3. Перевод целых чисел

Перевод чисел из одной системы счисления в другую происходит по определенным правилам (для целых и дробных чисел правила различны).

Если между основаниями двух систем счисления m и p соблюдается связь m¹= p^k, где k – целое число, то перевод является наиболее простым и осуществляется по правилу 1.

Правило 1. Каждая цифра числа с основанием m представляется k цифрами системы счисления с основанием p и наоборот.

По этому правилу осуществляется перевод между 16-ичной и 2-ичной системами: 16¹=2⁴ и между 8-ичной и 2-ичной системами: 8¹=2³. В первом случае одна шестнадцатеричная цифра заменяется четырьмя двоичными цифрами (тетрадой). Во втором случае одна восьмеричная цифра заменяется тремя двоичными цифрами (триадой). И наоборот. Замена начинается с младших разрядов. Если цифр до триады или тетрады не хватает, необходимо дополнить число слева нулями. В таблице 3.1 приведены двоичные коды всех 16-ричных цифр.

Таблица 3.1.

Таблица двоичных кодов десятичных и шестнадцатеричных цифр.

Цифра	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	E	F
Код	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

Пример 3.1. В коде ASCII строчное латинское «а» есть 01100001₂, а в 16-ричной системе счисления – 61₁₆. Как видим, каждый байт может быть представлен двумя 16-ричными цифрами.

Правило 2. Перевод чисел из 8-ичной системы в 16-ичную систему и наоборот осуществляется через 2-ичную систему счисления.

Правило 3. Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную осуществляется представлением этого числа либо в виде полинома (3.2), либо в виде схемы Горнера (3.3) и выполнением арифметических действий в десятичной системе счисления.

Эти три правила часто называют правилами замещения.

Пример 3.2. 9Е3₁₆ = 916² + 1416¹ + 316⁰ = 2531₁₀

9Е3₁₆ = (916 + 14)16 + 3 = 2531₁₀

Рассмотрим теперь правило перевода целого неотрицательного десятичного числа в систему счисления с другим основанием.

Целое число в системе счисления с основаниемm может быть представлено эквивалентным числом в системе счисления с основанием p по следующей формуле:

Таким образом, для перевода необходимо отыскать значения цифр b_k (k=1,…,n) в новой системе счисления p.

Разделив обе части равенства (3.4) на основание новой системы счисленияp, выраженное цифрами соответствующей системы счисления, получим:

Слагаемое в скобках – это частное от деления (Q_m)₁. Второе слагаемое – это остаток. Т. е.

Числоb₁ и есть младшая цифра числа в новой системе счисления с основанием p.

При следующем делении целого частного (Q_m)₁ будет получено новое целое частное (Q_m)₂ и новый остаток b₂.

Деление необходимо продолжать до тех пор, пока частное не станет меньше основания p. Отсюда правило 4 для десятичных чисел (m=10), которое называют правилом деления.

Правило 4. Для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием p надо переводимое число последовательно делить на основание p-й системы счисления до тех пор, пока не будет получено частное, меньшее основания p. Число в новой системе счисления запишется в виде остатков от деления, начиная с последнего частного, представляющего собой старшую цифру числа.

Поскольку все операции выполняются в 10-ой системе счисления, то в этой системе и будут записаны найденные цифры. Их надо переписать в системе счисления p.

В ЭВМ преобразование десятичных чисел в двоичные проводится не так, а по правилу 3, используя схему Горнера и выполняя действия в двоичной системе.

173₁₀ = (00011010 + 0111)1010 + 0011 = 10101101₂