4. Представление дробных чисел

Вобщем случае любое неотрицательное число (смешанную дробь), представленное в позиционной системе счисления, вида:

можно записать в виде полинома:

Здесь k – количество разрядов в дробной части числа, l – количество разрядов в целой части числа. Старший разряд имеет обозначение a_l-1, а младший – a_-k.

Минимальное значащее (не равное 0) число, которое можно записать в k разрядах дробной части:

Q_min=m^-k

Имея в целой части числа l, а в дробной k разрядов, можно записать всего m^l+k разных чисел.

Для правильных дробей также может быть использована форма записи в виде схемы Горнера:

5. Перевод дробных чисел

Правило 5. Перевод правильных и неправильных дробей из одной системы счисления в другую, если основания этих систем являются степенями двойки, осуществляется по тем же правилам, что и для целых чисел.

Крайние триады (тетрады) слева и справа дополняются нулями в случае, если не хватает цифр до полной триады (тетрады).

Правило 6. Перевод правильных и неправильных дробей из любой системы счисления в десятичную осуществляется также как и для целых чисел, представлением этого числа либо в виде полинома (3.5), либо в виде схем Горнера (3.3, 3.6) и выполнением арифметических действий в десятичной системе счисления.

Рассмотрим теперь перевод правильной десятичной дроби в систему счисления с другим основанием. Поступим аналогично целым числам. Пусть исходная система счисления имеет основаниеm, новая система счисления – основание p.

Для перевода числа из системы счисления с основанием m необходимо отыскать значения цифр b_j (j=-1,…,-n) в новой системе с основанием p.

Умножив обе части равенства (4.7) на основание новой системы счисленияp, выраженное числами соответствующей системы счисления, получим:

Первое слагаемое – это целая часть произведения, первая цифра в дробной части новой системы счисления. Второе слагаемое – это дробная часть произведения.

При следующем умножении дробной части этого произведения на p получим следующую часть произведения и следующую цифру. Умножение следует продолжать, пока либо дробная часть станет равной 0, либо получим заданную точность дроби. Отсюда правило 7, которое называют правилом умножения.

Правило 7. Для перевода правильных дробей в систему счисления с основанием p, последовательно умножают исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание системы счисления p. Полученные в результате умножения целые числа произведения являются соответствующими разрядами дробного числа в системе счисления с основанием p.

В частном случае, если знаменатель правильной дроби представляет некоторую степень цифры 2, т.е.

то числитель переводится в двоичную систему счисления как целое число, которое записывается в k разрядах после запятой.

Правило 8. Перевод неправильных дробей в систему счисления с основанием p выполняется отдельно для целой и дробной частей числа по вышеизложенным правилам с последующим соединением этих частей в одну запись – неправильную дробь, представленную уже в новой системе счисления.

Пример 3.3.

101110,101₂ =1*2⁵+0*2⁴+1*2³+1*2²+1*2¹+0*2⁰+1*2^-1+0*2^-2+1*2^-3=46,625₁₀