4 розділ / 6,7

6.7.Метод скінчених елементів (МСЕ)

МСЕ заснований на тому, що суцільне середовище заміняють сіткою скінчених елементів, які зв’язані між собою у вузлових точках. Спочатку МСЕ знайшов використання для пружного аналізу конструкції. Зараз його використовують для вирішення задач: в механіці, вібрації, течії рідини, медицині та інше. Для аналізу процесів ОМТ метод використання з середини 70-х років. Метод дозволяє отримати інформацію про метал, що деформується, яка доступна тільки лабораторному експериментальному дослідженні. В деяких випадках (наприклад для визначення питомих зусиль на деформуючому інструменті) метод дозволяє це вирішити, а експериментально – ні. Деякі труднощі виникають при визначенні великих деформацій.

6.7.1. Скінченні елементи

Розглянемо задачу деформування (осаджування) в умовах плоскої деформації. В силу симетрії розглянемо половину заготовки. При чому аналіз починається з вихідного стану заготовки.

Заготовку розподіленотна трикутні скінченні елементи, які зв’язані між собою у вузлових точках і навантаження не може передаватися в бокові поверхні скінчених елементів. Чим менший скінчений елемент тим точніше вирішення. Вузли і елементи нумерують. При цьому сусідні вузли повинні мати мінімальну різницю в нумерації (від цього залежить час розрахунку.

Знаючи координати вузлів та матрицю індексів елементів, ми представляємо суцільне середовище, яке апроксимоване сіткою скінчених елементів

Матриця індексів Номер елементу Номер вузлів 1 5, 2, 1 2 5, 6, 2 3 6, 3, 2 4 6, 3, 2 5 7, 4, 3 6 8, 9, 5 7 9, 6, 5 8 9, 10, 6 9 10, 7, 6 10 10, 11, 7

Починають з крайнього лівого вузла і проти годинникової стрілки. При зміщені деформуючого інстру – менту вузли переміщуються в нові положення. Вузлові точки, які контактують з інструментом мають конкретний напрямом та величину переміщення швидкості. У вузлах 1, 2, 3, 4 переміщення в напрямку вісі y :

Переміщення вузлів являється основні невідомі, які знаходяться з відповідних рівнянь при заданих граничних умовах

Граничні умови : вузли 1, 5, 8 -

вузли 8, 9, 10, 11 -

Плоский деформований стан : формули

11 вузлів – 22 невідомі величини ( по х та у )

Для врахування тертя на контактуючих поверхнях по закону Кулона необхідно визначити величину дотичного напруження у вузлових точках на вказаних поверхнях ().

Величину дотичного напруження прикладається у вузлі в напрямку протилежному переміщення вузла.

В даному випадку скінчений елемент у вигляді трикутної призми.

В результаті знаходження переміщення вузлів розраховують: компоненти деформації, а по деформаціям – компоненти напруження (рівняння зв’язку між деформаціями та напруженнями). Не лінійність виникає при зміні геометричної форми заготовки та зміні механічних властивості здеформованого металу потребує розподілу, процесу деформування на певну кількість кроків напруження.

Результуючі значення переміщень деформації та напружень отриманих складанням прирощень вказаних величин, які отриманні на кожному кроці навантаження.

6.7.2. Компоненти переміщень для плоскої задачі в декартових координатах

Розглянемо плоско-деформований стан для трикутного скінченного елементу, який має вузли (i,j,m) . Плоско-деформований стан в напрямку z переміщень в напрямку x позначаємо через U, а напрямку y-V.

Переміщення точки А в середині елементу з координатами (x,y) позначимо, як U,V. Вважаємо, що переміщення вузлів i,j,m відомі, переміщення вузлів у елементі використовують лінійні поліноми у вигляді:

(1)

Тут : . та -коефіцієнти, які визначають через переміщення і координатних вузлів

Для переміщення U маємо:

(2)

Для переміщення V маємо:

(3)

Із системи 2 можна визначити коефіцієнти

Тут:

Другі коефіцієнти а,b,с визначають циклічною перестановкою індексів

Аналогічно знаходимо коефіцієнти . та

Підставляємо знайдені коефіцієнти в рівняння 1:

6.7.3. Компоненти деформації для плоского деформованого стану в декартових координатах

,

,

.

Тоді використовуємо рівняння 4:

МСЕ потребує використання комп’ютеру, тому рівняння необхідно представляти у матричному вигляді, і самі матриці зберігаються у вигляді масивів. В матричному вигляді визначають деформації через переміщення і має вигляд :

Матриця диференціювання переміщень.

6.7.4. Компоненти переміщень для трикутного скінченого елементу в циліндричних координатах

В цих координатах також маємо 2 переміщення .

Лінійні поліноми мають вигляд :.

Аналогічно попередньому випадку можна отримати коефіцієнти . Та кінцевий вираз для переміщень U та V.