Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский национальный университет радиоэлектроники

Предмет:

Дискретная математика

Файл:

МУ по ДМ ПЗ (2 часть).doc

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

5.58 Mб

Скачать

☆

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до практичних занять з дисципліни

«ДИСКРЕТНА МАТЕМАТИКА»

(Частина 2)

для студентів усіх форм навчання

напряму 6.050101 – Комп’ютерні науки

ЗАТВЕРДЖЕНО

кафедрою Інформаційних управляючих систем.

Протокол № 12 від 16.05.2014

Харків 2014

Методичні вказівки до практичних занять з дисципліни «Дискретна математика» (Частина 2) для студентів усіх форм навчання напряму 6.050101 – Комп’ютерні науки / Упоряд.: Н.В. Васильцова, Л.Е. Чала. – Харків: ХНУРЕ, 2014. – 74 с.

Упорядники: Н.В. Васильцова,

Л.Е. Чала

Рецензент В.О. Філатов, д-р техн. наук, проф. кафедри ШІ

зміст

ВСТУП………………………………………………………………………..	5
1 ОСНОВНІ ПРАВИЛА КОМБІНАТОРИКИ. МОДЕЛІ КОМБІНАТОРНИХ КОНФІГУРАЦІЙ ……………………………………	6 6
1.1 Мета заняття……………………………………………………………...	6
1.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів……...	6
1.3 Контрольні запитання і завдання……………………………………….	7
1.3.1 Контрольні запитання………………………………………………….	7
1.3.2 Контрольні завдання…………………………………………………..	8
1.4 Приклади аудиторних і домашніх задач……………………………….	11
2 УРНОВІ СХЕМИ ВИРІШЕННЯ КОМБІНАТОРНИХ ЗАДАЧ….……..	16
2.1 Мета заняття……………………………………………………………...	16
2.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів……...	16
2.3 Контрольні запитання і завдання……………………………………….	17
2.3.1 Контрольні запитання………………………………………………….	17
2.3.2 Контрольні завдання…………………………………………………..	17
2.4 Приклади аудиторних і домашніх задач……………………………….	18
3 СПОСОБИ ЗАДАННЯ ГРАФІВ. ОПЕРАЦІЇ НАД ГРАФАМИ.……….	20
3.1 Мета заняття……………………………………………………………...	20
3.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів……...	20
3.3 Контрольні запитання і завдання……………………………………….	21
3.3.1 Контрольні запитання………………………………………………….	21
3.3.2 Контрольні завдання…………………………………………………..	22
3.4 Приклади аудиторних і домашніх задач……………………………….	25
4 ЗВ'ЯЗНІСТЬ ГРАФІВ. ЕЙЛЕРОВІ ТА ГАМІЛЬТОНОВІ ГРАФИ.…….	35
4.1 Мета заняття……………………………………………………………...	35
4.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів……...	35
4.3 Контрольні запитання і завдання……………………………………….	36
4.3.1 Контрольні запитання………………………………………………….	36
4.3.2 Контрольні завдання…………………………………………………..	36
4.4 Приклади аудиторних і домашніх задач……………………………….	41
5 ДЕРЕВА. АЛГОРИТМИ ПОБУДОВИ ОСТОВНОГО ДЕРЕВА……...	45
5.1 Мета заняття……………………………………………………………...	45
5.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів……...	45
5.3 Контрольні запитання і завдання……………………………………….	46
5.3.1 Контрольні запитання………………………………………………….	46
5.3.2 Контрольні завдання…………………………………………………..	47
5.4 Приклади аудиторних і домашніх задач……………………………….	47
6 ВІДШУКАННЯ НАЙКОРОТШИХ ВІДСТАНЕЙ МІЖ ВЕРШИНАМИ ГРАФА (МЕРЕЖІ)…………………………………...........	57
6.1 Мета заняття……………………………………………………………...	57
6.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів……...	58
6.3 Контрольні запитання і завдання……………………………………….	58
6.3.1 Контрольні запитання………………………………………………….	58
6.3.2 Контрольні завдання…………………………………………………..	59
6.4 Приклади аудиторних і домашніх задач……………………………….	60
7 ЗАДАЧІ ПРО МАКСИМАЛЬНУ ТЕЧІЮ І МІНІМАЛЬНИЙ РОЗРІЗ У МЕРЕЖІ…………………………………………………………..	64
7.1 Мета заняття……………………………………………………………...	64
7.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів……...	64
7.3 Контрольні запитання і завдання……………………………………….	64
7.3.1 Контрольні запитання………………………………………………….	64
7.3.2 Контрольні завдання…………………………………………………..	65
7.4 Приклади аудиторних і домашніх задач……………………………….	66
Перелік посилань…………………………………………………………….	73

ВСТУП

Дисципліна «Дискретна математика» входить до складу дисциплін циклу природничо-наукової підготовки бакалаврів з напряму 6.050101 – «Комп’ютерні науки» і є однією з базових математичних дисциплін цього циклу.

Матеріал, який пропонується для вивчення другої частини дисципліни, складається з таких розділів: «Основи комбінаторного аналізу», «Основні поняття теорії графів».

Добір і викладення практичного матеріалу цих розділів дисципліни виконано з урахуванням вимог фундаментальної освіти з комп’ютерних наук, інформаційних технологій, сучасних інженерних і соціально-економічних напрямків з високим рівнем автоматизації та комп’ютеризації.

Методичні вказівки призначені для студентів молодших курсів, які спеціалізуються в області комп’ютерних наук і зобов’язані використовувати отримані практичні знання і навички при проектуванні та упровадженні інформаційно-управляючих систем і систем штучного інтелекту. Однак практичний матеріал з дисципліни «Дискретна математика» буде також корисним для тих, хто намагається підвищити кваліфікацію в напрямках (розділах дисципліни), що перелічені вище.

Для вивчення другої частини дисципліни «Дискретна математика» студент повинен мати знання математики в обсязі середньої школи і деякі основні поняття з розділів дисципліни з вищої математики (зокрема, теорії матриць).

У методичні вказівки з дисципліни «Дискретна математика» входить перелік літератури (підручники, навчальні посібники і монографії), яку можна використовувати для уточнювання матеріалу або, за бажанням, для більш глибокого вивчення деяких теоретичних положень і практичних прикладів.

1 Основні правила комбінаторики.

МОДЕЛІ КОМБІНАТОРНИХ КОНФІГУРАЦІЙ

1.1 Мета заняття

Ознайомлення на практичних прикладах з основними поняттями комбінаторного аналізу. Вивчення основних правил розв’язання задач комбінаторики (правила суми і правила добутку). Вивчення і використання моделей комбінаторних конфігурацій (сполучення, розміщення, перестановка, композиція числа, розбиття числа). Вивчення поліноміальної формули, бінома Ньютона та їх використання. Аналіз властивостей біноміальних коефіцієнтів. Ознайомлення з комбінаторним принципом включення і виключення, використання формули включень та виключень. Ознайомлення з комбінаторними задачами, які пов’язані з теорією чисел (решето Ератосфена).

1.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів

Під час підготовки до практичного заняття необхідно повторити лекційний матеріал, розділи літератури [1-12] з таких питань: комбінаторні задачі (задачі на перелічення, задачі про існування та побудову, задачі про вибір); основні правила розв’язання задач комбінаторики (правило суми и правило добутку); приклади використання правила суми и правила добутку при розв’язанні комбінаторних задач; складний вибір предметів; перелік і визначення типових (елементарних) комбінаторних конфігурацій (перестановки, розміщення, сполучення, композиції; розбиття); властивості біноміальних коефіцієнтів (властивість симетрії, властивості додавання, властивості винесення за дужки); арифметичний трикутник (трикутник Паскаля) та правила його побудови; біноміальна формула (біном Ньютона) та її використання; поліноміальна формула та її використання; комбінаторний принцип включення і виключення (підрахування кількості предметів, позбавлених всіх без виключення властивостей); приклади використання формули включень і виключень; частковий випадок теореми включення і виключення; формула «повного безладдя» (субфакторіал), комбінаторні задачі та теорія чисел (решето Ератосфена).

Підготовка і виконання практичного заняття проводиться у два етапи. Перший етап пов’язаний з вивченням на практичних прикладах наступних основних понять і визначень комбінаторного аналізу: r- вибірка; правило суми; правило добутку; сполучення; розміщення; перестановка; композиція числа; розбиття числа; кількість розміщень без повторень; кількість розміщень з повтореннями; кількість перестановок без повторень; кількість перестановок з повтореннями; кількість сполучень без повторень; кількість сполучень з повтореннями; число всіх композицій числа; кількість всіх варіантів розбиття числа; біноміальні коефіцієнти; біном Ньютона; арифметичний трикутник (трикутник Паскаля); поліноміальна формула; загальна формула включень та виключень, субфакторіал.

При виконанні першого етапу студент повинен запропонувати і записати індивідуальний приклад для кожного з розглянутих вище понять і визначень.

Другий етап виконання практичного заняття пов’язаний з вирішенням практичних завдань, представлених у підрозділі 1.3, на основі запропонованих типових прикладів (див. підрозділ 1.4).

1.3 Контрольні запитання і завдання

1.3.1 Контрольні запитання

1. Дайте визначення комбінаторики.

2. Поясніть, що являють собою задачі на перелічення.

3. Які задачі є задачами про існування та побудову?

4. Поясніть, що являють собою задачі про вибір.

5. Поясніть зв’язок астрології і комбінаторики.

6. Поясніть появу «задачі про кроликів». Як її розв’язував Леонардо Пізанський (Фібоначчі)?

7. Поясніть на прикладах комбінаторний зміст деяких задач генетики та біології.

8. Що являє собою r-вибірка?

9. Сформулюйте правило суми для комбінаторних задач. Поясніть на прикладі використання правила суми.

10. Сформулюйте правило добутку для комбінаторних задач. Яка формула використовується у правилі добутку?

11. Надайте визначення перестановки k-елементів.

12. Надайте визначення розміщення з n по k елементів.

13. Що являє собою розміщення з повтореннями з nпоk елементів? За якою формулою обчислюється кількістьk-розміщень з повтореннями зnпоkелементів?

14. За якою формулою обчислюється кількість k-сполучень зnелементів поkелементів з повтореннями і без повторень?

15. Надайте визначення композиції числа.

16. За якою формулою визначається кількість всіх варіантів розбиття числа nнаkчастин?

17. Дайте визначення трикутника Паскаля й поясніть принцип його побудови.

18. Які існують властивості трикутників Паскаля?

19. Що таке сполучення і біноміальні коефіцієнти?

20. В чому полягають властивості симетрії для біноміальних коефіцієнтів?

21. В чому полягають властивості додавання для біноміальних коефіцієнтів?

22. В чому полягають властивості винесення за дужки для біноміальних коефіцієнтів?

23. Наведіть формулу, яка називається «біном Ньютона».

24. Наведіть формулу, яка називається поліноміальною формулою.

25. Надайте загальну постановку задачі, для розв’язання якої використовують принцип включення і виключення.

26. Запишіть загальну формулу включень та виключень.

27. Наведіть приклади застосування принципу включення і виключення при розв’язанні комбінаторних задач.

28. У яких випадках використовується формула «повного безладдя» (субфакторіал)?

29. Поясніть розв’зання задачі розміщення простих чисел у натуральному ряді за допомогою використання решета Ератосфена.

1.3.2 Контрольні завдання

Завдання 1. На денне чергування в студентському гуртожитку може піти або студент з кімнати 1, де проживають три студенти, або студент з кімнати 2, де проживають чотири студенти. Скількома способами можна вибрати одного студента на денне чергування в гуртожитку?

Завдання 2. На денне чергування в студентському гуртожитку вибирається два студента – один студент з трьох, що проживають у кімнаті 1, і один студент з чотирьох, що проживають у кімнаті 2. Скільки існує можливих способів формування різних пар з двох студентів для чергування в гуртожитку?

Завдання 3. З 12 слів чоловічого роду, 9 слів жіночого роду і 10 слів середнього роду треба відібрати по одному слову кожного роду. Скількома способами можна здійснити цей вибір?

Завдання 4. Комутатор має входів івиходів. Якою кількістю способів може бути обрана пара «вхід-вихід» для встановлення між ними з’єднання? Дві пари? К пар?

Завдання 5. Телефонна мережа має абонентів. Якою кількістю способів може бути обрана пара абонентів для встановлення між ними з’єднань? Дві пари? К пар?

Завдання 6. У магазині є 5 сортів цукерок у коробках і 4 сорти тортів. Якою кількістю способів можна купити коробку цукерок чи торт? Якою кількістю способів можна купити і те й інше?

Завдання 7. Зі спортивного клубу, що нараховує 30 членів, треба вибрати 4 гімнастки для участі у особистих змаганнях з естетичної гімнастики Скількома способами це можна зробити?

Завдання 8. Скільки трьохкнопочних комбінацій існує на кодовому замку (усі три кнопки натискуються одночасно), якщо на ньому всього 10 цифр?

Завдання 9. У футбольному чемпіонаті беруть участь 17 команд. За умови, що 3 останні команди залишають вищу лігу, скільки варіантів такого завершення чемпіонату?

Завдання 10. Скільки членів було в клубі, якщо при нумерації членських білетів використовувалися усі трьохзначні номери, в яких не було ні одної цифри 8?

Завдання 11. Скількома способами 7 книг різних авторів можна розставити на книжній полці в один ряд?

Завдання 12.

Студенти вивчають 14 предметів. Скільки існує способів, якими можна скласти розклад занять на суботу, якщо в цей день повинно бути 5 різних занять?

Завдання 13. Розглянемо множину . Треба знайти число 2-сполучень із чотирьох елементів із необмеженими повтореннями.

Завдання 14. У поштовому відділенні продаються листівки 10 сортів. Скількома способами можна купити в ньому 12 листівок? Скількома способами можна купити в ньому 8 листівок? Скількома способами можна купити в ньому 8 різних листівок?

Завдання 15. На пошті є 5 видів листівок і 8 видів марок. Якою кількістю способів можна купити 12 листівок і 12 марок?

Завдання 16. Скількома способами можна призначити на чергування з охорони суспільного порядку групу з п’яти студентів і одного викладача, якщо маємо 15 студентів і 4 викладача?

Завдання 17. Визначити коефіцієнт при в розкладанніза біномом Ньютона.

Завдання 18. Знайти розклад виразу на основі формули бінома Ньютона.

Завдання 19. Обчислити за допомогою бінома Ньютона вираз .

Завдання 20. Знайти розкладання за поліноміальною формулою .

Завдання 21. Записати формулу включень і виключень для випадку, коли число ознак, які нас цікавлять, дорівнює п’яти.

Завдання 22. Скільки існує цілих чисел від 0 до 9999, що не поділяються ні на 3, ні на 4, ні на 5.

Завдання 23. Знайти кількість цілих додатних чисел, які не перевищують 200 і не діляться на кожне з простих чисел: а) 2, 3, 5; б) 7, 11, 13.

Завдання 24. Під час підведення підсумків сесії виявилося, що склали на «добре» і «відмінно» фізику – 60% студентів, вищу математику – 50%, дискретну математику – 50%, фізику і вищу математику – 30%, фізику і дискретну математику – 30%, вищу математику і дискретну математику – 20%, усі три предмети – 10%. Скільки студентів склали на «добре» і «відмінно» точно два предмети? Скільки відсотків студентів одержали оцінки нижче «добре» з усіх трьох предметів?

1.4 Приклади аудиторних і домашніх завдань

Завдання 1. З міста А в місто В відправляється 10 потягів, 5 літаків і 3 автобуса. Скількома способами однієї людині можна дібратися з міста А в місто В?

Розв’язок. За правилом суми всього існує 10+5+3 =18 способів.

Завдання 2. На танцювальній площадці є 17 юнаків і 21 дівчина. Скільки танцювальних пар вони можуть скласти?

Розв’язок. Спочатку виберемо юнака. Це можна зробити 17 способами. Після цього кожний юнак вибере собі партнершу (21 спосіб). За правилом добутку вибір упорядкованої множини танцювальних пар (юнак, дівчина) складає .

Завдання 3. Скількома способами можна вибрати 3 різні фарби, якщо є п’ять різних фарб?

Розв’язок. Порядок вибору фарб неважливий, тому кількість способів вибору можна обчислити за формулою .

Завдання 4. Нехай . Побудувати різні перестановки множинипо 2 і по 3 елемента.

Розв’язок. 2-перестановками множини є. Їх кількість. 3-перестановками множиниє. Їх кількість.

Їх кількість дорівнює .

Завдання 5. Кілька людей сідають за круглий стіл. Вважатимемо, що два способи розміщення збігаються, якщо кожна людина має тих самих сусідів в обох випадках. Скількома різними способами можна розмістити за столом 11 чоловік?

Розв’язок. Якби місця за столом були нумеровані, то на перше місце можна було б посадити кожного з 11, тобто 11 способами, на друге місце – кожного з 10, що залишилися і т.д. Тому що треба зайняти 11 місць і є 11 чоловік, то за правилом добутку маємо (11!) способів. Але тому що місця не нумеровані та при переміщенні усіх на одне місце за годинниковою стрілкою (чи проти її) сусідство зберігається, то кількість способів треба зменшити в 11 разів. Крім того, сусідство зберігається при симетричному відображенні щодо діаметра, отже кількість треба зменшити ще вдвічі.

Остаточна кількість способів розміщення виявляється рівною . У загальному випадку, коли за круглим столом треба розсадитилюдин, кількість способів дорівнює.

Завдання 6. У кімнаті студентського гуртожитку живуть троє студентів. У них є 4 чашки, 5 блюдець і 6 чайних ложок (усі чашки, блюдця і ложки відрізняються одне від одного). Скількома способами вони можуть накрити стіл для чаювання (кожний одержує одну чашку, одне блюдце й одну ложку)?

Розв’язок. Чашки можна розставити способами, блюдцяспособами і чайні ложкиспособами. Усього за правилом добутку накрити стіл для чаювання можнаспособами.

Завдання 7. Рота складається з 3 офіцерів, 6 сержантів і 60 рядових. Скількома способами можна виділити з них загін, який складається з одного офіцера, двох сержантів і 20 рядових? Та ж задача, якщо в загін повинен увійти командир роти і старший з сержантів.

Розв’язок. Офіцера можна вибрати способами, сержантівспособами і рядовихспособами. Усього за правилом добутку маємо.

Якщо в загін повинен увійти командир роти і старший з сержантів, то маємо способів вибору.

Завдання 8. Розглянемо слово СТІЛ. Скільки слів з 4 букв можна скласти, якщо букви в словах повторюються?

Розв’язок. Якщо можливі повторення букв, наприклад, СТТЛ, СІСЛ, ТТТТ та ін., тоді одержимо кількість слів .

Завдання 9. Розглянемо слово СТІЛ. Скільки слів з 3 букв можна скласти, якщо букви в словах повторюються?

Розв’язок. Якщо можливі повторення букв, наприклад, СТТ, ССС, ІТІ, ЛЛТ та ін., тоді одержимо кількість слів .

Завдання 10. Скільки різних слів можна одержати, переставляючи літери слова «МАТЕМАТИКА»?

Розв’язок. Слово «МАТЕМАТИКА» () містить 3 літери «А» (), 2 літери «М» (), 2 літери «Т» () і по одній літері «Е» (), «И» (), «К» ().

Різні слова з цих літер являють собою перестановки цих літер зі специфікацією .

Кількість таких перестановок дорівнює

Завдання 11. У кондитерській є тістечка 4 сортів. Якою кількістю способів можна купити 7 тістечок?

Розв’язок. Порядок, у якому купуються тістечка, ролі не відіграє. Важливо лише, скільки тістечок кожного сорту в покупці. Тому покупку варто розглядати як сполучення з 4 по 7 з повтореннями. Кількість різних покупок дорівнює .

Завдання 12. Записати усі композиції числа 3.

Розв’язок. Композиції мають вигляд 3=3, 3=2+1, 3=1+2, 3=1+1+1.

Завдання 13. Обчислити за допомогою бінома Ньютона вираз .

Розв’язок. Використаємо загальну формулу бінома Ньютона . Нехай,,. Тоді

Завдання 14. Розкрити за поліноміальною формулою .

Розв’язок. Число доданків після розкриття дужок і приведення подібних дорівнюватиме ,

Завдання 15. Група студентів проходила практику в Німеччині та Франції. Половина студентів проходила практику у Франції. В обох країнах навчались 12 студентів, 39 студентів навчались у Німеччині. Скільки студентів в групі, якщо усі пройшли практику?

Розв’язок. В цьому випадку є дві властивості (– навчання в Німеччині,– навчання у Франції). Використовується загальна формула включення і виключення

де – загальна кількість студентів,;

–кількість студентів, які проходили практику у Франції, ;– кількість студентів, які проходили практику у Німеччині,;– кількість студентів, які проходили практику в обох країнах,;

–кількість студентів, які не проходили практику, .

Складемо рівняння: . Розв’язавши його, отримаємо загальну кількість студентів, яка дорівнює 54.

Завдання 16. Маємо деяку кількість куль, кожна з яких пофарбована одним, двома чи трьома кольорами: червоним, синім і жовтим. При цьому червоним пофарбовано 28 куль, синім – 23, жовтим – 23, червоним і синім – 12, синім і жовтим – 8, червоним і жовтим – 11, а всіма трьома – 5 куль. Скільки разом було пофарбовано куль?

Розв’язок. Нехай – властивість кулі: у розфарбуванні кулі бере участь червоний колір,– властивість кулі: у розфарбуванні кулі бере участь синій колір,– властивість кулі: у розфарбуванні кулі бере участь жовтий колір. Тоді умови задачі можна записати так:;;;;;;.тому, що всі кулі пофарбовані.

Формула включення і виключення дає

Тоді .

Завдання 17. Задача про безладдя.

Задано різних предметівтарізних кліток. Скількома способами можна розмістити предмети по клітках так, щоб жоден предметне потрапив у клітку?

Розв’язок. Як початкову множину візьмемо сукупність всіляких розміщень предметів по клітках. Тоді. Введемо властивості: «знаходиться в клітці»,. Числорозміщень, при якому предметзнаходиться в клітці, дорівнює. Однак тоді.

Використовуючи формулу включень і виключень, знаходимо, що кількість розміщень, при якому жодна з властивостей не виконується (тобто жоден із предметівне потрапив у клітку), становить