Задачи mikro

Задача. Расчёт цены земли

На четырех одинаковых по площади земельных участках выращивается виноград.

Природно-экономические показатели этих земель характеризуют следующие данные:

Участок	I	II	III	IV
Расходы выращивания, грн.	2000	2600	3600	4000
Валовой сбор, т	8	12	20	16
Расстояние до рынка сбыта, км	10	50	100	105

Определите:

цену каждого участка, если известно, что общественная норма прибыли - 15%, а ссудный процент на одолженный у банка капитал равен 5% годовых.

Виды ренты способствуют формированию цен на землю?

Существует ли дифференциальная рента на I участке?

Существует ли дифференциальная рента на II участке?

Какие участки обеспечивают этот вид ренты?

Назовите причины которые, на ваш взгляд обусловливают разное качество каждого земельного участка?

Участки имеют большую производительность?

Ответы обоснуйте экономичным анализом.

Решение:

В основе рыночных цен на сельскохозяйственную продукцию лежит стоимость единицы продукции, полученной с худших земельных участков. Поэтому вся продукция со всех земельных участков будет продаваться по цене, соответствующей стоимости продукции с худшего земельного участка. Худшим земельным участком будет тот, на котором затраты производства 1 т винограда самые высокие.

Для простоты анализа составим таблицу расчётных данных:

Участок земли	Издержки производства, грн.	Общественная нормы прибыли, %	Стоимость всей продукции, грн.	Валовый сбор, т	Абсолютная рента, грн.
А	1	2	3	4	5
I	2000 + 8 × 10 × 0,4 = 2032	15	2032 × 1,15 = 2336,8	8	300
II	2600 + 12 × 50 × 0,4 = 2840	15	2840 × 1,15 = 3266	12	300
III	3600 + 20 × 100 × 0,4 = 4400	15	4400 × 1,15 = 5060	20	300
IV	4000 + 16 × 105 × 0,4 = 4672	15	4672 × 1,15 = 5372,8	16	300

Продолжение таблицы

	Индивидуальная стоимость, грн.		Общественная стоимость, грн. (рыночная)			Рента дифференциальная, грн.		Совокупная рента, R
Участок земли	Всего урожая, грн.	1 т, грн.	1 т, грн.	Всего урожая, грн.
A	6 = ст.3 + ст.5	7 = ст.6 / ст.4	8 = max {ст.7}	9 = ст.4 × ст.8	10 = ст.9 - ст.6		11 = ст.5 + ст.10
I	2636,8	329,6	354,55	2836,4	199,6		499,6
II	3566	297,17	354,55	4254,6	688,6		988,6
III	5360	268	354,55	7091	1731		2031
IV	5672,8	354,55	354,55	5672,8	0		300

Издержки производства включают в данной задаче расходы выращивания и транспортные расходы.

Найдём цену земли.

Субъект, желающий купить земельный участок, должен учесть альтернативные варианты вложения денег и получения дохода. Субъект выбирает: положить деньги в банк или купить земельный участок. Поэтому при всех неизменных условиях цену земли можно выразить следующей формулой:

где

R – размер арендной платы (рента),

r – величина ссудного процента или процентная ставка,

Размер арендной платы = Абсолютная рента + Дифференциальная рента +

+ Процент на капитал

Так как в задании не сказано осуществлялись ли ранее капиталовложения в постройки и сооружения, размер арендной платы и размер совокупной ренты будут совпадать. В противном случае арендная плата на ряду с рентой включает в себя выплату процента на вложенный капитал и амортизационные отчисления на вложенный капитал.

Таким образом, для нашего задания:

Размер арендной платы = Абсолютная рента + Дифференциальная рента =

= Совокупная рента  

Абсолютная рента получается собственниками земли абсолютно со всех земельных участков и абсолютно одинаковой величины, если размеры земельных участков одинаковы.

В условии задания сказано, что все четыре участка одинаковы по площади и  величина абсолютной ренты равна 300 грн.

Дифференциальная рента будет получена собственниками земли только со средних и лучших участков земли, как по качеству и плодородию почвы, так и по месторасположению. Участки, обладающие дифференциальной рентой: I, II и III.

IV участок земли будет иметь только абсолютную ренту. Поэтому виды ренты будут способствовать формированию цен на землю. Цена земли IV участка будет зависеть только от величины абсолютной ренты и величины ссудного капитала, в отличии от I, II и III участка, где цена зависит ещё и от величины дифференциальной ренты.

Совокупная рента - это избыточная прибыль которую присваивают собственники земли.

Можно сказать, что собственник III участка, за счёт наилучшей его производительности получит наибольшую избыточную прибыль.

Рассчитаем цены земельных участков.

Цена I участка земли:

 грн.

Цена II участка земли:

 грн.

Цена III участка земли:

 грн.

Цена VI участка земли:

 грн.

Расчёт общей полезности

Предельная полезность первой единицы блага равна 420. При потреблении первых трёх единиц блага предельная полезность каждой последующей единицы уменьшается в 2 раза; предельная полезность каждой последующей единицы блага при дальнейшем потреблении падает в 4 раза. Найти общую полезность блага при условии, что его потребление составляет 8 единиц.

 Решение:

Распишем условие задачи следующим образом:

MU(1) = 420,

MU(2) = 420/2=210,

MU(3) = 210/2=105,

MU(4) = 105/4=26,25,

MU(5) = 26,25/4=6,5625,

MU(6) = 6,5625/4=1,640625,

MU(7) = 1,640625/4=0,410156,

MU(8) = 0,410156/4=0,102539.

Найдём общую полезность блага при условии, что его потребление составляет 8 единиц.

TU(8) = MU(8) + TU(7) = MU(8) + MU(7) + TU(6) =...=

= MU(8) + MU(7) + MU(6) + MU(5) + MU(4) + MU(3) + MU(2) + MU(1) =

= 420 + 210 + 105 + 26,25 + 6,5625 + 1,640625 + 0,410156 + 0,102539 =

= 769,96582

Задача № Расчёт оптимального объёма потребления

Студент приобретает кофе и пирожки. Цена чашки кофе $2, пирожка $3. При этом он располагает бюджетом в размере $23. Известны предпочтения студента в виде общей полезности:

Количество	1	2	3	4	5	6	7
TU кофе, ютилей	20	36	50	62	72	80	86
TU пирожков, ютилей	36	66	93	117	135	144	150

Как потратить максимум бюджета так, чтобы купить набор этих двух благ с наибольшей полезностью? Сколько она составит?

 

Решение:

Оптимальный объём потребления достигается при выполнении второго закона Госсена – закона равной маржинальной (предельной) полезности на единицу затрат: отношение предельной полезности блага к его цене должно быть одинаковым для всех благ.

Запишем этот закон в виде тождества:

где

MU_к – предельная полезность кофе,

MU_п – предельная полезность пирожков,

P_к – цена кофе,

P_п – цена пирожков.

Перепишем это равенство в более удобном виде:

Значит, цены на кофе и пирожки относятся как 2:3. Теперь надо найти такую комбинацию предельных полезностей, чтобы они относились также как 2:3.

Рассчёт предельной полезности произведём по формуле:

где

ΔTU – приращение общей полезности (TU₁ – TU₀),

ΔQ – приращение количества (Q₁ – Q₀).

Так как количество в нашей задаче прирастает каждый раз на единицу ΔQ = 1, можно упростить эту формулу так:

MU = ΔTU

Количество	1	2	3	4	5	6	7
TU кофе, ютилей	20	36	50	62	72	80	86
MU кофе, ютилей	20	16	14	12	10	8	6
TU пирожков, ютилей	36	66	93	117	135	144	150
MU пирожков, ютилей	36	30	27	24	18	9	6

В данной задаче три варианта соотношений 2:3 предельных полезностей:

Выпишем эти наборы двух благ:

2 чашки кофе и 4 пирожка, или 4 кофе и 5 пирожков,  или 7 кофе и 6 пирожков.

Так как бюджет в $23 должен быть израсходован максимально, выберем из этих комбинаций оптимальную.

Подставим эти значения в формулу бюджетного ограничения:

I = Pк*Qк + Pп*Qп

где

I – бюджет или доход потребителя,

Pк, Pп – цены на кофе и пирожки,

Qк, Qп – объём потребления кофе и пирожков соответственно.

При Qк = 2, Qп = 4 бюджетное ограничение имеет вид:

23 > 2 × 2 + 3 × 4.

В этом случае бюджет израсходован не полностью.

При Qк = 4, Qп = 5 бюджетное ограничение имеет вид:

23 = 2*4 + 3*5.

Получили верное тождество. Следовательно, оптимальный объем потребления кофе – 4 чашки, а пирожков – 5 штук. При этом бюджет истрачен полностью.

Общая полезность составит:

TU = 62 + 135 = 197.

Задача Расчёт параметров равновесия на рынке монополистической конкуренции

Известно, что в долгосрочном периоде средние переменные затраты монополистически конкурентной фирмы зависят от объема производства

АVС = Q + 10.

Спрос на продукцию фирмы описывается формулой

Р = 150 – 3Q.

Найдите параметры равновесия (цену и объем продаж) и сделайте вывод, находится фирма в состоянии долгосрочного или краткосрочного равновесия. Нарисуйте график.

 

Решение:

Найдём функцию переменных затрат:

VC = АVС × Q = (Q + 10) × Q = Q² + 10 × Q

В долгосрочном периоде постоянные затраты равны нулю, следовательно, функция общих затрат будет иметь вид:

ТС = VC + FC = Q² + 10 × Q

Соответственно функция средних общих затрат будет равна функции средних переменных затрат:

ATC = АVС = Q + 10

Предельные затраты фирмы на рынке определим как производную от функции общих затрат:

Выручка фирмы на рынке будет равна:

TR = P × Q = (150 – 3 × Q) × Q = 150 × Q – 3 × Q²

Найдём предельную выручку как производную от общей выручки:

При равновесии в долгосрочном периоде в условиях монополистической конкуренции выполняются равенства:

P = ATC,

MC = MR.

Приравняем функцию предельных затрат к функции предельной выручки:

2Q + 10 = 150 – 6Q

Отсюда оптимальный объём выпуска фирмы равен:

Q = 17,5

Подставим это значение в равенство цены и средних общих издержек:

150 – 3 × 17,5 = 17,5 + 10

97,5 ≠ 27,5

P ≠ ATC

Следовательно, одно из условий равновесия долгосрочного периода не соблюдается, что свидетельствует о состоянии краткосрочного равновесия.

Задача Расчёт цены монополиста

Монополия на рынке имеет следующую функцию предельных издержек:

МС = - 10 + 3 × Q.

Предельный доход выражен функцией:

MR = 40 - 2 × Q.

Какова цена, назначаемая монополией за свой продукт на рынке?

 

Решение:

Известно, что предельный доход определяется дифференцированием функции общего дохода.

Найдём функцию общего дохода, то есть первообразную от функции предельного дохода:

Из формулы общего дохода выразим цену:

TR = P × Q ⇒ P = TR / Q = (40 × Q - Q²) / Q = 40 - Q

Получили обратную функцию спроса:

P = 40 - Q.

Теперь из условия максимизации прибыли найдём оптимальный объём производства монополии.

MC = MR

- 10 + 3 × Q = 40 - 2 × Q

Q = 10

Подставим это значение в функцию спроса и рассчитаем цену, назначаемую монополией за свой продукт на рынке:

Р = 40 - 10 = 30.

Задача Расчёт изменения объёма выпуска фирмы

Средние издержки конкурентной фирмы описываются формулой:

АС = 40 + 2Q

Как изменится объём выпуска фирмы, если цена на продукцию с 200 руб. за штуку упадёт до 100 руб. за штуку?

 

Решение:

В условиях совершенной конкуренции фирма получает максимальную прибыль, если выполняется равенство:

МС = Р

Для определения предельных издержек необходимо знать либо функцию общих издержек ТС, либо функцию переменных издержек VC.

Найдём функцию общих издержек.

Так как АС = ТС / Q, отсюда ТС = AC × Q.

ТС = 40Q + 2Q²

Теперь можно найти функцию предельных затрат по формуле:

МС = ТС' = (40Q + 2Q²)' = 40 + 4Q

Первоначально цена была равна 200 руб.

Значит, объём выпуска, который выберет фирма, максимизирующая прибыль, будет равен 40:

МС = Р₁

40 + 4Q₁ = 200

Q₁ = 40

Затем цена упала до 100 руб. за штуку. Объём выпуска стал равным 15:

МС = Р₂

40 + 4Q₂ = 100

Q₂ = 15

Изменение объёма выпуска составит:

ΔQ = Q₂ - Q₁ = 40 - 15 = 25

Определение точки закрытия фирмы

Определить точку закрытия фирмы, если известно, что функция её общих затрат имеет вид:

ТС = 40 + 2Q - 0,5Q² + 0,25Q³.

 

Решение:

Точка закрытия конкурентной фирмы - минимальная точка на кривой средних переменных издержек; фирма прекратит свою производственную деятельность и покинет рынок, если цена упадёт ниже этой точки.

Задача сводится к нахождению минимума функции средних переменных издержек.

Функция переменных издержек будет равна:

VC = 2Q - 0,5Q² + 0,25Q³

(Как определить функцию переменных издержек можно посмотреть здесь)

Средние переменные издержки найдём по формуле:

AVC = VC / Q = 2 - 0,5Q + 0,25Q²

Далее приравняем к нулю производную этой функции и найдём значение выпуска, при котором средние переменные затраты минимальны.

- 0,5 + 0,5Q = 0

0,5Q =0,5

Q = 1

Рассчитаем минимум средних переменных затрат:

AVC (1) = 2 - 0,5*1 + 0,25*1² = 1,75

Следовательно, при цене ниже 1,75 и объёме производства равном 1 фирма закроется.

Задача Расчёт цены и объёма производства, максимизирующих прибыль

Спрос на продукцию конкурентной отрасли:

Q_d = 55 – P

Предложение:

Q_s = 2P – 5

Если у одной из фирм отрасли восходящий участок кривой предельных издержек:

МС = 3Q + 5

При каких цене и объёме производства фирма максимизирует прибыль?

 

Решение:

Найдём цену равновесия. Приравняем функцию спроса и предложения:

Qd = Qs

55 – P = 2P – 5

3 * Р = 60

Р = 20 – цена рыночного равновесия, то есть цена по которой фирмы будут продавать свою продукцию.

Фирма в условиях совершенной конкуренции получает максимум прибыли при условии равенства цены и предельных затрат.

МС = Р

3Q + 5 = 20

Q = 5 – объём производства, при котором прибыль фирмы будет максимальной.

Задача Определение функций постоянных, переменных, предельных и средних издержек

Функция общих издержек имеет вид:

TC = 3Q² + 5Q + 20

Определить функции:

а) постоянных и переменных издержек;

б) средних постоянных, переменных и общих (совокупных) издержек;

в) предельных издержек;

 

Решение:

а) Общие издержки TC состоят из постоянных FC, которые не зависят от объёма выпускаемой продукции, и переменных издержек VC, которые связаны с объёмом производства Q.

Рассмотрим функцию общих издержек:

TC = 3Q² + 5Q + 20

В этой функции, слагаемые содержащие переменную Q и есть переменные издержки, то есть функция переменных издержек имеет вид:

VC = 3Q² + 5Q

, а постоянные издержки соответственно равны:

FC = 20.

б) Функция средних постоянных издержек AFC будет равна отношению постоянных издержек FC к объёму выпущенной продукции Q:

Функция средних переменных издержек AVC будет равна отношению переменных издержек VC к объёму выпущенной продукции Q:

Функция средних общих издержек ATC (или АС) будет равна отношению общих издержек TC к объёму выпущенной продукции Q:

в) Функция предельных издержек MC получается путём дифференцирования функции совокупных издержек:

Не трудно заметить, что тот же результат получится, если вместо функции общих издержек TC взять функцию переменных затрат VC:

Задача Расчёт максимума прибыли монополиста

Найти максимум прибыли монополиста, если известно, что спрос на его продукцию описывается функцией:

Q = 165 - 0,5 × P

и функция общих затрат равна:

TC = 5500 + 30 × Q + Q²

 

Решение:

Условие максимизации прибыли на монопольном рынке состоит в равенстве предельных издержек и предельного дохода:

MC = MR

Предельные издержки определим по формуле:

МС = TC' =(5500 + 30 × Q + Q²)' = 30 + 2Q

Найдём обратную функцию спроса:

Q = 165 - 0,5 × P ⇒ P = 330 - 2 × Q

Функция общего дохода будет иметь вид:

TR = P × Q = (330 - 2Q)Q = 330Q - 2Q²

Предельный доход рассчитаем по формуле:

MR = TR' = (330Q - 2Q²)' = 330 - 4Q

30 + 2Q = 330 - 4Q

6Q = 300

Q = 50 - оптимальный выпуск фирмы.

Цена продукции этом будет равна:

P = 330 - 2 × 50 = 230.

Рассчитаем прибыль монополиста по формуле:

П = TR - TC = Р × Q - (5500 + 30Q + Q²)

П = 230 × 50 - 5500 - 30 × 50 - 50²= 2000.

Задача Расчёт дисконтированного дохода

Если бы вам предложили на выбор два варианта:

а) получать 2600 ден. ед. каждый год до самой смерти;

б) получить 5000 ден. ед. через год, 8000 – в конце второго года и 20600 – в конце третьего года.

Ставка процента 10 %.

Какой из вариантов Вы предпочтете?

 

Решение:

Поскольку число жизни не известно, то при ставке 10% по варианту а) дисконтированный доход составит не более 26000 ден. ед.:

По варианту б) дисконтированный доход составит: