2 Урнові схеми вирішення комбінаторних задач

2.1 Мета заняття

Ознайомлення з методами аналізу змісту комбінаторних задач про розміщення (розподіл предметів за урнами). Ознайомлення на практичних прикладах з основними поняттями розподілу предметів за урнами. Вивчення основних способів розв’язання задач про розміщення.

2.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів

Під час підготовки до практичного заняття необхідно повторити лекційний матеріал, розділи літератури [1-12] з таких питань: аналіз фізичних властивостей предметів при розв’язанні задач про розміщення (розподіл предметів за урнами); аналіз і опис змісту комбінаторних задач про розподіл предметів за урнами; розподіл n різних предметів за k урнами; розподіл n однакових предметів за k урнами; розподіл різних предметів без урахування порядку предметів в урнах; розподіл різних предметів між однаковими урнами за умови, що урни не порожні; розподіл різних предметів з урахуванням їх порядку в урнах.

Підготовка і виконання практичного заняття проводиться за два етапи. Перший етап пов’язаний з вивченням на практичних прикладах наступних основних понять і визначень: поняття «урна» в комбінаторному аналізі; однакові чи різні предмети при розв’язанні задач про розміщення; однакові чи різні урни при розв’язанні задач про розміщення; кількість способів розподілу n різних предметів за k урнами; кількість способів розподілу n однакових предметів за k урнами; кількість способів розподілу різних предметів без урахування порядку предметів в урнах; кількість способів розподілу різних предметів між однаковими урнами за умови, що урни не порожні; числа Моргана; числа Стирлінга другого роду; числа Белла; кількість способів розподілу різних предметів з урахуванням їх порядку в урнах.

Під час виконання першого етапу студент повинен запропонувати і записати загальну формулу для кожного з розглянутих вище понять і визначень.

Другий етап виконання практичного заняття пов’язаний з розв’язуванням практичних завдань, що надаються у підрозділі 2.3, на основі запропонованих типових прикладів (див. підрозділ 2.4).

2.3 Контрольні запитання і завдання

2.3.1 Контрольні запитання

1. Як проводиться аналіз змісту комбінаторних задач про розміщення предметів?

2. За якою формулою обчислюється кількість розміщень за k урнами n різних предметів?

3. За якою формулою обчислюється кількість розміщень за k урнами n однакових предметів?

4. Чи можна знайти кількість розподілів різних предметів без урахування порядку предметів в урнах, використовуючи формулу ?

5. У якому випадку для розв’язання задач про розподіл предметів за урнами використовуються числа Моргана, число Стирлінга другого роду, числа Белла?

6. За якою формулою обчислюється кількість розподілів різних предметів з урахуванням їх порядку в урнах?

2.3.2 Контрольні завдання

Завдання 1. Скількома способами можна розкласти 12 п’ятаків у 5 пакетів?

Завдання 2. Скількома способами можна розмістити 20 однакових куль у чотирьох різних урнах?

Завдання 3. Скількома способами групу з 25 осіб можна поділити на сім коаліцій: дві – по 5 осіб, одна – 7 осіб, чотири – по 2 особи?

Завдання 4. Треба відправити 6 листів. Скількома способами це можна зробити, якщо відправлення листів можна доручити трьом кур’єрам, і кожний лист можна дати будь-якому з кур’єрів.

Завдання 5. Потягу, в якому знаходяться пасажирів, потрібно зробитизупинок. Скількома способами можуть розподілитися пасажири між зупинками?

Завдання 6. Скількома способами можна розмістити 20 різних куль у трьох різних урнах так, щоб у першій, другій і третій урнах знаходилося відповідно 5, 3 та 12 куль?

Завдання 7. Скількома способами можна розкласти 12 п’ятаків у 5 пакетів, якщо ніякий пакет не буде порожнім?

Завдання 8. Скільки існує способів розподілити (за чергою) 15 пацієнтів до трьох лікарів однієї спеціальності, якщо лікар повинен прийняти не менш ніж 3 пацієнта?

Завдання 9. На складі є 40 однакових комп’ютерів і 10 однакових принтерів. Скільки існує способів розподілення їх за 7 відділами, якщо в кожний відділ необхідно передати не менш ніж 2 комп’ютера і не менш ніж один принтер?

Завдання 10. Скільки існує способів закупити 1000 однакових пар взуття у чотирьох різних постачальників, якщо мінімальна партія постачання 100 штук?

Завдання 11. Скільки існує способів придбання 100 однакових мікросхем у трьох різних постачальників, якщо мінімальна партія поставки 25 штук?

2.4 Приклади аудиторних і домашніх завдань

Завдання 1. Чотири студента отримали 20 дисків. Скількома способами вони можуть їх розподілити, якщо диски вважаються однаковими?

Розв’язок. В задачі нас цікавить лише те, скільки дисків отримає кожний студент, а не те, які саме диски він отримає. Задача відноситься до задач розподілу однакових предметів заурнами (урни можуть бути порожніми).

(=20) однакових предметів між(=4) особами можна розподілитиспособами, тому кількість способів розподілу дорівнює.

Завдання 2. У студентській групі, яка складається з 25 осіб, при виборі старости за висунуту кандидатуру проголосували 12 студентів; проти – 10; утрималися – 3. Скількома способами могло бути проведене таке голосування?

Розв’язок. Задача відноситься до задач розподілу різних предметів за урнами. Кількість розміщень різних предметів ( голосів) за урнами () за умови, щоб у першу урну попало ( голосів «за» висунуту кандидатуру), у другу урну попало ( голосів «проти» висунутої кандидатури), у третю урну попало ( голосів «утрималися»), дорівнює

=1487285800, де .

Завдання 3. Скількома способами можна розділити 8 різних зошитів між 5 студентами?

Розв’язок. Задача відноситься до задач розподілу різних предметів без урахування порядку предметів в урнах. У випадку, коли (=8) різних предметів розподіляються між(=5) особами без обмежень (кожний студент, який бере участь у розподілі, може забрати собі усі зошити), кожний предмет можна вручитиспособами (кожний предмет вручається одному з учасників розподілу). Тому в задачі число роз’язків дорівнює.

Завдання 4. Я хочу послати своєму другу 8 різних фотографій. Скількома способами я можу це зробити, використовуючи 5 різних конвертів?

Розв’язок. Задача відноситься до задач розподілу предметів (фотографій) між однаковими урнами (конвертами) за умови, що урни не порожні.

Кількість (число Моргана) розподіліврізних предметів міжрізними урнами з використанням кожної урни у кожному розподілі («не порожні урни») дорівнює, де– число Стирлінга другого роду.

випливає з формули включень і виключень.

Число розподілів різних фотографій (=8), при якому ні один з п’яти конвертів (=5) не порожній, дорівнює

.

Завдання 5. Нехай є 8 різних сигнальних прапорів і 5 щогл, на які вони вивішуються. Скільки існує способів розвішування усіх прапорів на щоглах, причому щогли можуть бути порожніми?

Розв’язок. Задача відноситься до задач розподілу різних предметів з урахуванням їх порядку в урнах

.

Завдання 6. Нехай у магазині є 8 однакових комп’ютерів і 15 комплектів різних прикладних програм. Скільки існує способів у п’яти покупців купити товар, якщо кожний покупець купує не менш ніж один комп’ютер і не менш ніж один комплект програм?

Розв’язок. Комп’ютери і програми купуються незалежно. Задачу про купівлю комп’ютерів можна вважати задачею про розподілення об’єктів (комп’ютерів) заурнами (покупцями) за умови, що немає порожніх урн. Число таких варіантів.

Задачу про купівлю комп’ютерних програм можна вважати задачею про розподілення об’єктів (комп’ютерних програм) за різними урнами (покупцями) за умови, що немає порожніх урн.

Кількість таких розподілень дорівнює

.

Таким чином, число способів купити товар за правилом добутку дорівнює

.