- •Тема 3. Информационно-логические основы построения эвм лекция 3.1. Позиционные системы счисления
- •Основные понятия систем счисления
- •Представление целых неотрицательных чисел
- •Перевод целых чисел
- •Представление дробных чисел
- •Перевод дробных чисел
- •Арифметические действия над числами
- •Представление отрицательных двоичных чисел.
Представление дробных чисел
Вобщем случае любое неотрицательное число (смешанную дробь), представленное в позиционной системе счисления, вида:
можно записать в виде полинома:
Здесь k – количество разрядов в дробной части числа, l – количество разрядов в целой части числа. Старший разряд имеет обозначение al-1, а младший – a-k.
Минимальное значащее (не равное 0) число, которое можно записать в k разрядах дробной части:
Qmin=m-k
Имея в целой части числа l, а в дробной k разрядов, можно записать всего ml+k разных чисел.
Для правильных дробей также может быть использована форма записи в виде схемы Горнера:
Перевод дробных чисел
Правило 5. Перевод правильных и неправильных дробей из одной системы счисления в другую, если основания этих систем являются степенями двойки, осуществляется по тем же правилам, что и для целых чисел.
Крайние триады (тетрады) слева и справа дополняются нулями в случае, если не хватает цифр до полной триады (тетрады).
Правило 6. Перевод правильных и неправильных дробей из любой системы счисления в десятичную осуществляется также как и для целых чисел, представлением этого числа либо в виде полинома (3.5), либо в виде схем Горнера (3.3, 3.6) и выполнением арифметических действий в десятичной системе счисления.
Рассмотрим теперь перевод правильной десятичной дроби в систему счисления с другим основанием. Поступим аналогично целым числам. Пусть исходная система счисления имеет основаниеm, новая система счисления – основание p.
Для перевода числа из системы счисления с основанием m необходимо отыскать значения цифр bj (j=-1,…,-n) в новой системе с основанием p.
Умножив обе части равенства (4.7) на основание новой системы счисленияp, выраженное числами соответствующей системы счисления, получим:
Первое слагаемое – это целая часть произведения, первая цифра в дробной части новой системы счисления. Второе слагаемое – это дробная часть произведения.
При следующем умножении дробной части этого произведения на p получим следующую часть произведения и следующую цифру. Умножение следует продолжать, пока либо дробная часть станет равной 0, либо получим заданную точность дроби. Отсюда правило 7, которое называют правилом умножения.
Правило 7. Для перевода правильных дробей в систему счисления с основанием p, последовательно умножают исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание системы счисления p. Полученные в результате умножения целые числа произведения являются соответствующими разрядами дробного числа в системе счисления с основанием p.
В частном случае, если знаменатель правильной дроби представляет некоторую степень цифры 2, т.е.
то числитель переводится в двоичную систему счисления как целое число, которое записывается в k разрядах после запятой.
Правило 8. Перевод неправильных дробей в систему счисления с основанием p выполняется отдельно для целой и дробной частей числа по вышеизложенным правилам с последующим соединением этих частей в одну запись – неправильную дробь, представленную уже в новой системе счисления.
Пример 3.3.
101110,1012 =1*25+0*24+1*23+1*22+1*21+0*20+1*2-1+0*2-2+1*2-3=46,62510