Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

курс лекции по начерательной геометрии

.pdf

Скачиваний:

117

Добавлен:

18.03.2016

Размер:

4.07 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

(новая ось x23 f2). На рис. 2.14 фронталь f, заданная проекциями f1 и f2 , переведена в проецирующее положение (Ï 3 f). Для

построения f3 провели	x2 3 f2, на фронтали взяли точку A(A1,A2) и
нашли её проекцию A3	f3.

Для перевода прямой a общего положения в проецирующее положение последовательно вводят две новые ПП (сразу задать новую ПП перпендикулярно a нельзя: такая ПП не перпендикулярна ни к Ï1 , ни к Ï2):

1. Задают Ï3 a и перпендикулярно к Ï 1 (новая ось x13 a1) или к Ï2 (новая ось x23 a2) - решают 1ОЗПЧ.

2.Задают Ï4 a Ï4 Ï3 (новая ось x34a 3 ) - решают 2ОЗПЧ.

На рис. 2.15 (были заданы a1 , a2,	A2	B2 a
x		B2 a		2
1 2) для перевода прямой a в				2
проецирующее положение на 1-м эта-
пе использовали Ï3 Ï1. Проекции a3 и	x1 2
a4 строили с помощью произвольных	x1 2
точек A,B a (откладываемые рас-	A1	B1	a1
стояния на рис. 2.15 обозначены).	x3 4		a1
	x3 4
a4 A4 B4	a3 A3	x1 3
		B3
	Рис. 2.15
2.4. Задание пар прямых

Прямыемогут пересекаться,бытьпараллельными,скрещиваться. Если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций находятся на одной линии связи. На рис. 2.16

заданы пары пересекающихся прямых				a b, d g,	l t.
a2	g2		d2 t2	a2	d2 g2 t2 l2
b2			l2	b2
x	a1		x	b	d1
b1				1
b1		g	t1	a1	g	t1 l1
	d1		t1	a1		t1 l1
	d1		1 l1			1

Рис. 2.16

Рис. 2.17

				22
Если прямые параллельны, то параллельны их соответствую-
щие проекции.			На рис. 2.17 a		b (a1	b1 ; a 2 b2),	d	g, l	t.
Скрещивающиеся прямые - прямые, не лежащие в одной плос-
кости. На рис. 2.18 приведены пары скрещивающихся прямых									a b,
l t, d	g.		C2	D2
a2			C2	D2	l2	t2	G2
a2		A2		b2	l2	t2	G2	g2
		A2				Q2 d2
			B2	E2	F2	Q2 d2
			B2	E2	F2
x			D1		E	d1		g
				a1	1			g
				a1				1
						t1		1
A1	B1		C1	b1	l1	t1	G1	Q1
A1	B1		C1	b1		F1	G1	Q1
				Рис. 2.18
Скрещивающиеся прямые всегда имеют одну или две пары то-

чек, конкурирующих относительно Ï1 и Ï2. У прямых a и b точки Aa

и B	b конкурируют относительно Ï1 (видна точка A), а точки C	b и
D	a - относительно Ï2 (видна точка C); у прямых l и t точки E	l и

F t конкурируют относительно Ï2				(видна точка F), у прямых g и d
точки G	g и Q d конкурируют относительно Ï1 (видна точка G).
Введем понятие			угла между скрещивающимися прямыми.
a2	b2			Величина угла между скрещи-
				вающимися прямыми (a и b на
		l2	t2	рис. 2.19) равна величине угла
x				между пересекающимися пря-
				мыми (t и l на рис. 2.19), соот-
b1	a1	l1	t1	ветственно параллельными
				данным	скрещивающимся

	Рис. 2.19			прямым (t	a, l b).

2.5. Теорема о проецировании прямого угла

В общем случае прямой угол между пересекающимися или скрещивающимися прямыми проецируется на ПП с искажением. Теорема о проецировании прямого угла выделяет частный, но важный для практики случай, когда прямой угол проецируется на ПП в натуральную величину. Так как теорема о проецировании прямого угла связывает три ГО (рис. 2.20) - прямой угол, некую плоскость

проекций (Ïn ) и проекцию прямого угла на эту ПП, то можно

сформулировать три теоремы:						бы одна	из	сторон
	A		1. Если хотя
		a	a или (и) b прямого угла (a				b)	парал-
			лельна ПП Ïn, то прямой угол проеци-
	An	an	руется на Ïn в прямой угол (an					bn).
b			2. Если хотя бы одна из прямых
	bn		a или (и)	b параллельна ПП Ïn, а их
			проекции	на	Ïn	перпендикулярны
Рис. 2.20			(an bn),	то данные прямые перпен-
			дикулярны (a b).

3. Если прямые перпендикулярны (a					b) и перпендикулярны их
проекции (an b n)		на ПП Ïn, то хотя бы одна из данных прямых

a или (и) b параллельна Ïn.

Через точку, не лежащую на прямой, можно провести бесконечное множество прямых перпендикулярно данной прямой, но только одна из этих прямых пересекает данную, а остальные скрещиваются с ней.

ПРИМЕР 2.1. Заданы прямая a (a1 ,a 2) и точка M (M1 ,M2 ). Через точку M провести прямую перпендикулярно прямой a (рис. 2.21).

	a2	t2	K2	h2
		t2
	h2 M2
	h2 M2			M2
				M2
a1	M1	h1		t1
	M1	h1		t1
	h		K1	M1
	1
	Рис. 2.21		Рис. 2.22

Если дана прямая общего положения, то без дополнительных построений, используя только теорему о проецировании прямого угла, через точку можно провести лишь две прямые перпендикулярно данной прямой, причем в общем случае обе они будут скрещиваться с ней. Одна из двух прямых - горизонталь h на рис. 2.21 (h Ï1 ha h1a1), а второй прямой могла бы быть фронталь fa (f2 a2).

ПРИМЕР 2.2. Даны точка M (M1,M2) и горизонталь h (h1,h2). Построить прямую t, проходящую через точку M и пересекающую h под прямым углом (рис. 2.22).

Порядок построения на рис. 2.22 был следующим:

1.	t1 M1	t1	h1 .	3. K2	h2 .
2.	K1 = t1	h1.		4. t2	M2 ,K2 .
ПРИМЕР 2.3. Даны			прямая a	(a1 ,a2)	и точка M (M1 ,M2 ).

Через точку M провести прямую l, пересекающую a под прямым углом (рис. 2.23).

Чтобы решить пример,	прямую a сделали прямой уровня,
задав новую ПП Ï3 a Ï3	Ï1. Для построения проекции a 3 на

прямой a взяли произвольные точки A(A1,A2) и B(B1,B2), нанесли

		l2		старую ось проекций x1		2	(M1,M2 )
A2		Ê2	B2	и новую ось проекций x1		3	a1 (мож-
A2			M2	но было задать x1 3		a 1 ), нашли
a2			M2	проекции точек A3, B3, а также M3 и
a2				через A3 и B3 провели прямую a3.
x1 2		l1		После этого в поле Ï3		применили
		l1	B1	теорему о проецировании прямого
			B1	угла: через точку M3 провели l3				a3
A	1	Ê	M1	x1 3 и нашли точку K3 =l3		a3	(K=l	a -
	1	1		точка пересечения прямых l и				a).
a1			M3	точка пересечения прямых l и				a).
a1			M3	Проекции l1	и l2 определялись точ-
			Ê3	ками M1, K1	и M2, K2 соответствен-
				но.
	a3	A3	l3	B3
	a3

		Рис. 2.23

Л Е К Ц И Я 3

ПЛОСКОСТЬ

3.1. Задание плоскости общего положения

Плоскость относят к линейчатым поверхностям, которые могут образовываться при перемещении в пространстве прямой линии. Подробнее вопросы образования и задания поверхностей рассмотрены в лекциях 7-10. Здесь отметим только, что в общем случае плоскость и другие поверхности не задаются на чертеже, как точки и линии, своими проекциями.

Плоскость общего положения - это плоскость, не перпендикулярная и, следовательно, не параллельная ни одной из ПП. Из элементарной геометрии известно, что плоскость определяют не лежащие на одной прямой три точки - (A,B,D); две пересекающиеся прямые - (a b); две параллельные прямые - (a b); прямая и не лежащая на ней точка - (a,A); треугольник - (A,B,D,A) или (ABD), реже другая плоская фигура (в скобках после обозначающей плоскость буквы условно указан способ задания плоскости).

Если плоскость задана не удобно для решения задачи, то надо перейти к другому способу её задания. При этом от способа задания плоскости тремя точками всегда переходят к какому-нибудь другому способу задания, чаще всего треугольником.

3.2. Построение прямой линии в плоскости общего положения

Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки плоскости или если она проходит через точку плоскости параллельно одной из прямых плоскости.

На рис. 3.1 в плоскости (ab) построена произвольная прямая l,

	12 22	d2	A2	12	a2	12
a	2	l2			l2	t2
	2	l2			l2

a1		l1			a1
		l1	A1		t	1
					1	1
11	21			11	l1	1
11	21	1		11	l1
		d
Рис. 3.1				Рис. 3.2		Рис. 3.3

d	2

d	1

проходящая через точку 1 прямой a и точку 2 прямой b: 1 a			1 ;
2 b 2	; l 1 l 2 l	. Обычно одну из проекций l1	или l2

проводят произвольно, а вторую строят, используя проекции точек

1=l a и 2=l b.	Если плоскость задана прямой и точкой (плоскость
(a,A) на рис.	3.2), то прямую l целесообразно проводить через

данную точку (A). На рис. 3.3 в плоскости (a b) построена прямая

t: 1a 1; t1t bt.

Главные линии плоскости - это горизонталь плоскости, фронталь плоскости и линии наклона плоскости к плоскостям проекций. Горизонталь плоскости - прямая, параллельная Ï1 и принадлежащая плоскости. Фронталь плоскости - прямая, параллельная Ï2 и принадлежащая плоскости. Линии наклона плоскости - прямые плоскости, перпендикулярные к линиям уровня плоскости. Линию наклона плоскости к плоскости Ï1 , перпендикулярную горизонтали плоскости, называют также линией ската. Линия наклона плоскости образует с соответствующей плоскостью проекций угол, по величине равный углу наклона плоскости к этой ПП.

Горизонталь h плоскости начинают строить с проекции h2 x, а

фронталь f плоскости - с проекции f1x (h Ï1, f Ï2). Проекции h1 и f2 строят по точкам, используя проекции h2 и f1 и условие принадлежности h и f плоскости. На рис. 3.4 в плоскости (A,B,D,A) построены горизонталь h и линия ската t, проходящие через вершины A и B соответственно:

1.	h2	A2	h2	x - через A2 параллельно оси x провели h2 .
2.	12=h2		[B2,D2] - нашли точку 12 пересечения h2 и [B2,D2].
3.	11	[B1,D1 ]		- нашли 11	из условия её принадлежности [B1,D1].
4.	h1	A1 ,11 - провели h1			через точки A1 и 11 .

5. t1 B1 t1 h1 - через B1 перпендикулярно h1 провели t1 .

6. 21 =t1 [A1 ,D1].			7. 22 [A2,D2].		8. t2		B2,22.
t2	B				f2	12	b2
	2

A2		12	h2		a2		22
	2		D2		a2
	2		D2
x	2				x
x		21			x
A1		21	D1		f1
			D1		f1
t1		11	h1		a1	11	21
t1	B1						b1
	B1	Рис. 3.4					Рис. 3.5
		Рис. 3.4					Рис. 3.5
На рис. 3.5 в плоскости				(a b) построена произвольная фрон-

таль f: f1 x, а f212,22 , где 1=f a, 2=f b.

Все горизонтали плоскости параллельны друг другу. Это же относится к фронталям плоскости и линиям наклона плоскости к ПП.

3.3. Принадлежность точки плоскости общего положения

Задача на принадлежность точки поверхности называется основной позиционной задачей (ОПЗ). ОПЗ является одной из ключевых задач НГ: возможность решения ОПЗ на чертеже подтверждает то, что поверхность на этом чертеже задана (лекция 7). Существуют три формулировки ОПЗ:

1.На чертеже задана поверхность. Построить проекции произвольной точки, принадлежащей поверхности.

2.На чертеже заданы поверхность и одна проекция точки, принадлежащей поверхности. Построить вторую проекцию точки.

3.На чертеже заданы поверхность и точка. Определить, принад-

лежит точка поверхности или нет.

Для решения ОПЗ используется условие принадлежности точки поверхности: точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии этой поверхности. Поэтому ОПЗ выполняется в соответствии с таким пространственным алгоритмом (ПА):

. aÔ - на поверхности Ô строится некая линия a.

. Ma - на линии a задается (ищется, берется) точка M.

Вобщем случае ПА решения задачи - последовательность геометрических построений в пространстве, приводящих к решению задачи. Для пояснения порядка выполнения многих задач на чертеже условными знаками будет записываться графический алгоритм (ГА) их решения - последовательность графических построений на чертеже, приводящих к решению задачи. При этом одна и та же задача обычно имеет несколько ГА её выполнения.

Вплоскости точки строят с помощью прямых линий согласно ПА:

.l - в плоскости строят прямую; .Ml - на прямой берут точку M. В дальнейшем буквами l и t будут обозначаться только

прямые линии.

ПРИМЕР 3.1. Задана плоскость (ab). Построить проекции M1 и M2 произвольной точки M, принадлежащей плоскости S (рис. 3.6).

Условимся, что точка считается произвольной, если она не принадлежит ГО, задающему поверхность (здесь Ma Mb). Точка M строилась с помощью произвольной прямой l согласно ГА:

. 1.	l1 a1 l1 b1 .		4.	21 =l1	b1 .	. 1.	M2	l2.
2.	11 =l1	a1.	5.	22	b2.	2.	M1	l1.
3.	12	a2.	6.	l2 12,22.

a2	M2			B2		M2	l	a2	M2 l2
	22			B2	12	M2	l	12	M2 l2
	22				12		2	12
							2	A2
12							D2	A2
l		b	2	A2			D2
2			2					x
x				x				x
l		b1		B1	M1		l		M
l							1			1
1										1
21					1			A1 11		l1
11					1			A1 11		l1
					1
a1	M1			A1 Рис. 3.7			D1		a1
Рис. 3.6				A1 Рис. 3.7				Рис. 3.8
ПРИМЕР 3.2.				Заданы плоскость		(A,B,D)		и проекция M2	точки
M, принадлежащей плоскости (рис. 3.7). Построить M1 .
Сначала,	соединив три точки A,					B и D,		перешли к способу

задания плоскости треугольником. ГА решения задачи с

использованием прямой l		был такой:	1.	l2	M2,A2.
2. 12=l2 [B2,D2].	3. 11	[B1,D1]. 4.	l1 A1,11.		5. M1 l1.
ПРИМЕР 3.3.	Заданы плоскость		(A,a)	и точка M (рис. 3.8).

Определить, принадлежит точка M плоскости или нет.

При ответе на вопрос о принадлежности точки M плоскости делалась попытка построить в плоскости прямую, проходящую

через точку M:	1. l2 A2,M2.	2. 12 =l2	a2.	3.	11	a1 .
4. l1 A1,11.	Оказалось, что M1 l1		M	l	M	.

3.4. Плоскости частного положения

К плоскостям частного положения относят проецирующие плоскости и плоскости уровня.

Проецирующая плоскость - это плоскость, перпендикулярная к какой-либо ПП. Плоскость, перпендикулярную к Ï1 , называют горизонтально проецирующей, а перпендикулярную к Ï2 - фронтально проецирующей.

Проецирующая плоскость проецируется на ПП, к которой она перпендикулярна, в прямую линию, называемую её основной проекцией. Чтобы задать проецирующую плоскость, достаточно задать основную проекцию этой плоскости. На рис. 3.9 основной проекцией 1 задана плоскость Ï1 , а проекцией 2 - плоскость Ï2.

		29
	а)	2	2		б)
		2	2		2	2	2
					2	2	2
				2	2
	2			l2			2
	2			l2
x	x		l1		x
		1	l1	1	1		1
1		1			1
		1					1
		1					1
							1

Основная проекция обладает собирательным свойством: на ней расположены проекции всех точек и линий проецирующей плоскости. Поэтому фигура принадлежит проецирующей плоскости, если её соответствующая проекция принадлежит основной


проекции этой плоскости. На рис. 3.10,а			в плоскости	Ï1	заданы
точка M, прямая l, горизонталь h		и фронталь f: M1		1, l1	h1 1,
f1	1 , причем фронталь горизонтально		проецирующей плоскости
f	Ï1. На рис. 3.10,б в плоскости	Ï2 заданы точка N, прямая t,
горизонталь h (h Ï2) и фронталь f.			параллельная какой-либо
	Плоскость уровня - это плоскость,

ПП. Плоскость, параллельную Ï1 , называют горизонтальной, а параллельную Ï2 - фронтальной. Плоскость уровня - частный случай проецирующей плоскости: если Ï1, то Ï2, а если Ã Ï2, то ÃÏ1 . Поэтому плоскости уровня задаются своими основными проекциями, параллельными оси проекций: на рис. 3.11 проекци-

ей	1 x задана плоскость				Ï2, а на рис. 3.12 проекцией Ã2 x -
плоскость Ã		Ï1 . На рис. 3.11 также заданы прямые l, t и b плоскос-
ти	. Так как	Ï2, то все эти прямые фронтали, а прямая b еще и
горизонталь (b		Ï1	b	Ï2).	Ã2 A2 B2
				b2	Ã2 A2 B2	D2
				b2
	l2	t2			x	D1
	x				A1	D1
	x		l1	t1 b1	A1
		1	l1	t1 b1		B1
						B1

Расположенная в плоскости уровня фигура проецируется на ПП, которой эта плоскость параллельна, в натуральную величину.

Так, расположенный в плоскости Ã ABD проецируется на Ï1 без искажения: ABD =A1B1D1 (рис. 3.12).

3.5. Параллельность прямой и плоскости и плоскостей между собой

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какойлибо прямой этой плоскости. На рис. 3.13 прямая g параллельна

плоскости		(a b), поскольку g			a.
a	2		a2		22	l				2	d2
	2					2	M2
							M2
			12						2
b2		g2				b2					2
b2						b2
x			x		b1					x
b1		g1							1	d1
a1			a1	11	2	l1		M1	1		1
a1			a1	11	2	l1		M1

					1
	Рис. 3.13				Рис. 3.14					Рис. 3.15
	ПРИМЕР 3.4.		Заданы плоскость			(a		b), точка M и проекция t1
прямой t, t		M, t	. Построить t2 (рис. 3.14).
	В плоскости		строили некую прямую l						t:
1. l1 t1 l1 a1			l1 b1 .	3. 12		a2, 22			b2.
2. 11 =l1 a1, 21=l1 b1.				4. l2 12,22.						5. t2 M2 t2 l2.

Проецирующая прямая параллельна проецирующей плоскости, если прямая и плоскость перпендикулярны к одной ПП. Непроецирующая прямая параллельна проецирующей плоскости, если соответствующая проекция прямой параллельна основной проекции