Бакалавры 2015_1,2 темы слайды
.pdfиз |
n |
|
ности.
независимых и зависимых событий в совокуп-
1. Теоремы сложения вероятностей
Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления, т.е.
Р A B P A P B P AB (2.1)
В случае нескольких совместных событий необходимо по аналогии с рассуждениями о пересечении двух совместных событий исключить повторный учет областей пересечения со-
61
бытий. Рассмотрим три совместных события
(Рис.1).
Для случая трех совместных событий можно записать: P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC (2.2)
АВ
A |
АВС |
В |
АС ВС
С
62
Пример 2.1. Предположим, что вероятность
получить |
выпускнику определенную работу, |
|||
равна 0,4 |
( |
Р А |
), вероятность получить другую |
|
|
||||
работу 0,5 |
|
Р В |
, вероятность получить предло- |
|
|
|
|
||
жения на оба места работы Р АВ - 0,3. В результате вероятность получения для него по
крайней мере одного из мест работы |
Р А В |
|
|
определяется по формуле (2.1): |
|
Р А В 0,4 0,5 0,3 0,6 |
. |
|
63
Вероятность суммы несовместных собы-
тий. Для несовместных событий их совмест-
ное наступление есть невозможное событие, |
||
т.е. |
Р АВ |
= Р ( )=0. |
|
||
Следовательно, вероятность суммы двух
несовместных событий равна сумме вероят-
ностей этих событий: |
|
Р А В Р А Р В |
(2.3) |
|
64
Правило сложения вероятностей справедливо |
||
и для конечного числа |
n |
попарно несовмест- |
|
||
ных событий, т.е.:
P A |
A |
A |
... A |
P A |
P A |
P A |
... P A |
|
||||
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
n |
1 |
2 |
3 |
n |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
P A |
|
|
|
|
|
||||
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.4)
Пример 2.2. Опыт состоит в случайном извлечении карты из колоды в 52 карты. Опреде-
65
лим события: |
А |
- «извлечение туза», |
В |
- «из- |
|
|
влечение карты трефовой масти». Вероятность |
||
извлечения туза из колоды карт |
Р А 4 52 |
; ве- |
|
||
роятность извлечения карты трефовой масти - |
|||
Р В 13 52 |
; вероятность их пересечения – извле- |
||
чение трефового туза - |
Р А B 1 52 |
. Согласно |
|
|
|||
правилу вероятности суммы двух совместных событий формула (2.1)
Р А B 4 52 13 52 1 52 16 52 |
. |
|
66
2. Свойство вероятностей событий, образующих полную группу
Сумма вероятностей событий А1, А2 ,..., Ап ,
образующих полную группу событий, равна
1.
P A |
P A |
P A |
... P A |
1 |
1 |
2 |
3 |
n |
|
(2.5)
Так как противоположные события образуют полную группу, то для них будет тоже справед-
67
ливо утверждение, характеризующее свойство вероятностей противоположных событий:
Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:
P A P A 1 |
(2.6) |
|
3.Зависимые и независимые события
Пример 2.3 В урне два белых и три черных шара. Чему равна вероятность появления белого шара при первом извлечении из урны? При втором извлечении из урны?
Здесь возможны два случая.
68
Первый случай. Схема возвращенного шара, то есть шар после первого испытания возвращается в урну. Пусть событие А - “появление белого шара при первом испытании”. Так как N = 5, а М = 2, то Р(А) = 2/5. Пусть событие В - “появление белого шара при втором извлечении”. Так как шар после первого испытания возвратился в урну, то N = 5, а
М = 2 и Р(В) = 2/5.
Таким образом, вероятность каждого из событий не зависит от того, произошло или не произошло другое событие. События А и В в этом случае называются независимыми.
69
СобытияА, В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло или нет другое событие.
Вероятности независимых событий называются
безусловными.
Второй случай. Схема невозвращенного шара,
то есть шар после первого испытания в урну не возвращается.
Вероятность появления белого шара при первом испытании Р(А) = 2/5. Белый шар в урну не возвращается, следовательно, в урне остались один белый и три черных шара.
70