Процентный состав и запасы напитков

Напиток	Спирт	Вода	Сахар	Примеси	Количество, л/сут.
Водка	40%	57%	1%	2%	50
Вино	18%	67%	9%	6%	184
Сок	0%	88%	8%	4%	46

Постройте модель, на основании которой можно будет определить, хватит ли ресторану имеющихся ежедневных запасов напитков для удовлетворения возросшего спроса на коктейль.

Задача №1.10*

Продукция бумажной фирмы выпускается в виде бумажных рулонов стандартной ширины – по 20 ед. ширины. По специальным заказам потребителей фирма поставляет рулоны и других размеров, для чего производится разрезание стандартных рулонов. Типичные заказы на рулоны нестандартных размеров приведены в табл.1.8.

Таблица 1.8

Варианты заказов на рулоны нестандартных размеров

Заказ	Требуемая ширина рулона, ед.шир.	Требуемое количество рулонов, шт.
1	5	150
2	7	200
3	9	300

Все допустимые варианты разрезания рулонов приведены в табл.1.9. Рис.1.4 иллюстрирует 1-й вариант раскроя рулонов.

Таблица 1.9

Допустимые варианты раскроя рулонов

Требуемая ширина, ед.шир.	Вариант раскроя рулонов						Минимальное кол-во рулонов, шт.
	1	2	3	4	5	6
5	0	2	2	4	1	0	150
7	1	1	0	0	2	0	200
9	1	0	1	0	0	2	300
Потери, ед.шир.	4	3	1	0	1	2

Рис.1.4. 1-й вариант раскроя рулонов

Постройте математическую модель, позволяющую найти такой план разрезания рулонов, при котором поступившие заказы на нестандартные рулоны удовлетворяются с минимальными потерями (т.е. непригодными для реализации остатками рулонов).

Примечание 1.5.В данной задаче для удобства записи модели можно ввести переменные, не являющиесяискомымивеличинами.

2. Графический метод решения одноиндексных задач

2.1. Теоретическое введение

Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач ЛП с двумя переменными. Он основан на геометрическомпредставлении допустимых решений и ЦФ задачи.

Каждое из неравенств задачи ЛП (1.1) определяет на координатной плоскости некоторую полуплоскость (рис.2.1), а система неравенств в целом – пересечение соотвествующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называетсяобластью допустимых решений(ОДР). ОДР всегда представляет собойвыпуклую фигуру, т.е. обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлена выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучем, одной точкой. В случае несовместности системы ограничений задачи (1.1) ОДР является пустым множеством.

Примечание №2.1.Все вышесказанное относится и к случаю, когда система ограничений (1.1) включает равенства, поскольку любое равенство

можно представить в виде системы двух неравенств (см. рис.2.1)

ЦФ при фиксированном значенииопределяет на плоскости прямую линию. Изменяя значенияL, мы получим семейство параллельных прямых, называемыхлиниями уровня.

Это связано с тем, что изменение значения Lповлечет изменение лишь длины отрезка, отсекаемого линией уровня на оси(начальная ордината), а угловой коэффициент прямойостанется постоянным (см. рис.2.1). Поэтому для решения будет достаточно построить одну из линий уровня, произвольно выбрав значениеL.

Вектор с координатами из коэффициентов ЦФ прииперпендикулярен к каждой из линий уровня (см. рис.2.1).Направление векторасовпадаетс направлением возрастанияЦФ, что является важным моментом для решения задач. Направление убыванияЦФпротивоположнонаправлению вектора .

Суть графического метода заключается в следующем. По направлению (против направления) вектора в ОДР производится поиск оптимальной точки. Оптимальной считается точка, через которую проходит линия уровня(), соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции. Оптимальное решение всегда находится на границе ОДР, например, в последней вершине многоугольника ОДР, через которую пройдет целевая прямая, или на всей его стороне.

При поиске оптимального решения задач ЛП возможны следующие ситуации: существует единственное решение задачи; существует бесконечное множество решений (альтернативный оптиум); ЦФ не ограничена; область допустимых решений – единственная точка; задача не имеет решений.