- •Министерство Российской Федерации по связи и информатизации
- •Глава 1. Высказывания, формулы, тавтологии.
- •Отношения логической эквивалентности и логического следствия.
- •Задачи.
- •Глава 2. Формальные теории.
- •Глава 3. Исчисление высказываний.
- •Построение вывода в логике высказываний.
- •Задачи.
- •Глава 4. Метод резолюций в логике высказываний.
- •Задачи.
- •Глава 5. Предикаты.
- •Задачи.
- •Глава 6. Исчисление предикатов.
- •Теория равенства.
- •Формальная арифметика.
- •Теория частично упорядоченных множеств.
- •Задачи.
- •Глава 7. Алгоритмы.
- •Глава 8. Рекурсивные функции.
- •Задачи.
- •Глава 9. Машины Тьюринга.
- •Операции с машинами Тьюринга.
- •Принцип двойственности.
- •Способы композиции машин Тьюринга.
- •Задачи.
- •Ответы и указания.
Построение вывода в логике высказываний.
Пример. Докажем, что выводима формула . Сокращенно это записывается так: ├.
По теореме, обратной теореме дедукции, посылку можно перенести в левую часть:
├.
Проделаем эту операцию еще раз:
, ├.
Таким образом, нам нужно доказать, что из формул ивыводима формула. Составим вывод формулы. В каждой строке вывода записывается только одна формула. В правой части страницы удобно указывать комментарий, – что собой эта формула представляет. Возможны варианты:
гипотеза,
аксиома (может быть, с какими-то подстановками),
ранее доказанная теорема,
формула получена из предыдущих формул по правилу Modus ponens.
Вначале мы запишем гипотезы.
–гипотеза.
–гипотеза.
Формулу удобно получить из аксиомы А3. Поэтому запишем эту аксиому:
3. А3.
К формулам 1 и 3 можно применить правило вывода Modus ponens (что мы и отметим в комментарии). Порядок номеров формул существенен (первой указывается посылка).
4. . МР 1, 3.
Посылку в формуле 4 можно получить из аксиомы А1, если заменить на:
. А1 с подстановкой вместо –.
Далее дважды применяем правило Modus ponens:
. МР 2, 5.
. МР 6, 4.
Вывод построен, и применением теоремы дедукции мы доказали выводимость первоначальной формулы.
Отметим, что вывод может быть неединственным, в частности, формулы могут быть записаны в другом порядке. Решение данной задачи может быть оформлено следующим образом:
├.
По теореме, обратной теореме дедукции,
├.
, ├.
–гипотеза.
–гипотеза.
. А1, :.
. МР 2, 3.
. А3.
. МР 1, 5.
. МР 4, 6.
Пример. Данный пример более прост, но достаточно показателен. Обратите внимание, что здесь не используются ни аксиомы, ни теоремы. Доказательство теоремы ├строится только на основании правила МР.
По теореме, обратной теореме дедукции,
├.
, ├.
, ,├.
–гипотеза.
–гипотеза.
–гипотеза.
. MP 3,2.
. MP 4,1.
В Содержание.
Задачи.
Указать, какие из следующих выражений являются формулами исчисления высказываний.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2. Какая из приведенных ниже записей является выводом формулы в исчислении высказываний?
По теореме, обратной теореме дедукции, ├равносильно├.
–гипотеза.
–гипотеза.
. MP 2,1.
По теореме, обратной теореме дедукции, ├равносильно├.
–гипотеза.
–гипотеза.
–гипотеза.
. MP 3,1.
. MP 2,4.
По теореме, обратной теореме дедукции, ├равносильно├.
–гипотеза.
–гипотеза.
–гипотеза.
. MP 2,1.
. MP 2,4.
3. Построить вывод формулы.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
В Ответы и указания.
В Содержание.