму­лам (10.8.) необходимо производить очень тщательно, т. к. иначе нельзя получить с достаточной точностью величину рас­стояния между нейтральной осью и центром тяжести:

y₀ = R - r, (10.9)

Однако, если брус имеет не очень большую кривизну (примерно, если R>3h), то у_о можно получить без предваритель­ного определения r, используя приближенную формулу:

y_o ≈ (10.10)

Здесь I_х — это момент инерции сечения бруса относитель­но его главной центральной оси, перпендикулярной плоскости изгиба.

Если же брус имеет малую кривизну (примерно R>5h), то нейтральная ось практически сливается с центральной, т. е. y_o ≈ 0, и напряжения можно вычислять по обычной фор­муле для прямого бруса:

σ_M = ─ (10.11)

Эпюра напряжений σ_М по формуле (10.7) имеет вид ги­перболы с асимптотами ρ = 0 (при σ_М → ∞) и σ_М = (приy→ ∞). Нормальные напряжения, соответствующие продольной силе, распределяются равномерно по сечению и определяются, как и в прямом брусе, по формуле:

σ_N = . (10.12)

Суммарные напряжения (соответствующие.М и N) определя­ются по формуле:

σ = σ_M + σ_N (10.13)

Рисунок 10.6

Для получения эпюры суммарных напряжений можно вна­чале построить гиперболу σ_M, а затем ось отсчета напряже­ний сместить в нужную для алгебраического суммирования сторону, как это сделано в приводимых ниже примерах.

10.3.1. Круглое сечение (рисунок 10.7)

Диаметр круга ─ d=10 см.

Положение нейтральной оси

Так как отношение R:d = 20:10 = 2 << 3, то есть рассматри­ваемый брус имеет очень большую кривизну, то для опреде­ления положения нейтральной оси следует пользоваться точ­ной формулой:

r = , (10.8)

r = =19,682 см,

y_o = R – r = 20 – 19,682 = 0,318 см.

Для сравнения определим у_o по приближенной формуле (10.10).

Площадь сечения: F = ==78,6 см².

Центральный момент инерции: I_x = == 491 см⁴;

у_o≈ = = 0,312 см.

Напряжения, связанные с изгибающим моментом

а) в наружных волокнах:

y_нар = + y_о = + 0,318 = 5,318 см;

ρ_нар = R + = 20 + = 25 см;

(σ_M)_нар = ∙= ∙= - M∙0,00850 (кгс/см²);

б) во внутренних волокнах:

y_вн = -( - y_о) = -( - 0,318) = -4,672 см;

ρ_вн = R - = 20 - = 15 см;

(σ_M)_вн = ∙= ∙= M∙0.01246 (кгс/см²).

Напряжения, связанные с продольной силой

σ_N = = (кгс/см²).

Суммарные напряжения в наружных волокнах

σ_нар = - M∙0.00850 + (кгс/см²).

Суммарные напряжения во внутренних волокнах

σ_вн = M∙0.01246 + (кгс/см²).

Результаты вычислений для трех сечений приведе­ны в таблице

Таблица 10.3

Сечение	M кгс∙см	N кгс	(σM)нар кгс/см2	(σM)вн кгс/см2	σN кгс/см2	σнар кгс/см2	σвн кгс/см2
«С» уч.ВС	7970	-964	-68,0	99,4	-12,3	-80,3	87,1
«С» уч.АС	7970	-118	-68,0	99,4	-1,5	-69,5	97,9
«К»	-6810	-857	58,0	-84,9	-10,9	47,1	95,8

Рисунок 10.7

Как видно из таблицы, наибольшими являются напряже­ния во внутренних точках сечения «С» участка АС, т. е. опасным в данном случае является сечение «С» участка АС, несмотря на то, что абсолютное значение продольной силы в этом сечении меньше, чем в сечении «С» участка ВС, при равных изгибающих моментах.

Эпюра нормальных напряжений для опасного сечения приведена на рисунке 10.7справа. Здесь же штриховой прямой показана эпюра нормальных напряжений в соответствующем прямом брусе, для которого напряжения в крайних волок­нах, связанные с изгибающим моментом, вычислены по фор­муле (10.11):

maxσ_М^пр= ±= ±= ± 81,1 кгс/см².