Глава4. Динамика вращательного движения твердого тела

4.1. Модель абсолютно твердого тела

Всякое реальное тело под действием приложенных к нему сил в большей или меньшей степени деформируется, то есть изменяет свои размеры и форму. В механике вводится модель абсолютно твердого тела, которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками этого тела остается постоянным.

Любое движение твердого тела можно представить как комбинацию поступатель­ного и вращательного движений. Поступа­тельное движение - это движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллель­ной своему первоначальному положению. Вращательное движение - это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

4.2. Момент силы

Моментом силы F относительно неподвиж­ной точки О называется физическая вели­чина, определяемая векторным произведе­нием радиуса-вектора , проведенного из точкиО в точку А приложения силы, на силу (рис.4.1):

.

Здесь - аксиальный вектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .

Модуль момента силы

М = Fr sin ά = Fl, (4.1)

где ά- угол между и;r sin ά = l - кратчайшее расстояние между линией дей­ствия силы и точкой О - плечо силы(ОА').

Моментом силы относительно непод­вижной оси z называется скалярная вели­чина М_z, равная проекции на эту ось век­тора момента силы, определенного от­носительно произвольной точкиО данной оси z (рис.4.2). Значение момента М_z не зависит от выбора положения точки О на оси z.

Если ось z совпадает с направлением вектора , то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:

М_z = .

Аксиальные векторы не связаны с опреде­ленной линией действия, их можно переме­щать в пространстве параллельно самим себе (свободные векторы).

Если на тело, которое может вра­щаться вокруг какой-либо точки, действует одновременно несколько сил, то для сло­жения моментов этих сил следует воспользоваться правилом сло­жения моментов: результирующий момент силы равен геометрической сумме составляющих мо­ментов сил.

4.3. Пара сил

Если на тело действует несколько сил, равнодействующая которых равна нулю, а результирующий момент относительно какой-либо оси не равен нулю, то тело не останется в равновесии. Так будет, например, если на тело действуют две равные и противоположные силы, не лежащие на одной прямой.

Такие две силы, совместно действующие на тело, называют парой сил. Если тело закреплено на оси, то при действии на него пары сил оно начнет вращаться вокруг этой оси. При этом, вообще говоря, со стороны оси на тело будет действовать сила. Можно показать, однако, что если ось проходит через центр масс тела, то сила со стороны оси отсутствует.

Момент пары сил одинаков относительно любой оси, пер­пендикулярной к плоскости пары. Действительно, пусть О - произвольная ось, перпендикулярная к плоскости, в которой лежит пара (рис.4.3). Суммарный момент М равен

M = F·OA + F·OB = F(OA + OB) = F·l,

где l - расстояние между силами, составляющими пару. Этот же результат получится и при любом другом положе­нии оси. Можно показать также, что момент нескольких сил, равнодействующая которых равна нулю, будет один и тот же относительно всех осей, параллельных друг другу, и поэтому действие всех этих сил на тело можно заменить действием одной пары сил с тем же моментом.

Силы, действующие на твердое тело, могут вызвать как поступа­тельное, так и вращательное движение тела. Чтобы тело находилось в равновесии, необходимо выполнение следующих условий:

- равнодействующая всех действующих на тело сил равна нулю.

- сумма всех моментов сил равна нулю.

Если силы лежат в одной плоскости, получаем следующие условия равновесия:

; (4.2)

. (4.3)