Решение

Пусть − количество выпускаемой продукцииi-гo вида, тогда система неравенства, отражающих ограничения на имеющийся объем ресурсов по каждому виду, будет следующей

Общая прибыль составит

.

Переменные не могут быть меньше нуля, так как выпуск продукции не может быть отрицательным

.

Прежде чем решить задачу симплекс-методом, необходимо математическую постановку данной задачи привести к общей постановке задачи линейного программирования (канонической форме), т.е. от ограничений-неравенств перейти к ограничениям-равенствам. Для этого в каждое из неравенств вводится по одной дополнительной переменной: В результате получаем

С экономической точки зрения дополнительные переменные характеризуют объем неиспользуемого в плане ресурса i-го вида.

Для построения первой симплекс-таблицы необходимо определить начальное допустимое базисное решение. Данная задача относятся к задачам линейного программирования с явно выраженным начальным опорным планом. В качестве начальной выбирается ситуацию, когда предприятие ничего не выпускает, т.е. . Эти значения переменных можно принять за начальное допустимое базисное решение. При этом все имеющиеся ресурсы не расходуются, т.e. . Переменные называются свободными, a − базисными. При решении задачи линейного программирования симплекс-методом свободные переменные всегда равны нули, а базисные переменные − больше нуля (в некоторых случаях базисная переменная может принимать нулевое значение, тогда такой базис называется вырожденным).

Для заполнения первой симплекс-таблицы необходимо представить математическую постановку задачи линейного программирования (ограничения-равенства и целевую функцию ) в удобном для этого виде

.

Первая симплекс-таблица имеет вид, представленный в табл. 1.7.

Таблица 1.7

Базисная переменная	Свободный член	Коэффициент при свободной переменной
		↑
	24	-5	7	4
	80	10	5	20
	10	5	2	1
	6	2	1	1
F	0	-18	-12	-8

Процесс отыскания оптимального решения заключается в переходе от одной симплекс-таблицы к другой, пока не будет достигнуто оптимальное решение (план) задачи.

Для получения новой симплекс-таблицы необходимо воспользоваться следующим алгоритмом:

1. Выбирается генеральный столбец, т.е. столбец с наибольшим по модулю отрицательным коэффициентом в строке .

2. В генеральном столбце определяется генеральный коэффициент по минимуму отношения

,

где - i-й коэффициент в столбце "Свободный член";

- i-й коэффициент в генеральном столбце.

3. На место генерального коэффициента записывается величина, обратная генеральному коэффициенту

.

4. Все значения коэффициентов генеральной строки, т.е. строки, где находится генеральный коэффициент, делятся на значение генерального коэффициента и записываются в эту же строку.

5. Все значения коэффициентов генерального столбца делятся на значение генерального коэффициента и записываются в тот же столбец с противоположным знаком.

6. Все остальные коэффициенты находятся по правилу прямоугольника

Используя вышеприведенный алгоритм, устанавливается, что генеральным будет столбец, соответствующий свободной переменной , а генеральный коэффициент находится в строке, соответствующей базисной переменной, т.е.. Поменяв местами переменныеи(базисная переменнаястановится свободной, а свободная переменная− базисной) по рассмотренному выше алгоритму, выстраивается вторая симплекс-таблица (табл. 1.8).

Таблица 1.8

Базисная переменная	Свободный член	Коэффициент при свободной переменной
			↑
	14	-1	5	3
	60	-2	1	18
	2
	2
F	36

Анализируя полученные значения коэффициентов при свободных переменных в строке целевой функции F, устанавливаем, что данное решение еще не является оптимальным, так как есть отрицательные значения коэффициентов , следовательно, необходимо продолжить решение задачи. Повторив указанные выше действия, выстраивается третья симплекс-таблица (табл. 1.9)

Таблица 1.9

Базисная переменная	Свободный член	Коэффициент при свободной переменной
				↑

F

Далее строится четвертая симплекс-таблица (табл. 1.10).

Таблица 1.10

Базисная переменная	Свободный член	Коэффициент при свободной переменной
	1
	5
	1
	3
F	54

Все значения коэффициентов при свободных переменных в строке целевой функции неотрицательны, следовательно, получено оптимальное базисное решение (план)

.

Таким образом, при выпуске предприятием продукции вида А в объеме 1 ед., вида В − 1 ед., вида С − 3 ед. максимальная прибыль составит 54 тыс.руб. При этом материалы, оборудование I и II групп используется полностью, а рабочая сила на 5 человек недоиспользуется.