Расчет кривого бруса

В задаче рассматривается кривой брус, ось которого очер­чена дугой окружности. Требуется построить эпюры внутрен­них усилий ─ изгибающего момента М, продольной силы N и поперечной силы Q, а также эпюру нормальных напряже­ний в опасном поперечном сечении бруса.

Будем придерживаться следующего правила знаков:

а) положительный изгибающий момент стремится разо­гнуть ось бруса, т. е. вызывает сжатие в его наружных волок­нах;

б) положительная поперечная сила стремится повернуть рас­сматриваемую часть бруса по часовой стрелке (как и в .балках);

в) положительная продольная сила вызывает растяжение, т. е. направлена от сечения бруса (как и в прямых стержнях).

На рисунке 10.1 показаны положительные направления внут­ренних сил.

Рисунок 10.1

В качестве примера рассмотрим кривой брус, изображён­ный на рисунке 10.2.

Примем следующие данные: Р=2000 кгс, R = 20 см.

Рисунок 10.2

10.1. Определение опорных реакций

Разложим силу Р на составляющие по вертикали (Р_у) и гори­зонтали (Р_x):

Р_у = P∙cos 20° = 2000∙0,940 = 1880 кгс;

Р_x = P∙sin 20° = 2000∙0,342 = 684 кгс;

ΣM_A=R_B∙2R+P_x∙R∙sin45° -P_y∙R∙(1+cos45°) =0;

R_B=== 1364 кгс;

ΣM_B=P_x∙R∙sin45° +P_y∙R∙(1-cos45°) -Y_A∙2R=0;

Y_A===516,5кгс;

ΣX=X_A–Px= 0;X_A=Px= 684 кгс.

Проверка:

ΣY=Y_A+RB–Py= 516,5 + 1364 – 1880 ≈ 0.

Итак:

X_A = 684 кгс, Y_A = 516,5 кгс; R_B = 1364 кгс.

10.2. Построение эпюр m, n и q

1. Участок АС (0 ≤ φ ≤ 135°).

Рисунок 10.3

б — положительные направления внутренних сил.

На рисунке 10.3а показано поперечное сечение на участке АС и проекции на это сечение и на нормаль к нему всех сил, рас­положённых по одну сторону от этого сечения, т. е. составляю­щих реакции на опоре А (Х_А и Y_а), а также моменты этих сил относительно центра тяжести этого сечения.

На рисунке 10.36 показаны положительные направления для М, N и Q.

Сопоставляя эти два рисунка, записываем выражения для внутренних сил

M = Y_а∙R∙(1-cosφ) - Х_А∙R∙sinφ. (10.1)

N = - X_A∙sinφ-Y_A∙cosφ. (10.2)

Q=Y_A∙sinφ-X_A∙cosφ. (10.3)

Для упрощения вычислений можно изгибающий момент выразить через продольную силу:

M = R∙(Y_A-Y_A∙cosφ-X_A∙sinφ) =R∙(Y_A+N). (10.1′)

Для того, чтобы не пропустить характерные сечения, в ко­торых внутренние силы принимают экстремальные или нуле­вые значения, можно выполнить несложное графическое по­строение (рисунок 10.2).

Вначале определена точка D в пересечении линии действия силы Р и реакции R_B. Условие равновесия требует, чтобы ли­ния действия реакции R_A тоже прошла через точку D.

В пересечении линии AD с осью бруса лежит сечение Е, в котором изгибающий момент равен нулю.

Проведя перпендикуляр к линии АD из центра О, опреде­ляем положение сечения К, в котором М и N должны иметь экстремаль­ные значения, a Q = 0.

Теперь определим положение этих сечений аналитически:

а) M_E = Y_а∙R∙(1-cosφ_E) - Х_А∙R∙sinφ_E = 0

или

(1-cosφ_E) - ∙sinφ_E = 0,

2∙sin^{2 -} ∙2∙sin∙cos= 0,

sin^- ∙cos= 0, tg= ==1,325,

= 53° ; φ_E = 106° .

б)

Q_K = Y_A∙ sinφ_K - X_A∙ cosφ_K = == 0.

откуда

tgφ_K= ==1,325; φ_K=53°.

Из построения (рисунок 10.2) видно, что действительно φ_E = 2 φ_K.

Для построения эпюр М, N и Q на участке АС дадим пе­ременной φ следующие значения: 0°; 30°; 53°; 60°; 90°; 120°; 135°.

Результаты вычислений приведены в таблице 10.1 (стр. 30).

Участок ВС (0≤φ≤45°) Положительные направления

внутренних сил

Рисунок 10.4

На рисунке 10.4а показаны проекции расположенной по одну сторону от произвольного поперечного сечения силы (R_B) на это сечение, на нормаль к нему и момент относительно его центра тяжести. На рисунке 10.46 показаны положительные направле­ния внутренних сил.

Сопоставляя эти два рисунка, получаем следующие выра­жения для внутренних усилий:

Q= -R_B∙sinφ; (10.4)

N = -R_B∙cosφ. (10.5)

M = R_B∙R∙(1-cosφ) = R∙(R_B+N) (10.6)

Ми(кгс∙см)	0	-5450	-6810	-6690	-3350	3630	7970
YA+N	0	-272,5	-340,5	-334,5	-167,5	181,5	398,5
N(кгс)	-516,5	-789	-857	-851	-684	-335	-118
Q(кгс)	-684	-335	0	105	516,5	789	848
XA cosφ	684	593	412	342	0	-342	-483
YA sinφ	0	258	412	447	516,5	447	365
XAsinφ	0	342	546	593	684	593	483
YA cosφ	516,5	447	311	258	0	-258	-365
cosφ	1	0,866	0,602	0,5	0	-0,5	-0,707
sinφ	0	0,5	0,799	0,866	1	0,866	0,707
φ°	0	30	53	60	90	120	135

Д ля построения эпюр дадимφ следующие значения: 0°; 16°; 30° и 45°. Результаты вычислений приведены в таблице 10.2.

Таблица 10.2

φ°	sinφ	cosφ	Q (кгс)	N(кгс)	RB +N	Mи(кгс∙см)
0	0	1	0	-1364	0	0
15	0,259	0,966	-354	-1318	46	920
30	0,500	0,866	-682	-1180	184	3680
45	0,707	0,707	-964	-964	398,5	7970

Ординаты эпюр Q, N и М, приведенных на рисунке 10.5, отло­жены от оси бруса по нормали к ней. Проверим, правильно ли сопряга­ются эпюры в точке С.

На эпюре М скачков не должно быть (в том числе и в сечении С), так как в схеме загружения нет сосредоточенных моментов. Действительно:

M_C^AC = M_C^BC.

На эпюре Q в сечении С должен быть скачок на величи­ну проекции силы Р на плоскость этого сечения:

Р∙cos25° = 2000∙0,906 = 1812 кгс.

Действительно:

Q_C^AC - Q_C^BC = 848-(-964) = 1812 кгс.

На эпюре N в сечении С должен быть скачок на величи­ну проекции силы Р на нормаль к сечению:

Р∙sin25° = 2000∙0,423 = 846 кгс.

Действительно:

N_C^AC - N_C^BC = -118-(-964) = 846 кгс.

Предполагая, что материал бруса одинаково сопротивляет­ся растяжению и сжатию,6удем cчитать опасным то сечение, в крайних точках которого действуют наибольшие по абсо­лют­ной величине нормальные напряжения.