8. Предварительный выбор закона распределения

Большинство применяемых в практике контроля статистических методов основано на предложении, что распределение контролируемого признака подчиняется определенному теоретическому закону (нормальному, биноминальному, пуассоновскому и так далее) с параметрами, либо оцениваемыми по выборке, либо заранее известными. Применению этих методов должна предшествовать проверка по данным выборочных наблюдений гипотезы о законе распределения. Проверка гипотезы о законе распределения значения признака в генеральной совокупности осуществляется с помощью критериев согласия.

Чаще всего на практике имеют дело с нормальным распределением. Чем это объясняется? Ответ на этот вопрос дан А.М.Ляпуновым в центральной предельной теореме теории вероятности. Приведем следствие из нее: если случайная величина представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, тоимеет распределение, близкое к нормальному.

Функция плотности нормального закона распределения имеет вид , а интегральная функция распределения –.

У нормального распределения два параметра (количество параметров ): математическое ожиданиеи среднее квадратическое отклонение. Их оцениваем по выборке:.

Кривая нормального распределения симметрична относительно прямой .

1) Для нормального закона средняя арифметическая , модаи медианаравны как характеристики центра распределения:

.

У нас: 9,0548;9,115;9,097.

Как видно, значения этих величин практически не отличаются друг от друга.

2) У кривой нормального распределения коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю.

У нас: –0,3;–0,25.

Как видно, значение коэффициента асимметрии и значение коэффициента эксцесса отличаются от нуля. (Замечание: считается, что число , если0,1).

3) В случае нормального распределения справедливо следующее условие:

.

Проверим выполнение этого условия для нашего примера.

;

.

Условия выполняется.

4) На практике для выдвижения гипотезы о нормальном распределении используют правило 3-х сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина её отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднеквадратического отклонения, т.е. все значения случайной величины должны попасть в интервал: :

Рисунок 5. – Правило 3-х сигм.

В нашем случае все значения величин попадают в интервал , равный, то есть в интервал (6,3848; 11,7248), так как6,75,10,97.

Таким образом, у нас есть основания предположить, что изучаемая случайная величина распределена по нормальному закону (нулевая гипотеза):

,

где – опытные частоты,– теоретические частоты,– длина интервала,– объём выборки,– среднее квадратическое отклонение,– табулированная функция,.

9. Проверка гипотезы о виде распределения

Проверка гипотезы о законе распределения значения признака в генеральной совокупности осуществляется с помощью критериев согласия.

Проверяемая (нулевая) гипотеза утверждает, что значения признака в выборке, взятой из генеральной совокупности, распределены по предполагаемому закону.

Для проверки гипотезы о виде распределения необходимо вычислить теоретически ожидаемые (выравнивающие) частоты, которые должны были бы получиться, если бы распределение действительно соответствовало предполагаемому.

Теоретические частоты вычисляются по формулам:

1) в случае дискретной случайной величины , где– объем выборки;– вероятность случайной величины принять значения равное.

2) в случае непрерывной случайной величины , где– объем выборки,– середина интервала;– функция плотности теоретического распределения, вычисленная в точке;h – длина интервала.

Проверку гипотезы о виде теоретического распределения можно провести с помощью критерия согласия Пирсона , основанного на статистике:

где – опытные частоты,– выравнивающие частоты.

Гипотеза отвергается, если вычисленное значение окажется больше критического, найденного по таблицам распределениядля уровня значимостии числа степеней свободы, где– число интервалов,– число оцениваемых параметров предполагаемого теоретического распределения (приложение 2).

Например, если проверяется согласие экспериментальных данных нормальному закону распределения, для которого r=2, то число степеней свободы .

Следует учитывать, что при использовании критерия согласия Пирсона общее число наблюдений должно быть достаточно большим (50), и число наблюдений в интервалах должно быть не менее пяти. Интервалы, у которых<5 нужно объединить, а их частоты сложить.

Проверим для нашего примера гипотезу о нормальном законе распределения изучаемой величины для уровня значимости . Найдем выравнивающие частоты.

Таблица 4.

6,97	3		11	-2,09	-2,34	0,0258	1,2412	1	12
7,40	6			-1,66	-1,86	0,0707	3,4014	3
7,83	2			-1,23	-1,38	0,1569	7,5485	8
8,26	14			-0,80	-0,89	0,2685	12,9176	13
8,69	14			-0,37	-0,41	0,3668	17,6469	18
9,12	24			0,06	0,07	0,3980	19,1479	19
9,55	14			0,49	0,55	0,3429	16,4970	16
9,98	12			0,92	1,03	0,2347	11,2915	11
10,41	9	11		1,35	1,51	0,1276	6,1389	6	9
10,84	2			1,78	1,99	0,0551	2,6509	3

Находим с учетом объединения интервалов (объединяем первый, второй и третий интервалы, а также девятый и десятый)

=

=3,15.

Определим . Число степеней свободы=7–3=4, тогда при уровне значимостиимеем=9,5.

Имеем <. Следовательно, в рассматриваемом примере нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении изучаемой случайной величины.

Вид функции плотности вероятности данной случайной величины, распределённой по нормальному закону в нашем случае:

.

Интегральная функция распределения такова

.

Построим кривую Гаусса данного распределения. Найдем максимум кривой Гаусса

.

Рисунок 6. –.Полигон частот и кривая Гаусса