4. Обобщенная евклидова модель

Такане с коллегами [120] объединили идеи Кэрролла и Чанга с идеаями Краскала. В результате ими была разработана обобщенная евклидова модель многомерного шкалирования, которая включает в себя все рассмотренные выше модели:

,

где

- квадрат взвешенного расстояния между точками и ,

- вектор координат точки , для прямоугольной матрицы предпочтений эта точка представляет ранжируемые объекты,

- вектор координат точки , для прямоугольной матрицы предпочтений эта точка соответствует «идеальной точке»,

- квадратная, положительно определенная полуматрица весов порядка , эти веса называются весами первого измерения,

- квадратная, положительно определенная полуматрица весов порядка , эти веса называются весами третьего измерения⁵.

Матрицы весов и могут быть следующего вида:

1. единичные,

2. диагональные,

3. полные.

Кроме того, эта модель позволяла также работать с любым типом данных (номинальные, ранговые, интервальные, шкалы отношений).

Варьируя характеристики обобщенной евклидовой модели, можно получить множество различных моделей МШ (см. табл. 3).

Таблица 3. Типы данных и соответствующие модели многомерного шкалирования

Тип исходных данных	Параметры модели	Описание модели
Одна квадратная матрицы близости		Классическое метрическое и неметрическое многомерное шкалирование
Несколько квадратных матриц близости		Повторное метрическое и неметрическое многомерное шкалирование
	- диагональная	Индивидуальное метрическое и неметрическое многомерное шкалирование
	- полная*	Обобщенное индивидуальное метрическое и неметрическое многомерное шкалирование
Прямоугольная матрицы близости		Многомерное развертывание
	- диагональная	Индивидуальное многомерное развертывание
	- полная*	Обобщенное индивидуальное многомерное развертывание

* Полную матрицу весов илиможно разложить на диагональную матрицу и матрицу ортогонального поворота

5. Другие направления развития методов многомерного шкалироваия

   1. Вероятностные модели многомерного шкалирования

Рассмотренные выше модели многомерного шкалирования являются детерминистскими, т.е. предполагают, что в исходных данных отсутствуют ошибки измерения. В вероятностных моделях предполагается, что значения координат стимулов или расстояний между стимулами подчиняется некоторому закону распределения.

Одна из первых вероятностных моделей одномерного шкалирования была предложенная Терстонуом модель парных сравнений. В его модели предполагается, что сами стимулы или их воспринимаемые в данный момент времени являются случайными переменными. В самом простом случае распределение предполагается нормальным с одинаковой вариацией и математическим ожиданием, соответствующим истинному значению характеристики объектов. Вариацию оценок одного субъекта в разные моменты времени можно рассматривать как следствием неуверенности или плохого знания респондентом оцениваемых объектов.

Идеи Терстоуна были обобщены для многомерного случая Хефнером [51]. В модели Хефнера предполагается, что координаты стимулов в пространстве являются нормально распределенными случайными величинами с математическим ожиданиеми дисперсией.

Рисунок 13. Модель Хефнера

В самом простом случае дисперсия координат всех стимулов по всем осям предполагается равной . Можно обобщить модель на случай, когда дисперсия координат предполагается неравной для разных стимулов, но для каждого стимула она полагается равной для всех измеренийТакже можно предположить, что дисперсия координат различается по осям, но при этом для разных стимулов она одинакова. И, наконец, наиболее общим случаем является модель, в которой дисперсии полагаются неравными как для различных осей, так и стимулов.

На основании предположения о виде распределения координат стимулов можно найти функцию распределения расстояния между парами стимулов. Далее можно использовать метод максимального правдоподобия для оценки параметров модели. Зиннес и Мак Кей на основе модели Хефнера разработали вероятностные модели многомерного шкалирования и многомерного развертывания [138].

В отличии от модели Хефнера, Рамсэй [97] предложил модель, в которой предполагалось, что результатом случайного процесса является не восприятие самих стимулов, а различий между ними

.

Развивая свою идею, он предложил алгоритм МШ, основанный на методе максимального правдоподобия. Дальнейшее развитие этой модели позволило ему получить оценку доверительных областей для точек [96].

Необходимо отметить, что модели МШ, предложенные Зиннесом и Мак Кеем, а также модель Рамсея являются метрическими. Такане [118] предложил модель, которая позволяет работать с ранговыми данными. Модель Такане была развита в работе Такане и Керола [119]. Бреди [16] также предложил целый ряд моделей с использованием метода максимального правдоподобия, основанные на идеях Шепарда и Краскала.

По сравнению с детерминистскими моделями вероятностные модели МШ обладают рядом преимуществ. Одним из главных преимуществ является возможность проверки статистических гипотез относительно координат стимулов, размерности и т.п. Если в детерминистских моделях МШ исследователь вынужден руководствоваться здравым смыслом или различными простыми правилами для выбора параметров модели, то вероятностные модели прелагают строгие статистические критерии.

Другим преимуществом является учет в модели случайной составляющей. В детерминистских моделях случайная вариация включается в оценку расстояний между стимулами. В результате этого ошибки измерения могут существенно повлиять на полученное решение, в особенности, если величина ошибки сопоставима с оценкой расстояния.

И, наконец, вероятностные модели позволяют учитывать информацию, которую несет в себе вариация оценки сходства/различия или предпочтения. Например, вариация оценок может являться показателем степени уверенности или осведомленности респондента об изучаемых объектах или явлениях.

Рамсей [98] приводит обзор методов МШ, использующих метод максимального правдоподобия. Также в статье высказывается мнение, что использование метода максимального правдоподобия в алгоритмах МШ неэффективно, поскольку они накладывают слишком жесткие ограничения на исходные данные. В тоже время многомерное шкалирование хорошо зарекомендовало себя именно как разведывательный метод анализа данных.