Т2 Аналитические представления

где u(t) - внешнее воздействие.

Решение уравнения (2.33) вычислительными методами связано с представлением данного уравнения в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка. В этом случае система дифференциальных уравнений первого порядка записывается в виде

коэффициент.

Подобное представление является неоднозначным. Так одними из типовых являются модельные представления в виде соединений сумматоров, усилителей и интеграторов, когда в роли состояний используются выходы интеграторов.

В качестве примера рассмотрим сначала систему, поведение которой описывается уравнением

i 0

Система (2.35) называется системой обратно-дифференциального типа, так как ее формальное решение определяется обратным дифференциальным оператором

i0

Сточки зрения теории связи процесс u(t) представляет входной сигнал

системы, процесс y(t) - выходной сигнал. С этой точки зрения оператор (2.36) может быть назван передаточным оператором.

Уравнению (2.35) соответствует структурная схема моделирования процессов, представленная на рис. 2.4.1.

97

an 1

an 2

a0

Рис. 2.4.1. Схема моделирования линейной обратно-дифференциальной системы

Соотношения, определяющие вектор состояния x :

x1 y,

x2 y(1) ,

. . . . . .

xn y(n 1) .

Соответствующее дифференциальное уравнение:

x1 x2 , x2 x3,

. . . .

Начальные условия - xn,0 , xn 1,0 , . . .

Рассмотрим общий случай дифференциальной системы вида (2.30). С формальной точки зрения решение данной системы определяется оператором

i 0

98

Для уравнения (2.37) имеются несколько вариантов ориентированных моделей.

Так оператор (2.37) можно представить в виде последовательного применения двух составляющих операторов

Производные, входящие в состав оператора M ( p) , могут быть получены с входов интеграторов схемы (рис. 2.4.1). В результате соответствующая схема моделирования может быть представлена в виде рис. 2.4.2.

y

an 1

an 2

a0

Рис. 2.4.2. Схема моделирования линейной дифференциальной системы (вариант 1)

Другой вариант моделирования реализуется по схеме рис. 2.4.3.

99

u

an 1

an 2

a0

Рис. 2.4.3. Схема моделирования линейной дифференциальной системы (вариант 2)

Здесь коэффициенты модели bi могут быть получены из исходных

y x b u.

1 0

37 Заде, Л. Теория линейных систем. (Метод пространства состояний) / Л. Заде, Ч. Дезоер; под ред. Г.С. Поспелова; пер. с англ. - М.: Наука, 1970. – 330 с.

100

Следующий вариант реализации модели (2.34) для дифференциального уравнения (2.33) связан с разложением процесса общего вида (2.27) на элементарные составляющие, представляющие собственные движения (гармоники) системы при нулевом входе. С этой целью рассмотрим формальное решение уравнения (2.33) в операторном виде

Знаменатель N ( p) передаточного оператора согласно выражению (2.28) может быть разложен на элементарные сомножители, представляющие собственные движения (гармоники) дифференциальной системы. Соответственно оператор (2.40) может быть разложен на сумму элементарных звеньев

иправой частей выражения (2.41).

Витоге решение уравнения (2.33) в операторном виде будет представлять собой сумму частных решений элементарных обратнодифференциальных звеньев, соответствующих собственным движениям (частотам) системы:

Уравнению (2.41) соответствует структурная схема моделирования процессов (рис. 2.4.4).

101

G1

G2

H1

H2

d0

Рис. 2.4.4. Схема моделирования линейной дифференциальной системы (вариант 3)

Схема моделирования (2.4.4) имеет глубокий физический смысл. Она говорит о том, что движение линейных стационарных систем в общем случае может быть разложено в сумму движений элементарных динамических звеньев. Собственные движения элементарных динамических звеньев представляют собой гармоники соответствующих частот с растущей или затухающей амплитудой, а также процессы экспоненциального и полиномиального роста (затухания). Вынужденные движения элементарных звеньев представляют собой результаты возбуждения внешним воздействием их собственных частот, понимаемых в обобщенном смысле.

Подводя итог, каждое элементарное звено разложения (2.41) может быть представлено в виде схем моделирования (2.42)-(2.44). В результате можно построить каноническую форму (2.34) представления линейной стационарной системы с одним входом и выходом

x = Ax + bu,

y = cт x + d0u.

Рекуррентные соотношения явного метода Эйлера в данном случае имеют вид

xk = xk 1 t(Axk 1 + buk 1),

рекуррентные соотношения неявного метода Эйлера: xk = I t A 1 xk 1 t buk ,

где I - единичная матрица.

102

различных значениях постоянной с. Ряд решений при различных значениях с, соответствующих различным начальным значениям x1 и x2 ,

изображен на рис. 2.4.6. Решение в плоскости x1x2 здесь представляет

собой траекторию движения динамической системы (1) в фазовой плоскости x1x2 .

Рис. 2.4.6

Время здесь служит параметром при движении вдоль траекторий. При этом из равенства x2 (t) x1(t) следует, что рост времени соответствует

динамического равновесия линейного осциллятора. В рассматриваемом случае указанная точка называется особой точкой типа «центр», так как все траектории замыкаются вокруг нее.

Рассмотрим в общем случае особые точки различного вида для линейных стационарных систем второго порядка.

Дифференциальное уравнение линейной стационарной системы второго порядка имеет вид

Используя указанные на рис. 4.2.5 переменные состояния, перепишем это уравнение так:

Его векторная форма x = Ax , где

104

траектории конечен. Это определяется выбором переменных состояния – все траектории в данном примере пересекают ось x1 вертикально.

Исходя из изложенного, для динамической системы (3.5) в плоскости x1x2 все возможные траектории движения представлены в таблице. 2.4.1.

Таблица 2.4.1

Траектории движения линейной стационарной динамической системы

106