Т3 Логика решения задач

регуляризующих ограничений в виде неравенств шкалу сложности можно задать градацией пороговых уровней неравенств и др.

Аналогичным образом можно определить шкалу сложности регуляризованных множеств допустимых решений задачи наблюдения.

220. В итоге постановки задач управления и наблюдения могут быть сформулированы симметрично, как достижение необходимой точности E -

управления (Ey ) и наблюдения ( Eн ) соответственно; при регуляризующем ограничении C - соответственно управления ( Cy ) и наблюдения ( Сн ). При

оптимальном решении указанных задач для них может быть указана область неулучшаемых решений, общий вид которой приведен на рис.

3.4.4.

Рис. 3.4.4. Типовая зависимость точности решения задач управления и наблюдения от уровней регуляризации и неопределенности знания

Здесь Zi – уровни неопределенности знания об объекте управления; Emax - максимальная ошибка решения задач, которая получается при минимальном значении регуляризующего показателя Cmin ; Emin,th -

теоретически минимальная ошибка решения задач при расчетных значениях характеристик постановок задач и неограниченном значении

регуляризующего показателя; Emin, pr - практически достижимая

минимальная ошибка решения задач, представленная здесь для примера на случае уровня неопределенности знания Z2 ; Copt - оптимальное значение

регуляризующего показателя, обеспечивающего практический максимум точности (минимум ошибки) решения.

230. Приведенная зависимость (рис. 3.4.4) имеет глубокий смысл для понимания задач управления и наблюдения. Прежде всего смысл данной зависимости состоит в том, что сложность решений задачи управления, а также сложность решения задачи наблюдения, должны соответствовать

224

реальной сложности объекта управления, понимаемой в обобщенном смысле. Если сложность решения превышает сложность объекта управления, то соответствующая задача оказывается переусложненной и неустойчивой к изменениям исходных данных. Если же сложность решения задачи ниже сложности объекта, то достигнуть необходимой точности решения невозможно, так как сложность управления не соответствует сложности поведения объекта. Следовательно, при решении задач управления и наблюдения выбор сложности решения должен осуществляться на основе компромисса между противоречивыми требованиями точности и устойчивости решения. Необходимый баланс противоречивых требований точности и сложности решения задач определяют эффективность решения.

Эффективное решение зависит от уровня неопределенности знания об объекте управления. Чем выше неопределенность знаний, тем более эффективными становятся более простые решения. Сложные и точные решения теряют свою эффективность при низком уровне знаний характеристик объекта управления. Более того, для ответственных объектов управления подобные решения будут опасными вследствие несогласованности подобных решений с неопределенными характеристиками объекта и, как следствие, неустойчивости подобных решений. Наоборот, эффективность решений задач управления будет повышаться, если рост мощности и сложности управления сопровождается адекватным ростом знаний об объекте управления.

Таким образом, эффективность решения задач управления определяется показателями точности, сложности и устойчивости, которые должны оцениваться для всей системы управления объектом в целом. При этом разрешимость задач управления и наблюдения характеризуют свойства управляемости и наблюдаемости объекта управления.

Связь точности и сложности управления можно иллюстрировать на наглядных примерах. Так, при росте мощности управления превышающем мощность, объективно необходимую для управления объектом, точность управления будет падать (наглядный художественный пример – «слон в посудной лавке»). Наоборот при снижении мощности управления ниже объективно необходимого уровня управление также теряет свою эффективность. Усложненное точное управление при незнании характеристик объекта приводит к эффекту действий «невпопад». Здесь важно понимать, что для каждой задачи управления существует свой оптимальный уровень мощности и сложности управления, при котором достигается максимальная эффективность. Поэтому для решения подобных задач необходимо использовать интерактивные методы выбора решений, позволяющие варьировать ограничения задачи с целью определения их оптимального уровня.

225

В общем случае задачи исследования операций, которые могут быть положены в основу расчета управляющих решений могут быть самыми разнообразными. Это могут быть задачи оперативного планирования работ, составления расписаний, принятия решений на основе экспертных систем реального времени и др.

3.4.3. Об оптимизации управления по квадратичным критериям

240. Рассматривая оптимальное управление, прежде всего следует отметить, что в реальных системах объектами управления могут быть самые разнообразные процессы, описываемые не только обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, но и уравнениями с нестационарными коэффициентами, уравнениями в частных производных, интегральными уравнениями; уравнениями, содержащими пространственные переменные с граничными условиями, и др. Динамические свойства подобных объектов могут быть представлены в виде динамических операторов общего вида.

С учетом сказанного предположим, что процессы в объекте

расчетное значение выходной координаты. Здесь с целью упрощения изложения принято предположение, что возмущающие воздействия являются детерминированными, и компенсация данных воздействий осуществляется за счет их учета в расчетном значении выходной координаты объекта. Излагаемый ниже материал справедлив и для более общих случаев.

Предположим, что невязка решения уравнения (3.2) оценивается квадратичным функционалом

где LO – динамический оператор, сопряженный исходному оператору LO .

Минимум функционала (3.4) определяется решением операторного уравнения

в обратном времени, и является по этой причине физически нереализуемым. Однако в рассматриваемом случае указанное осложнение задачи легко обходится путем сокращения сопряженного оператора LO в

уравнении (3.5) и возврата к исходному уравнению (3.2). Отметим, что появление дополнительных решений при использовании квадратичных форм присуще как функциональным уравнениям, так и алгебраическим уравнениям.

С указанной сложностью столкнулся еще Норберт Винер, при решении задач оптимальной фильтрации сигналов на фоне помех по критерию минимума среднеквадратической ошибки24. В общем случае оптимальное решение здесь получалось в виде физически нереализуемой передаточной функции. Для преодоления данной сложности Винер предложил проводить факторизацию знаменателя передаточной функции на физически реализуемую и нереализуемую части. Физически нереализуемая часть устранялась из решения. С точки зрения функционального анализа данная операция представляет собой разложение самосопряженного динамического оператора на физически реализуемый оператор и соответствующий ему сопряженный оператор. Другой подход в теории оптимальной фильтрации был использован Л.А. Заде и Дж. Р. Рагадзини на основе ограничения памяти искомого фильтра25. Недостатком указанного подхода являлось жесткое ограничение памяти фильтра, что порождало соответствующие сложности при его практической реализации. Более практичный подход с использованием

24 Wiener, N. The Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary Time Series / N. Wiener. – New York: Wiley, 1949.

25 Zadeh, L.A. An Extension of Wiener’s Theory of Prediction / L.A. Zadeh, J.R. Ragazzini // J. Appl. Phys. –Vol. 21. – 1950. – July. – P. 645–655.

Zadeh, L.A. Optimum Filters for the Detection of Signals in Noise / L.A. Zadeh, J.R. Ragazzini // Proc. IRE. –Vol. 40. – 1952. – October. – P. 1223–1231.

Указанный фильтр с конечной памятью приведен в книге: Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления / В.В. Солодовников. – М.: Физматгиз, 1960. – 655 с.

См. также: Андреев, Н.И. Корреляционная теория статистически оптимальных систем / Н.И. Андреев. – М.: Наука, 1966.

227

экспоненциальной фильтрации рассмотрен в очерке 4 п. 4.3 настоящей работы.

Рассмотрим далее задачу выбора управления по критерию минимума квадратичной невязки решения с ограничением сложности. С этой целью введем функционал сложности

Решение уравнения (3.8) является физически нереализуемым. Получить физически реализуемые решения на основе уравнений типа (3.8) можно различными способами. Один из способов состоит в разложении решения на физически реализуемую и нереализуемую части. Физически нереализуемая часть трактуется как задача планирования управления, реализуемая часть рассматривается как обычная следящая система, задающим воздействием для которой выступает расчетный план управления. Данный подход рассмотрен в п. 4.4 очерка 4 настоящей работы. Другой подход основан на использовании текущего горизонта управления. Указанный подход используется в концепции упреждающего управления и подробно рассмотрен в п. 4.5. очерка 4 настоящей работы. Ниже рассматривается подход, основанный на введении ограничений на физически нереализуемую составляющую решения.

Для преодоления рассмотренной сложности при решении задач выбора управления по квадратичным критериям можно в постановку задачи ввести дополнительное ограничение на физически нереализуемую связь y LOu , которая в эвклидовом пространстве может быть определена

как проекция

Решение уравнения (3.11) будет уже физически реализуемым. Полученный результат можно обобщить на случай, когда невязка

где е – вектор ошибок управления, е ут у ; А – положительноопределенный самосопряженный оператор, состоящий из весов компонент

где Lк – корректирующий оператор.

Ставится задача: найти управление и , обеспечивающее минимум функционала ошибок (3.12) при ограничении сложности (3.13). Можно показать, что искомое управление определяется как решение операторного уравнения

автоматического управления, представленную на рис. 3.4.5. Здесь K 1

– матрица коэффициентов усиления, А – матрица весов составляющих ошибок, Lк – корректирующий оператор. Полученная структура

соответствует классической схеме системы автоматического управления.

Рис. 3.4.5. Структурная схема системы автоматического управления.

Отметим, что полученная структура (рис. 3.4.5) имеет ясный технический смысл. Здесь матрица А определяет веса ошибок частных каналов управления, матрица коэффициентов усиления К определяет точность управления, корректирующий оператор Lк определяет запасы

устойчивости.

Анализ приведенных результатов позволяет сделать следующие выводы.

1.Вариационный подход к выбору управления на основе нахождения минимума квадратичных функционалов и классический операторный подход на основе прямого решения операторных уравнений при согласованных между собой определенным образом постановках задач являются дуальными друг другу и приводят к одинаковым результатам. Этот факт согласуется с методологией решения задач в математической

229

физике, где решение дифференциальных уравнений движения физической системы может быть получено как прямым решением уравнений на основе соответствующих методов, так и вариационными методами по критерию минимума квадратичного функционала26.

2.Понятие оптимальности управления в общем случае не связано со способом выбора управления, в частности – на основе применения прямых методов решения операторных уравнений или вариационных методов. При этом в случае неудачного выбора квадратичного функционала, полученная система управления

может быть сколь угодно плохой с точки зрения инженерных критериев27.

3.Оптимальность управления определяется инженерными критериями оценки управления. Именно на основе инженерных критериев должно осуществляться конструирование оптимальных регуляторов систем автоматического управления. В классической теории задача конструирования сводится к оптимальному выбору динамического оператора регулятора. Соответственно в вариационных методах задача конструирования должна сводиться к оптимальному выбору структуры используемых функционалов и последующему нахождению собственно оптимального управления.

3.4.4.Анализ систем управления в обобщенном спектральном базисе

250. Как уже указывалось в реальных системах объектами управления могут быть самые разнообразные процессы, описываемые различными математическими моделями. Функциональные свойства подобных объектов можно представить в виде динамических операторов общего вида.

Предположим, что процессы в объекте управления описываются линейным оператором LO общего вида, действующим в эвклидовом

Будем полагать, что управление u для объекта (4.1) определяется как решение операторного уравнения

26Михлин, С.Г. Вариационные методы в математической физике / С.Г. Михлин.

–М.: Наука, 1970. – 512 с.

27Калман, Р. Е. Когда линейная система является оптимальной? / Р.Е. Калман // Тр. амер. общ-ва инж.-мех. – Серия Д.– №1: Мир. – 1964. – С. 69-84.

230

–расчетное значение выхода объекта.

Стехнической точки зрения уравнение (4.2) отражает типовую ситуацию автоматического регулирования, когда управляющее воздействие на объект регулирования вырабатывается специальным устройством – регулятором. Соответствующая структурная схема системы автоматического регулирования приведена на рис. 3.4.6.

Рис. 3.4.6. Структурная схема системы автоматического управления.

Предположим, что закон регулирования здесь определяется

где KR - коэффициент усиления регулятора (в общем случае матрица

коэффициентов усиления).

Решение уравнения (4.2) будем искать с использованием проекционного подхода, основанного на использовании проекций процессов на координатные функции.

260. Предположим, что оператор LO может быть разложен на две составляющие

LO LнO LсO ,

где LнO - детерминированная составляющая, LcO - случайная

составляющая.

Предположим также, что для линейного отображения LнО существует некоторый базис координатных функций { : 0 , 1, 2 , ...}, в котором данный оператор, осуществляющий преобразование входных

28 Математические основания рассматриваемого здесь спектрального подхода приведены в очерке 2, п. 2.3.

231

разложения входного, выходного воздействия, а также оператора в базисе координатных функций:

Например, таким базисом для линейных стационарных систем являются гармонические функции. Гармонические функции упорядочены по своему базовому параметру – частоте колебаний, которая имеет точный физический смысл. Здесь для нас важно то, что частоту колебаний можно использовать в роли параметра, определяющего шкалу сложности реализации технических устройств. Для данного случая введенный выше параметр координатных функций интерпретируется как частота соответствующей гармоники: i i , где – круговая частота колебаний.

Для линейных систем общего вида в роли базисных функций могут выступать собственные функции линейных операторов. Они также должны быть упорядочены по определенной шкале сложности. При этом для соответствующих операторов приведенные выше формулы упрощаются, так как в этом случае справедливы соотношения

Предположим, что корректирующий линейный оператор Lк может быть разложен в том же базисе, что и оператор LнO объекта управления.

Далее, с целью упрощения приводимых ниже соотношений, предположим также, что корректирующий оператор регулятора конструируется в ортогональном базисе собственных функций объекта управления, при этом выполняются соотношения (4.5).

В указанных предположениях, уравнения (4.3), (4.4) можно представить в спектральном виде

Решения системы уравнений (4.6), определяющие спектральные составляющие ошибок регулирования

e( ) 1 WOн ( ) WOс ( ) WR ( )KR 1 yт ( ) z( ) , I . (4.7)

С учетом (4.7) нормы спектральных составляющих ошибок регулирования определятся выражением

Предположим, что заданы нормы спектральных составляющих абсолютной ошибки регулирования

e( ) ( ) , I . (4.9)

Тогда спектральные составляющие относительных ошибок регулирования с учетом (4.8) можно оценить выражениями

Из выражений (4.8)–(4.10) следуют выражения оценок спектральных составляющих относительных ошибок регулирования

Принимая во внимание физическое ограничение для реальных объектов

(4.14)–(4.16) будут нарушаться. Выходом из данного положения является выбор линейной корректирующей части регулятора WR ( ) таким образом,

чтобы она выполняла роль фильтра соответствующих гармоник

Условие (4.18) приходит в противоречие с условиями точности регулирования (4.8), (4.9). Для выполнения этих условий с учетом (4.18) необходимо

233