Бакалавры 2015_1,2 темы слайды
.pdf
благоприятствовать |
одна |
комбинация |
из |
N
P |
|
|
|
10! |
|
|
|
|
|
||
10 с повт |
|
3! 2! 2! . |
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
P A |
1 |
|
И тогда |
10 с повт |
|||
|
|
||||
|
|
|
|
|
P |
3! 2! 2! 10!
1
151200 |
. |
|
Пример 1.10. В универмаге были проданы 27 штук магнитофонов из трех марок «Samsung», «Panasonic» и «Toshiba», имеющихся в количествах 6, 8 и 16 штук.
Полагая, что каждый магнитофон имеет одинаковую возможность быть проданным, найдите ве-
51
роятность того, что остались непроданными магнитофоны: а) одной марки; б) трех разных марок.
Решение.
а) Обозначим событие А - остались нераспроданными магнитофоны одной какой-то марки или
«Samsung», или «Panasonic» и «Toshiba».
Тогда число способов, которыми можно получить 3 магнитофона «Samsung» из имеющихся 6
52
штук, равно
C |
3 |
|
6 |
||
|
; марки «Panasonic»
из 8 штук
C |
3 |
|
8 |
||
|
, а марки «Toshiba» из 16 штук -
C |
3 |
|
|
16 |
|
.
Событию
А
будут благоприятствовать
M C 3 |
C 3 |
C 3 |
случаев, а общее число способов, |
6 |
8 |
16 |
которыми можно получить 3 непроданных магни-
тофона из 30, равно Тогда
C |
3 |
|
30 |
||
|
.
53
P A |
C |
3 |
C |
3 |
C |
3 |
|
20 56 560 |
|
6 |
8 |
|
|
|
|||||
|
|
16 |
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
|
|
4060 |
|||
|
|
|
C |
|
|
|
|
||
|
|
|
30 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
636 |
|
|
|
4060 |
|
0,1566
.
б) Обозначим событие B - остались непроданными магнитофоны трех разных марок.
Тогда событие |
B |
произойдет, |
если останутся |
|
|||
непроданными |
по |
одному |
магнитофону |
«Samsung», «Panasonic» и «Toshiba», т.е. этому со-
бытию будут благоприятствовать
1 |
1 |
1 |
6 8 16 768 |
М С С С |
|||
6 |
8 |
16 |
|
случаев из С303 4060 случаев.
54
P B |
768 |
0,1892 |
|
|
4060 |
. |
|||
|
|
Пример 1.11. (Задача о выборке)
Из 15 билетов выигрышными являются четыре. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу шести билетов будет два выигрышных?
Решение.
Элементарным исходом является выборка
любых шести билетов из 15. Число
N
всех таких
55
исходов, очевидно, равного числу сочетаний из 15
|
6 |
|
|
по 6, т.е. |
C |
. |
|
15 |
|||
15 |
|||
|
|
Нас |
ин- |
|
тересует событие |
А |
, со- |
|
|
||||
стоящее |
в |
6 |
том, что два из |
шести |
|
билетов |
– |
|
выигрышные. Благопри- |
||
ятным |
ис- |
|
ходом для события А |
||
являются любые 6 билетов, из которых два выигрышных и четыре – проигрышных.
56
Такого рода групп по шесть билетов имеется
2 |
С |
4 |
|
С |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
С |
|
(так как |
|
4 |
- число всевозможных пар вы- |
|||||
4 |
11 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
игрышных билетов, а |
С |
4 |
- число всевозможных |
|||||||
|
||||||||||
11 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
билетов и каждая пара выигрышных билетов может оказаться в одной группе с каждой четверкой проигрышных билетов).
Таким образом,
k N-k n
m n-m
57
|
|
2 |
|
|
4 |
4 3 11 10 9 8 |
||
P A |
C |
C |
1 2 |
1 2 3 4 |
||||
|
|
|||||||
|
4 |
|
11 |
|||||
|
C |
6 |
|
15 14 |
13 12 11 10 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
15 |
|
1 2 3 4 5 6 |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
36
91
0,3956
. Эту же
задачу можно сформулировать в общем виде:
Разыгрываются |
N |
лотерейных билетов, |
|
сре-
ди которых |
k |
- выигрышных. Некто приобрел |
n |
|
|||
|
|
билетов. Найти вероятность, что m из них – выигрышные.
Тогда
58
Р A P |
|
C |
m |
C |
n m |
|
|
k |
N k |
||||
|
|
|||||
m;N |
|
|
|
n |
||
|
|
|
C |
|
||
|
|
|
|
N |
||
.
(*)
59
Тема 2. Основные теоремы теории вероятностей План
1.Теоремы (правила) сложения вероятностей. Вероятность суммы несовместных событий
2.Свойство вероятностей событий, образующих полную группу
3.Зависимые и независимые события. Условная и безусловная вероятности
4.Теорема умножения вероятностей.
5.Независимость и зависимость событий в совокупности.
6.Вероятность появления хотя бы одного события
60