РГР 1 КТУР 1Семестр Лектор Карпета Т В

В а р и а н т

1

1.

Вычислите определитель

−5

1

−4

1

1

4

−1

5

.

−4

1

−8 −1

3

2

6

2

2.

Найдите матрицу C:

1 0

−5

3 0

1 −2

T

2

T

C =((A

)

B −2B) ;

A =

2 1

8

;

2 5

0 3

B =

.

−2 4

3

−1 0

−2 −2

1

2

3

10

0

2 1 0

8

−2

X =

.

−1 1 0

−1 4

5. Решите систему методом Гаусса:

x1 −3x2 +4x3 −x4 =1,

+3x2

−5x3

+5x4

=10,

7x1

+2x2

−3x3

+2x4

=3.

2x1

cG

6. Проверьте, что векторы образуют базис: a (2; 0; 3), bG(0; −2; 1),

(1; 4; 0). Вектор dG составляет с осью OX угол 450, с осью OY угол

1200, с осью OZ острый угол;

d

G

= 2. Какой угол вектор d образует с

G

G

осью OZ? Разложите вектор d по базису a, b, c .

отрезок AB в отношении 1: 2

, а точка E делит отрезок BC в отношении

JJJG

G

JJJG

G

JJG

JJG

3:1. Пусть AB =a

, BC = b. Найдите векторы DF и AF.

G G

8. Пусть

G

G

G

G

G

a

=3,

b

p =

2a

−b,

q

= a

+3b ,

= 2, (a; b)=1200 .

9.

Найдите координаты вектора x из условий: вектор x

ортогонален векторам aG(1; 0; 2) и b(2; 1; 1), а его проекция на вектор

cG

(1; −2; 2) равна 10.

JJG

JJG

JJJG

10.

В тетраэдре ABCD

AB(3; 0; 2),

AC(1; −5; 0),

AD(0; 3; −2).

l :

x −1

=

y

=

z +2

,

l

:

x +1

=

y −2

=

z

.

2

1

0

−2

1

1

−3 1

13. В параллелепипеде

ABCDA1B1C1D1:

A(1; 2; 3), B(2; 3; 4),

каноническому виду и постройте кривую.

15. Установите,

какая

кривая

определяется

уравнением

y =3 −

1

4x −x2 ,

изобразите ее на координатной плоскости, найдите

2

7. В параллелограмме ABCD точка E лежит на стороне BC, а точка

F – на стороне CD. Точка G является пересечением отрезков AE и BF.

Точка E делит отрезок BC в отношении 3:1, а точка F делит отрезок CD

в отношении 1: 2. Пусть

JJJG

G

JJG G

JJJG

JJG

AB =a ,

AD = b . Найдите векторы AG и BG.

G

G

G

G

G

G

,

a

=1,

b

G

8. Пусть p

= a

+b, q = a

+3b

= 2, (a; b)= 600 . Найдите

проекцию вектора

G

G

на вектор p .

2p

−q

9. Найдите координаты вектора x из условий: вектор x

ортогонален

векторам aG(1; 2; −1) и b(−1; 2; 2),

образует с

вектором

cG(3; 2; 1) острый угол, а модуль вектора x равен

53 .

JJG

10. В тетраэдре

SPKT

JG

JJG

TS(−1; 2; 0),

TK (2; 0; −4),

TP(0; 2; −3).

Найдите объем тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины T на

грань SPK.

11. В прямоугольнике

ABCD отношение сторон

AB: BC =1: 2.

Уравнение

прямой

AB

3x −y +7 =0,

точка

Q(4; −1)

– точка

x +2

y −1

z

x = t +2,

,

l1

:

=

=

l2

: y = −y

−4,

−3

0

3

+1.

z = −2t

13. В параллелепипеде

ABCDA1B1C1D1:

A(2; 0; 3), B(1; 1; −1),

каноническому виду и постройте кривую.

15. Установите,

какая

кривая

определяется

уравнением

x = 2 −

1

y2 −2y +5 ,

изобразите ее

на координатной

плоскости,

2

В а р и а н т

3

1.

Вычислите определитель

2

3

4

5

3

4

5

6

.

4

6

8

10

2

3

7

8

2.

Найдите матрицу C:

1

2 −1 3

1

−3

0

5

−1

−4

2

−4

C = 2BBT −AT ; A =

;

B =

.

3

−3 −5 7

8

0

8

2 1 −2

0

−1

3. Решите систему методом Крамера:

2x +3y +z = 0,

+9y +5z = −3,

7x

+4y +3z =5.

3x

4.

Решите матричное уравнение

2 −1 1 1

−8 3

X

=

.

0 2

0 5

4 2

5. Решите систему методом Гаусса:

x1 −x3 + x4 =3,

+3x2 −x

3 −x

4 = 2,

2x1

−3x4 = −6,

5x1

x1 + x2 + x3 + x4 = 2.

cG

6.

Проверьте, что векторы образуют

базис: a (5; 4; 3), bG(3; 3; 2)

(8; 1; 4). Вектор dG составляет с осью OX угол 1200, с осью OY угол

1350, с осью OZ острый угол;

d

G

= 6. Какой угол вектор d образует с

G G

осью OZ? Разложите вектор d по базису a, b, c .

7. В ∆ABC точка D лежит на стороне AB, а точка E – на стороне

BC. Точка F является пересечением отрезков AE и CD. Точка D делит

отрезок AB в отношении 2:1, а точка E делит отрезок BC в отношении

JJJG

G

JJJG

G

JG

3: 2 . Пусть AB

=a

, AC = b . Найдите вектор BF .

G G

8. Пусть

G

G

G

G

G

a

=3,

b

p =

2a

−b,

q = a

+3b ,

= 2, (a; b)=1200 .

9.

Найдите координаты вектора x (x; −1; x), если проекция вектора

xG×aG

(1; 2; 1) на вектор bG(2; 6; 3) равна 1.

JJG

JJJG

JJG

10. В тетраэдре ABCD BA(−2; 4; −6),

BC(0; −1; 2),

BD(4; 0; −2).

Найдите объем тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины B на

грань ACD.

AC : y +1 =0,

11. В

∆ABC известны: вершина B(2; 3),

сторона

высота

CH : x + y −5 =0. Найдите уравнение

средней

линии ∆ABC ,

l :

x −4

=

y +1

=

z −2

,

l

:

x

=

y +5

=

z

.

1

−1

1

3

2

0

2

4

13. В параллелепипеде

ABCDA1B1C1D1:

A(3; 2; 1), B(1; 1; 1),

каноническому виду и постройте кривую.

15. Установите,

какая

кривая

определяется

уравнением

y =1−

3

8x −x2 −12 ,

изобразите ее

на координатной

плоскости,

2

В а р и а н т

4

1.

Вычислите определитель

2

5

0

4

1

7

0

2

.

3

8

1

6

4

9

3

8

2.

Найдите матрицу C:

1

0

−1

−2

C =(2ATA +7B)

T

; A =

2 0 −4 −3

1 −1 0 −4

−1 4 7

; B =

0 4

−2 3

.

1

3

0

−6

9

3.

Решите систему методом Крамера:

x +2y +3z = 4,

+ y −2z =9,

3x

+4y +5z =5.

2x

4.

Решите матричное уравнение

2 1 1 1 4 13

X

=

.

0 2 0 3 4

−2

5. Решите систему методом Гаусса:

2x1 −x2 + x3 −x4 =1,

−x2

−3x4 = 2,

2x1

−x3

+ x4 = −3,

3x1

+2x2 −2x3 +5x4

= −6.

2x1

bG(2; −2; 1),

cG

6.

Проверьте, что векторы образуют базис: a (4; −3; 2),

(2; −1; 0). Вектор dG

составляет с осью OX угол 1350, с осью OY тупой

угол, с осью OZ угол 120D ;

d

G

=8. Какой угол вектор d образует с осью

G

G

G

OY? Разложите вектор d по базису a, b, c .

7.

В параллелограмме ABCD точка E лежит на стороне BC, а точка

F – на стороне CD. Точка G является пересечением отрезков AE и BF.

Точка E делит отрезок BC в отношении 2:1, а точка F делит отрезок CD

в отношении 2 : 3. Пусть

JJJG

G

JJG

G

JJJG

AB =a

, AD = b . Найдите вектор

DG .

8.

G

G

G

G

G

G

a

= 2 ,

b

=1 и векторы p и q

Пусть p =

2a

+4b ,

q

= a

−b,

G

перпендикулярны друг другу. Найдите модуль вектора q .

9. Найдите координаты вектора x из условий: вектор x

ортогонален векторам aG(2; 1; −2)

и b(0; 1; 2),

а его проекция на вектор

cG(2; 3; 6) равна 8.

JJG

JJG

JJJG

10. В тетраэдре

OPNK

(0; −6; 5).

OP(4; 0; 3),

ON(−1; 5; 0),

OK

Найдите тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины O на грань

PNK.

11. Высота

и

медиана,

проходящие

через разные

вершины

треугольника

ABC, лежат

на

прямых,

заданных

уравнениями

AB и AC, если B(5; 10).

12.

Составьте

уравнение

прямой,

проходящей через точку

A(2; 0; −1) и две скрещивающие прямые:

x

y −2

z −2

x = −3t +2,

,

l1 :

=

=

l2

: y = t,

−1

1

2

z = −1.

13.

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1:

A(−1; 2; 1), B(−2; 1; 2),

каноническому виду и постройте кривую.

15. Установите,

какая

кривая

определяется

уравнением

x = −1+

1

y2 +4y , изобразите ее на координатной плоскости, найдите

2