Т3 Логика решения задач

подобные схемы широко используются в технике в виде инструкций персоналу для ситуационного управления технологическими процессами. Данные инструкции обычно строятся в категориях: отклонение,

обстоятельства, причина, корректирующие действия и др.

Отклонением здесь являются отклонения характеристик технологического процесса от номинальных значений. Обстоятельства - сопутствующие события. Причина – причины отклонений. В зависимости от вида отклонений, причин и обстоятельств возникновения отклонений определяются корректирующие действия. Корректирующие действия могут быть направлены на устранение причин отклонений. Естественно с устранением причин устраняется и следствие – отклонение20. Однако не все причины могут быть устранены, кроме того, причины могут быть и неизвестны. В этом случае корректирующие действия направлены на парирование отклонений, другими словами, на их устранение с помощью других уже причин, также воздействующих на отклонения.

70. Ниже в качестве примера приведен фрагмент инструктивной таблицы корректирующих действий для оперативного управления обжиговой печью при производстве цинка.

(продолжение таблицы 1.1. на следующей странице)

20 Данное правило было сформулировано еще в рамках классической логики: cessante causa cessat effectus (лат.) – с прекращением причины, устраняется действие.

214

Приведенный фрагмент инструктивной таблицы наглядно демонстрирует роли основных категорий в формировании ситуационного управления.

Действия, описанные в таблице 1.1, определены в качественном виде. Определение количественных характеристик действий здесь может быть выполнено, например, с использованием лингвистических переменных, значения которых образует порядковые шкалы. Так, действие

Сиспользованием шкал значений лингвистических переменных можно формулировать правила действий при управлении процессами. Например, для инструктивной таблицы 1.1 можно указать правило:

"Если в материале на сходе из обжиговой печи наблюдаются огни пламени зеленого цвета средней интенсивности, то при неполном выгорании цинка по причине недостаточного воздушного дутья

необходимо умеренно добавить дутья печи".

Сиспользованием рассмотренной логики строятся автоматизированные экспертные системы, основу базы знаний которых составляют технологические правила ведения процессов, сформулированные в лингвистической форме.

215

3.4.2. Общая постановка задачи управления

80. Рассмотрим с общих позиций постановку задачи управления.

Для задач управления принципиальное значение имеет фактор физического времени, поэтому управление представляется как динамический процесс, развивающийся во времени:

могут быть представлены в двух формах.

Первая форма связана с представлением характеристик процесса в виде векторной переменной, зависящей от времени, например - y(t) . Здесь y - векторная переменная, понимаемая в обобщенном теоретикомножественном смысле. Другими словами, переменная y принимает свои значения в абстрактном пространстве Y , представляющим собой декартово произведение множеств элементов произвольной природы.

Вторая форма представления рассматривает реализации (графики, траектории) во времени процессов как целостные элементы. Например,

для элементов которого определена норма, называется нормированным.

90. Для того чтобы в текущий момент времени t принять обоснованное решение об управляющем воздействии, прежде всего, необходимо знать достоверный прогноз всех возможных последствий этого воздействия. Это означает, что управляющая сторона должна иметь

216

определенные модельные представления, которые позволяют объективно прогнозировать следствия, исходя из знания сложившейся ситуации. Формально, это можно представить в виде отображения

возмущающее воздействия на объект управления, рассматриваемые как траектории соответствующих процессов на интервале времени (t, t Tу ] ;

совокупность информации о внутренних процессах объекта, достаточная для достоверного прогноза его поведения на интервале прогноза (t, t Tу ]

. Отображение (2.2) представляет собой выходную функцию объекта управления.

100. При решении задачи управления необходимо знать текущее состояние (t) объекта управления. Знание текущего состояния можно

получить, например, в результате наблюдения за поведением объекта на интервале времени, предшествующем текущему моменту времени. Это означает, что управляющая сторона должна иметь определенные модельные представления, которые позволяют ей, исходя из предыдущих наблюдений, ретроспективно проследить, как сложилось текущее состояние объекта управления. Формально, это можно представить в виде отображения

объект управления, рассматриваемые как траектории входных процессов на интервале времени [t Tн , t] ; (t) - текущее состояние объекта

управления на момент времени t; y[t Tн , t ] - ретроспектива реакции объекта

управления, рассматриваемая как траектория выходного процесса на интервале времени [t Tн , t] .

110. Отображения (2.2), (2.3) являются дуальными друг другу и отражают динамические свойства объекта управления. Дуальный характер отображений проявляется в том, что они взаимно противоположны по действию. Отображение (2.2) отражает динамические свойства объекта с точки зрения перспективы развития процессов, отображение (2.3) – с точки

217

зрения ретроспективы. При этом состояние (t) для отображения (2.2) является начальным условием, для отображения (2.3) – конечным условием.

Рассмотрим более подробно постановки задач управления и наблюдения с точки зрения обеспечения точности, устойчивости и сложности решения.

120. В соответствии с отображением (2.2) задачу выбора управления формально можно представить как задачу решения операторного

воздействия.

Если задача (2.4) разрешима, то объект управления считается

управляемым.

130. Задача (2.4) с физической точки зрения является некорректно

Основанием для упорядоченного разбиения множеств будем считать физическую сложность реализации соответствующих процессов. Этим критерием может служить, например, физическая мощность соответствующих воздействий, их частота, энтропия реализаций, либо иное аналогичное понятие. Таким образом, упорядоченное разбиение множеств (2.5) определяет шкалу физической сложности процессов.

В этом случае оператор Gу , удовлетворяющий условиям (2.6), допускает множество сужений {Gy : = 0, 1, 2, ...}, действующих только в рамках

Для линейных операторов возможность подобного разложения была рассмотрена ранее в очерке 2 п. 2.3.

В этом случае справедлива следующая приближенная оценка решений уравнения (2.4)

ограничены. Математически данное ограничение формулируется в виде

устойчивость решения уравнения (2.4) нарушается.

140. Для регуляризации некорректно поставленных задач управления

можно использовать различные методы. Одним из базовых подходов является использование корректирующих операторов. Например, вместо уравнения (2.4) можно решать уравнение

корректирующий оператор.

Для линейного случая решение уравнения (2.10) можно формально представить в виде

Решение уравнения (2.10) будет физически реализуемым, если величина регуляризующего множителя и корректирующий оператор Lк

где M - некоторое число, ограниченное по величине.

150. Уравнение (2.10) можно эквивалентным образом представить в виде структурной схемы расчета управления (рис. 3.4.3).

расчета управления, поставленную корректно с математической точки зрения. Данная схема не случайно соответствует классической структуре системы автоматического управления с обратной связью по ошибке. Именно в подобных структурах достаточно просто с ограниченной сложностью можно реализовать устойчивые процессы управления.

Из рассмотрения рис. 3.4.3 следует, что величина KR определяет мощность управления u . При неограниченном возрастании мощности

В качестве показателя точности решения задачи управления с аналитической точки зрения удобно использовать квадрат нормы уклонения

Показатель точности (2.14) является инверсным, другими словами, снижение величины показателя (2.14) характеризует рост точности решения задачи управления и наоборот. Другими словами, данный показатель является показателем ошибки управления.

220

170. Из уравнения (2.10) следует, что при неограниченном возрастании мощности управления KR , R 0 , в случае, если

исходное уравнение (2.4) разрешимо, ошибка управления стремится к нулю: Ey2 0 . В действительности данное предельное значение не

достигается вследствие потери устойчивости управления. Для расширения границ устойчивости и соответственно повышения точности управления используются специальные корректирующие операторы Lк . В итоге

операторная структура регулятора в классической теории имеет вид Lк KR , где KR определяет мощность управления, Lк – корректирующие свойства

регулятора. Вся классическая теория фактически сводится к технике рационального выбора операторов регулятора Lк , KR .

180. В общем случае корректное решение задачи (2.4) может быть определено в рамках постановки специальной задачи исследования операций – выбора управления в реальном времени. Например, постановка задачи может иметь следующий вид

определяемое на основе наложения множеств дополнительных условий на

соответственно.

Решение задачи (2.15) в общем случае осуществляется на основе методов математического программирования. Альтернативным подходом является использование техники автоматического управления, основанной на использовании регуляторов в виде автоматических устройств

u R(e, , t) .

Здесь происходит автоматическое определение управления, исходя из известных значений ошибки управления e , текущего состояния и времени t.

Подход математического программирования и подход автоматического управления в определенном смысле противоположны друг другу. Постановка задачи математического программирования позволяет вводить разнообразные условия на основе их объединения в систему целевых функций, равенств и неравенств. Однако, при этом решение задачи значительно усложняется. Наоборот, определение управляющих воздействий на основе автоматических устройств

221

осуществляется относительно просто, однако введение разнообразных дополнительных условий здесь затруднено.

Обе задачи связаны друг с другом. На основе решения задач математического программирования можно определить регулятор автоматической системы, и наоборот, уравнения, описывающие функционирование автоматических устройств, можно использовать в качестве ограничений в постановках задач математического программирования.

190. Рассмотрим далее задачу наблюдения.

В соответствии с отображением (2.3) задачу оценки состояния

формально можно представить, как задачу решения операторного уравнения

где y[t Tн , t ] - ретроспектива траектории движения объекта управления на

интервале времени [t Tн , t] ; u[t Tн , t ] , z[t Tн , t ] - ретроспективы траекторий входных воздействий.

Если задача (2.16) разрешима, то объект управления считается

наблюдаемым21.

200. Определим невязку решения операторного уравнения (2.16) в виде нормы уклонения

Тогда показатель точности решения задачи управления можно определить в виде

Показатель точности (2.18) также является инверсным: снижение величины показателя (2.18) характеризует рост точности решения задачи наблюдения и наоборот.

210. Сформулированная выше постановка задачи наблюдения (2.16) с математической точки зрения является обратной задачей. Как уже было сказано, постановка обратных задач в общем случае является

21 Понятия наблюдаемости и управляемости являются дуальными друг другу. В частности, справедливо утверждение: конечномерная линейная система управляема (соответственно наблюдаема) тогда и только тогда, когда дуальная к ней система (в смысле алгебраической теории категорий) наблюдаема (соответственно управляема). Данное утверждение для более широкого класса систем строго доказано с использованием алгебраической теории категорий в работе: Arbib, M.A. Foundations of system theory: decomposable systems / M.A. Arbib, E.G. Manes // Automatica. – 1974/ – N 10/ – P. 285-302. Русск. перевод: Арбиб, М.А. Основания теории систем: разложимые системы / М.А. Арбиб, Э.Дж. Мейнс // Новое в зарубежной науке. Серия: Математика; под ред. А.Н. Колмогорова, С.П. Новикова. - М.: Мир, 1979. – Вып. № 14. – Математические методы в теории систем. – С. 7-48.

222

некорректной. Некорректность проявляется в неустойчивости решения, при этом малые отклонения в исходных данных вызывают сколь угодно большие отклонения в решении. Более того, как показано выше, само решение может быть неограниченным по норме, другими словами - физически нереализуемым. Подобные решения, как правило, переусложнены в деталях, что определяет их неустойчивость к вариациям исходных данных. Поэтому для решения обратных задач динамики, к которым относятся задачи наблюдения и задачи управления, необходимо использовать методы регуляризации22.

Общий подход к регуляризации некорректно поставленных задач в теории управления состоит в наложении регуляризующих условий, например, ограничения физической мощности управляющих решений23, ограничения информационной сложности, ресурсоемкости и др. С математической точки зрения регуляризованное множество решений должно представлять собой компакт в абстрактном функциональном пространстве, обладать конечной ε-энтропией и допускать конечномерную аппроксимацию. Итерационные процессы решения задач в регуляризованном множестве должны быть сходящимися и устойчивыми.

В рамках решаемых задач формальное выражение регуляризующих ограничений может иметь различный вид, например, в виде ограничения решений по норме:

в виде дополнительных корректирующих операторов, неравенств и др. В дальнейшем регуляризующее ограничение будем определять как ограничение сложности искомого решения, понимаемое в обобщенном смысле.

Предположим, что на множестве решений задачи управления U

Шкалу (2.20) можно определить, например, на основе соответствующим образом определенного регуляризирующего функционала C(u) :

U1c {u : C(u) C1 }, U2c {u : C(u) C2 }, U3c {u : C(u) C3 }, ... (2.21)

C1 C2 C3 ...

Так, для уравнения (2.10) шкала сложности может быть определена градацией величины регуляризующего множителя R . В случае задания

22Тихонов, А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач / А.Н. Тихонов. – ДАН СССР, 1963. – 153. – №1.

23Солодовников, В.В. Синтез систем управления минимальной сложности / В.В. Солодовников, В.Л. Ленский // Изв. АН СССР. Техн. Кибернетика. – 1966.– №2.

Солодовников, В.В. Принцип сложности в теории управления / В.В. Солодовников, В.Ф. Бирюков, В.И. Тумаркин. - М.: Наука, 1977.

223