4.4. Простые машины

Простые машины служат для того, чтобы изменять величину или направление приложенных сил при неизменной затрате работы. Эти ма­шины не могут изменить величину работы. Если уменьшается при­ложенная сила, то должно увеличиться перемещение. В силу всту­пает «золотое правило механики»: то, что удается выиграть в силе, приходится проигрывать в пе­ремещении.

Рычагом называется твердое тело, вращающееся вокруг некоторой оси. У одноплечного рычага ось расположена на одном из концов и силы, действующие на него, антипараллельны. У двуплечного рычага ось расположена между точками прило­жения сил и силы параллельны (рис.4.4).

Если F₁ - сила, уравновешивающая нагрузку, F₂ - нагрузка, l₁ - плечо силы, равное расстоянию по перпендикуляру от точки опоры до линии действия силы F₁, l₂ - плечо нагрузки, равное расстоянию по перпендикуляру от точки опоры до линии действия нагрузки F₂, то, согласно правилу рычага,

F₁ l₁ = F₂ l₂ . (4.4)

Неподвижный блок действует аналогично равноплечному рычагу (рис.4.5). Моменты сил, действующие с обеих сторон блока, одинаковы, со­ответственно одинаковы и силы, создающие эти мо­менты. У неподвижного блока сила равна нагрузке

F₁ = F₂ ,

то есть неподвижный блок изменяет только направление действия силы.

Подвижный блок действует аналогично одноплечному рычагу. Относительно центра вращения О действуют моменты сил, которые при равновесии должны быть равны:

F₁ 2r = F₂ r.

Отсюда

F₁ = F₂/2 ,

то есть сила равна половине нагрузки. Подвижный блок изменяет только величину силы.

4.5. Момент инерции

При изучении вращения твердого тела пользуются понятием момента инерции. Моментом инерции системы (тела) отно­сительно оси вращения называется физи­ческая величина, равная сумме произведе­ний масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматри­ваемой оси:

. (4.5)

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

, (4.6)

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с коорди­натами х, у, z.

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси (рис.4.6). Разобьем цилиндр на отдельные полые концентриче­ские цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним r + dr. Момент инерции каждого полого цилиндра dI = r² dm (так как dr << r, то считаем, что расстояние всех точек ци­линдра от оси равно r), где dm - масса всего элементарного цилиндра; его объем 2πrh dr. Если ρ - плотность материала, то dm = ρ·2πrh dr и dI = 2π ρhπr³dr . Тогда мо­мент инерции сплошного цилиндра

,

но так как πR² h - объем цилиндра, то его масса m = πR² hρ, а момент инерции

.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относи­тельно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела I относительно любой оси вращения О равен моменту его инерции I_C относительно параллельной оси, про­ходящей через центр масс С тела, сло­женному с произведением массы m тела на квадрат расстояния a² между осями:

I = I_C + ma². (4.7)

Приведем значения мо­ментов инерции (табл.1) для некоторых тел (тела считаются однородными, m - масса тела).

Таблица 1
Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R	Ось симметрии	mR2
Сплошной цилиндр или диск радиусом R	То же	1/2mR2
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину	1/12 ml2
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец	1/3 ml2
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара	2/5 mR2