Т3 Логика решения задач

0

Рис. 3.3.1. Структура целей и средств.

______________________________________________

70. Следующим этапом (L2.2) решения генеральной целевой задачи

является постановка конкретных задач выбора эффективных решений.

80. Постановка задачи выбора эффективного решения формулируется в категориях «цель–средство–результат». Задача состоит в том, чтобы выбрать такие средства, которые, будучи примененными в действительности, дали бы наиболее близкие к цели результаты. Данная задача с системной точки зрения формулируется как задача исследования операций.

90. Под операциями здесь понимается целенаправленная деятельность оперирующей стороны, направленная на достижение целей в рассматриваемой объективной действительности. При этом в объективной действительности выделяется объект деятельности, на который направлены действия оперирующей стороны, и среда, которая также действует на объект деятельности. Действия среды на объект считаются

194

независимыми от оперирующей стороны и в общем случае противоречат деятельности оперирующей стороны с точки зрения достижения целей.

100. Исходным пунктом (L2.2.1) здесь является постановка прямой

задачи системного анализа, которая формулируется следующим образом – исходя из заданного набора альтернативных средств, определить все возможные объективные результаты (следствия) применения данных средств.

Формально, это можно представить в виде отображения

оперирующей стороны, которые соответствуют набору альтернативных средств i { i,k };

{ωi } - множество возмущений, под которыми понимаются как

внешние возмущения среды, так и внутренние неконтролируемые возмущения объекта операции;

Yi {bi,k } - i -ое множество результатов операции.

110. Отображение (1) определяет формальную модель объекта операции. При построении отображения (1) необходимо обеспечить логическую полноту отображения, которая проявляется в полноте учета результатов действий оперирующей стороны, а также в полноте самих действий. Неполный учет объективных результатов действий на практике может привести к неожиданным следствиям, что обесценит решение поставленной задачи.

120. Успешность решения задачи определяется оценками, на основе которых можно оценить близость получаемых результатов к поставленным целям. В роли оценок, как правило, выступают вторичные показатели

130. В зависимости от характера оценок различают следующие показатели:

-показатели успехов операции, для которых чем больше величина оценки, тем ближе оцениваемые результаты к поставленным целям;

-показатели потерь операции, для которых чем больше величина оценки, тем дальше оцениваемые результаты от поставленных целей.

195

Указанные группы показателей в общем случае противоречат друг другу. Разрешение указанного противоречия составляет генеральную задачу исследования операций.

140. Эффективность операции определяется соотношением между показателями успехов и показателями потерь. Рост показателей успехов при прочих равных условиях свидетельствует о росте эффективности операции. К росту эффективности операции при прочих равных условиях также приводит снижение показателей потерь. При планировании операции выбор решений должен осуществляться исходя из максимизации успехов операции и минимизации потерь. В этом случае достигается максимальная эффективность операции.

150. В общем случае решения должны выбираться оптимальным образом. Оптимальность – это наиболее эффективное согласование противоречий, присущих решаемой задачи. Действовать оптимально – это значит: «держать в уме противоположные мысли и принимать наиболее эффективные решения».

160. Частные показатели оценивают лишь частные аспекты операции. Для выбора оптимального решения необходима (L2.2.2) целевая функция,

которая бы оценивала близость получаемых результатов к поставленным целям по совокупности аспектов.

170. В наиболее простом случае в качестве целевой функции выбирается самый важный показатель, остальные показатели используются как ограничения:

где p0 - целевой показатель;

iц - индекс показателя, используемого в качестве целевого;

Dip - области допустимых значений частных показателей, в рамках

решаемой задачи.

180. В общем случае целевая функция определяется как некоторая функция частных показателей

В этом случае ее можно рассматривать как обобщенный целевой показатель.

190. Обобщенный целевой показатель (5) необходимо строить таким образом, чтобы он в том или ином смысле служил обобщенной мерой расстояния до поставленных целей.

Например, это можно сделать на основе линейной свертки показателей

196

Здесь gi - нормированные показатели, i - весовые коэффициенты.

200. Нормирование показателей в (6) выполняется, исходя из следующих условий.

Условие однородности: обобщенный целевой показатель и частные показатели, входящие в него, должны быть сформулированы в однородной шкале, например, как показатели потерь или показатели успеха.

Условие соразмерности: обобщенный целевой показатель и частные показатели, входящие в него, должны быть сформулированы как соразмерные по величине.

210. Указанные условия достигаются, например, на основе

где piд - допустимое значение i -го показателя (для показателей потерь -

максимальное, для показателей успеха – минимальное),

pi,min , pi,max - экстремальные значения показателей (соответственно для

показателей потерь – минимальные, для показателей успеха – максимальные);

Iпот , I усп - множества индексов показателей, соответственно

показателей потерь и показателей успеха.

220. Обратим внимание, что обобщенный показатель (6) хотя и сформулирован как показатель потерь, однако фактически он оценивает в инверсном16 виде эффективность операции. Это следует из формул нормирования (7), которые включают в себя как показатели успеха, так и показатели потерь.

230. Каждый нормированный частный показатель из выражения (7) в соответствующем частном аспекте характеризует расстояние до цели. Целевым значением показателя здесь является его экстремальное значение. Достижение экстремального значения показателя характеризуется соответствующим расстоянием до частной цели gi 0 . Достижение

допустимого значения показателя характеризуется расстоянием - gi 1. Удаление от частной цели характеризуется условием - gi 1. Нахождение

16 Лат. inversus – перевернутый, обращенный. Здесь показатель - обратный прямому показателю. Так, рост значений прямого показателя эффективности соответствует фактическому росту эффективности. Рост значений инверсного показателя эффективности свидетельствует о фактическом снижении эффективности.

197

в допустимой окрестности частной цели характеризуется неравенством

0 gi 1.

240. Веса в обобщенном целевом показателе (7) характеризуют субъективную значимость для оперирующей стороны соответствующего частного показателя при выборе решений.

250. В целом обобщенный показатель (7) характеризует расстояние до поставленных частных целей. Достижение самих целей, здесь объективно можно характеризовать вектором частных показателей

g (g1, g2 , ... , gnp )T , который можно назвать вектором потерь операции. Значимость достижения частных целей для оперирующей стороны характеризуется вектором весов частных показателей α ( 1, 2 , ... , np )T

, который можно назвать вектором интересов оперирующей стороны. Обобщенный показатель (7) с геометрической точки зрения представляет собой проекцию вектора потерь операции на вектор интересов оперирующей стороны. Аналитически указанная проекция определяется как скалярное произведение векторов в эвклидовом пространстве показателей:

Обобщенный показатель определяет в эвклидовом пространстве показателей метрику

Метрика (9) удовлетворяет ранее рассмотренным аксиомам расстояния в метрических пространствах. С этой точки зрения обобщенный показатель

(8) представляет собой расстояние (9) между целевым значением ( g 0) и текущим значение g вектора показателей.

260. Показатель (8) можно рассматривать также как обобщенный показатель качества операции. Действительно, качество операции определяется областями допустимых значений показателей операции

Выделение областей допустимых значений показателей (10) с использованием обобщенного показателя (8) осуществляется на основе неравенства

290. Постановка задачи (14) – (20) является недоопределенной, так как в ней не определены характеристики возмущений ( z ). Поэтому рассмотрим далее вопрос учета неконтролируемых возмущений.

300. Планирование операции, как правило, осуществляется до ее начала, поэтому часть возможных возмущений до начала операции могут быть известны не полностью. В этом случае для однозначного выбора решения возможны следующие подходы.

310. Так, если известны области возможных значений возмущений

то в соответствии с соотношениями (14) – (21) можно найти такое воздействие zmax , которое наносит максимальный ущерб операции в

соответствии с показателем (15). Такое планирование носит название планирования на наихудший случай. Для данного случая критериями решения задачи являются:

- при целевом показателе в виде функции потерь

Точка зрения на выбор решения согласно критериям (22), (23) является пессимистической.

320. Оптимистическая точка зрения основывается на критериях: - при целевом показателе в виде функции потерь

которое наносит минимальный ущерб операции.

330. Кроме указанных точек зрения на выбор решения существует вероятностная точка зрения. В этом случае значение обобщенного показателя усредняется в соответствии с вероятностными характеристиками возмущения z . В этом случае решение задачи (14) –

(20)осуществляется по критериям:

-при целевом показателе в виде функции потерь

200

где интегральное выражение определяет математическое ожидание

задачи определяется значение возмущения zср , при котором оптимизация

осуществляется по усредненным характеристикам. Вероятностный подход допускает обобщение на произвольную меру (z) , определенную в области . Для того, чтобы формулы (26), (27) были справедливы для произвольной меры, необходимо, чтобы она была нормирована в соответствии с условием

односторонними и решение может осуществляться в обобщенной

основывается на учете объективных связей действительности, в которой планируется операция, и субъективных предпочтений лица, принимающего решения. Общим подходом здесь является выбор взвешенного решения, учитывающего все существенные объективные и субъективные противоречия выбора.

370. Выбор взвешенного решения требует назначения весов в выражениях обобщенного целевого показателя (8), базовых значений возмущений (30). Этот выбор является субъективным. Для того чтобы повысить степень объективности выбора, можно прибегнуть к экспертизе.

В этом случае экспертам E1, E2 , . . . , EnE , например, предлагается оценить

201

важность, например, показателей g1, g2 , . . . , gnp в рамках решаемой

задачи. Эксперты оценивают показатели в баллах в соответствии с принятой шкалой оценок, например, по 100-балльной шкале. В результате

i,k

i 1 k 1

Аналогичным образом определяются веса в выражении (30).

380. В заключении необходимо отметить, приведенный подход к решению задач исследования операций при неопределенности априорной информации является весьма общим, однако существуют и другие подходы к решению данной задачи.

_________________________________________________

390. Следующий этап исследования состоит в выборе эффективного решения (L2.s ). Центральным пунктом (L2. s .1) данного этапа является

формальное решение задач оптимизации, определяемых соотношениями

(14) – (27).

400. Необходимо отметить, что формальные методы решения задач оптимизации являются предметом исследования специального направления прикладной математики – математического программирования. При использовании методов математического программирования постановка задач оптимизации (14)–(27), сформулированная в предыдущем разделе, приводится к стандартному виду. Принимая для определенности в качестве критерия оптимизации – минимизацию целевой функции, задача оптимизации может иметь следующий стандартный вид

переменных, z - вектор возмущений, понимаемый в широком смысле, включающем возмущения среды и внутренние возмущения объекта

операции; - множества индексов ограничений типа равенств и неравенств соответственно.

202

410. Приведение задач вида (14) – (27) к стандартному виду (32) осуществляется на основе эквивалентных преобразований. Важным моментом эквивалентных преобразований является нормирование всех соотношений, входящих в выражение (32). Целью нормирования является приведение всех соотношений к соразмерному виду. Это делается путем перехода к безразмерным величинам сопоставимого масштаба. Тем самым повышается точность решения задачи оптимизации.

420. В зависимости от вида переменных x, z и функций p0 (x, z) , fi (x, z) , входящих в постановку задачи (32), различают следующие задачи математического программирования:

-непрерывного программирования (переменные x, z - непрерывны);

-дискретного программирования (переменные x, z - дискретны);

-линейного программирования (функции p0 (x, z) , fi (x, z) -

линейны);

-квадратичного программирования (функция p0 (x, z) - квадратичная, функции fi (x, z) - линейны);

-выпуклого программирования (функции p0 (x, z) , fi (x, z) -

выпуклые); - одноэкстремальные нелинейного программирования (функции

p0 (x, z), fi (x, z) - нелинейные, задача имеет один экстремум);

- многоэкстремальные нелинейного программирования (функции p0 (x, z) , fi (x, z) - нелинейные, задача имеет множество экстремумов) и

др.

Для всех указанных типов задач разработаны соответствующие методы решения.

430. Потенциально задачи математического программирования можно решить на основе прямого перебора всех возможных решений. Однако в общем случае это сделать нельзя из-за огромного числа возможных вариантов перебора. Например, если переменные x1, x2 , ... , xn

принимают каждая по m значений, то общее число вариантов перебора составит N mn , что определяет экспоненциальный рост числа переборов от размерности задачи. Методы математического программирования позволяют сократить перебор вариантов, тем самым сделать задачи разрешимыми. Целью здесь является разработка таких методов решения задач математического программирования, которые бы обеспечили полиномиальный рост числа переборов с ростом размерности задач. Однако не для всех классов задач это удается сделать.

440. Решение сложных задач, как правило, базируется на комбинированных методах, включающих в себя комбинации типовых методов решения. К таким методам относятся, например, многослойные

203