2. Характеристики измерения

Измерение – это приписывание чисел объектам или событиям, которое характеризуется следующими свойствами:

1. уровень измерения

2. процесс измерения

3. сопоставимость измерения

Уровень измерения. Уровень измерения определяет отношения между наблюдениями между категориями. Элементматрицы данныхотражает отношения между объектамии, в нашем случае это сходства или различие. Как правило эти отношения выражены в числах. Важно отметить, что это, строго говоря, не совсем числа. С точки зрения теории измерений, уровень измерения (или уровень шкалы) определяется допустимым преобразованием шкалы, которые можно обозначить как функцию. Первым идею существования различных типов шкал высказал Стивенс [117]. Он предложил разделение шкал на метрические (интервальные и шкалы отношений) и порядковые (см. табл. 1).

Таблица 1. Тип шкалы и соответствующие допустимые преобразования

Тип шкалы	Допустимые преобразования
1. Номинальная
2. Порядковая	или
3. Шкала отношений
4. Интервальная шкала

Из этого следует, что элементы матрицы можно представить в виде различных наборов чисел так, чтобы числа адекватно отражали отношения между объектами. Юнг [132], основываясь на своей концепции измерения предложил методикуоптимального шкалирования.

Согласно Юнгу любое измерение является результатом отражения исходных данных в некоторой модели³. Поэтому числовые значения целесообразно приписывать таким образом, чтобы (1) числа отражали отношения между эмпирическими объектами и (2) максимально соответствовали параметрам модели.

Процесс измерения. Процесс измерения определяет отношения между наблюдениями в рамкаходной категории. В литературе по многомерному шкалированию эта характеристика рассматривается как проблема связей. Так процесс измерения называется дискретным, если в процессе измерения каждому эмпирическому элементу ставится в соответствие одно число или связывании данных. В этом случае к рассмотренному выше условию монотонности добавляется следующее условие

.

Рисунок 5. Дискретный процесс измерения

Другими словами, если два элемента имеют равен значения (связаны), то и их отображения должны быть также связаны (см. рис. 5).

В непрерывном процессе измерения каждому эмпирическом элементу ставится в соответствие некоторый интервал, что также называется развязыванием данных, или

.

Рисунок 6. Непрерывный процесс измерения

В этом случае всем связанным значениям ставится в соответствие некоторый интервал (см. рис. 6). Отображения каждого из элементов пары могут принимать любые значения в данном интервале.

Сопоставимость измерения. Сопоставимость измерения определяет отношения между наборами категорий. Данные могут собираться в различных условиях, образуя подмножества. Наиболее часто рассматривают сопоставимость по строке, по матрице и по всем данным.

Рассмотрим набор из объектов, которые попарно сравниваются респондентами. В результате мы получаем трехмерную структуру данных с двумя входами. В этой ситуации вполне разумно предположить, что данные сопоставимы только в рамках матрицы . Иными ловами мы можем утверждать, что респондент считает, что объекты и более схожи, чем объекты и , а респондент считает, что объекты и более схожи, чем объекты и . При этом мы ничего не можем сказать о том, какова оценка сходства межу объектами и респондента по сравнению с оценкой респондента .

Теперь предположим, что данные получены в результате эксперимента, в котором субъектов ранжировалиобъектов. Полученная в результате матрицаявляется двумерной с двумя наборами. Ее элементысоответствуют рангу, приписанномусубъектомобъекту. Такого рода данные являются сопоставимы по строке. На основании полученных оценок мы можем сказать, что, если, то объектболее предпочитаем субъектом, чем объект. Также, если, то объектболее предпочитаем субъектом, чем объект. При этом мы не можем утверждать, что объектпредпочитаем в одинаковой степени субъектамии, если.

Эти характеристики определяют некоторую модель данных. Теперь перейдем к рассмотрению различных моделей многомерного шкалирования.