Принятие управленческих решений с использованием задачи линейного программирования

Вопросы:

1. Линейное программирование как метод принятия управленческих решений

2. Область задач, использующих линейное программирование

3. Алгоритм разработки управленческого решения с использованием линейного программирования

4. Пример принятия управленческого решения

1. Линейное программирование как метод принятия управленческих решений

Современная экономика характеризуется обилием разнообразнейших и все усложняющихся технологических процессов, осуществляемых человеко-машинными системами. Вследствие этого подготовка и принятие управленческих решений в сфере экономики становится все более актуальной и все более трудной задачей. Постоянно растет уровень сложности технико-технологических задач, с которыми повседневно имеет дело современное производство, а вместе с тем происходит и адекватное усложнение организационных форм. Резко возрастает число альтернативных способов действия, подлежащих анализу для принятия оптимальных или хотя бы даже приемлемых решений. Сам анализ решений также затруднен, так как все сложнее предсказать последствия принимаемых решений из-за возрастающей неопределенности. И, главное, цена ошибочных решений принимает угрожающие размеры вследствие масштабов автоматизации и эффекта цепной реакции в системах со сложными взаимосвязями.

Таким образом, современная технически сложная экономика требует совершенствования систем управления на всех уровнях агрегирования. Для обеспечения управляемого развития современному руководителю уже недостаточно личного опыта, интуиции и организаторских способностей в их традиционном понимании. Ему необходимы научные знания о процессах переработки информации и принципах принятия решений. Такие знания вырабатывает сравнительно молодая прикладная наука, зародившаяся незадолго до второй мировой войны и получившая широкое распространение во второй половине XX столетия, которую в нашей стране в разное время называли по-разному: исследование операций, экономическая кибернетика, наука об управлении, принятие (управленческих) решений и т. п.

Под линейным программированием понимают раздел прикладной математики, имеющий дело с теорией и численными методами минимизации линейных функций при наличии ограничений, описываемых конечными системами линейных неравенств.

Первые постановки задач линейного программирования были сформулированы известным советским математиком Л.В.Канторовичем, которому за эти пионерские работы была присуждена Нобелевская премия по экономике.

Первые научные работы Канторовича, выполненные в 1927-1929 гг., относились к дескриптивной теории функций и множеств. Интерес к экономическим проблемам появился у Кантаровича в конце 30-х гг. Надвигавшаяся война порождала у него, по его собственным словам, "ясное ощущение, что слабым местом, снижающим нашу индустриальную и экономическую мощь, было состояние экономических решений". Толчком для разработки метода принятия экономических решений, известного сегодня как метод линейного программирования, послужила показавшаяся Кантаровичу первоначально частной и элементарной практическая задача, с которой к нему обратились в 1938 г. сотрудники Центральной лаборатории Ленинградского фанерного треста. Они попросили его порекомендовать им численный метод для расчета рационального плана загрузки имеющегося оборудования.

Речь шла о комплексном выполнении пяти видов работ на лущильных станках восьми типов и различной производительности, так что выход продукции, казалось, зависел от чистой случайности - какая группа сырья на какой станок была направлена.

Решение данной задачи потребовало принципиально новых идей, позволяющих проводить целенаправленный перебор ряда необходимых комбинации. Ядром открытия Кантаровича являлась установленная им объективная связь задачи оптимального планирования с задачей определения соответствующих стоимостных показателей. На этой основе им были сформулированы признаки оптимальности, позволяющие предложить различные схемы целенаправленного перебора допустимых планов и систем стоимостных показателей.

Основам теории оптимального производственного планирования были посвящены доклады Кантаровича в ЛГУ и Ленинградском институте инженеров промышленного строительства в мае 1939 г. В том же году вышла небольшая брошюра "Математические методы организации и планирования производства", представляющая собой дополнительную стенограмму этих докладов. В ней было зафиксировано открытие, принесшее спустя 36 лет ее автору Нобелевскую премию по экономике.

В работе Кантаровича на основе разрешающих множителей (мультипликаторов) исследовались различные классы планово-производственных задач, давалась математическая постановка производственных задач оптимального планирования, и предлагались эффективные методы решения и приемы экономического анализа этих задач.

2. Область задач, использующих линейное программирование

Типичные варианты применения линейного программирования в управлении производством:

• укрупненное планирование производства (составление графиков производства, минимизирующих общие издержки с учетом издержек в связи с изменением ставки процента, заданных ограничений по трудовым ресурсам и уровням запасов);

• планирование ассортимента изделий (определение оптимального ассортимента продукции, в котором каждому ее виду свойственны свои издержки и потребности в ресурсах);

• маршрутизация производства изделия (определение оптимального технологического маршрута изготовления изделия, которое должно быть последовательно пропущено через несколько обрабатывающих центров, причем каждая операция центра характеризуется своими издержками и производительностью);

• управление технологическим процессом (сведение к минимуму выхода стружки при резке стали, отходов кожи или ткани в рулоне или полотнище);

• регулирование запасов (определение оптимального сочетания продуктов на складе или в хранилище);

• календарное планирование производства (составление календарных планов, минимизирующих издержки с учетом расходов на содержание запасов, оплата сверхурочной работы и заказов на стороне);

• планирование распределения продукции (составление оптимального графика отгрузки с учетом распределения продукции между производственными предприятиями и складами, складами и магазинами розничной торговли);

• определение оптимального местоположения нового завода (определение наилучшего пункта местоположения путем оценки затрат на транспортировку между альтернативными местами размещения нового завода и местами его снабжения и сбыта готовой продукции);

• календарное планирование транспорта (минимизация издержек подачи грузовиков под погрузку и транспортных судов к погрузочным причалам);

• распределения рабочих (минимизация издержек при распределении рабочих по станкам и рабочим местам);

• перегрузка материалов (минимизация издержек при маршрутизации движения средств перегрузки материалов, например, автопогрузчиков, между отделениями завода и доставке материалов с открытого склада к местам их переработки на грузовых автомобилях разной грузоподъемности с разными ТЭХ).

3. Алгоритм разработки управленческого решения с использованием линейного программирования

1) Принятие управленческого решения с использованием линейного программирования предполагает разработку целевой функции, имеющей линейный вид, для которой необходимо найти максимум или минимум.

(1.1)

2) Далее на функцию накладывается ряд ограничений в виде системы линейных неравенств. Эти ограничения называются условиями неотрицательности. Если все ограничения заданы в виде строгих равенств, то данная форма называется канонической.

(1.2)

, (1.3)

где - переменные;и- константы.

3) После определения всех ограничений, накладываемых на целевую функцию, строится модель.

Общую постановку задачи линейного программирования можно записать и в следующей форме

(1.4)

Общую постановку задачи линейного программирования можно представить в векторной форме, имеющей вид

,

,

где - матрица-строка коэффициентов целевой функции;

- матрица-столбец определяемых переменных;

- матрица размерности коэффициентов в ограничениях задачи линейного программирования.

- матрица-столбец свободных членов;

4) Для построенной модели выбирается метод решения и с помощью него находится решение поставленной задачи.

Рассмотрим применение различных методов решения задачи линейного программирования на практическом примере.

3. Пример принятия управленческого решения