Бакалавры 2015_1,2 темы слайды
.pdfИсходы B1, B2, B3, B4, B5, B6 – исходы элемен-
тарных событий или элементарные исходы. Элементарные исходы, при которых наступа-
ет интересующее нас событие – благоприят-
ствующие исходы. Это - исходы B4, B5.
За количественную оценку наступления события А (шар будет черным) принимается отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению события А к их общему числу, то есть 2/6=1/3.
41
Число 1/3 есть вероятность наступления собы-
тия А. Это записывается так:
P A 2 / 6 1/ 3
6.Свойства вероятности
1. Вероятность достоверного события равна 1, то
есть Р( |
|
) = 1. |
|
Действительно, если событие А =
, то M = N,
значит Р( |
|
) = N/N = 1. |
|
2.Если событие невозможное, то его вероятность равна 0, то есть Р( )= 0.
42
Если А = , то оно не осуществится ни при одном испытании, то есть M = 0 и Р( ) = 0/N = 0. 3.Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1.
В самом |
деле, так как 0 M N , то 0 M/ N 1, то |
||||
есть 0 |
|
Р(А) |
|
1. |
|
|
|
||||
4. Сумма вероятностей противоположных событий
|
|
равна 1, то есть |
P(A) P(A) 1 |
|
Пример 1.6 Монета подбрасывается три раза. Найдите вероятность того, что при этом (безраз-
43
лично в каком порядке) выпадет два раза герб и один раз цифра?
Решение.
1. Опыт (испытание, эксперимент) состоит в трехкратном подбрасывании монеты (или однократном подбрасывании трех монет).
2. Элементарным событием является любое со-
четание последовательности выпадений сторон на трех подбрасываемых монетах.
3. U |
|
|
N 8 . |
ггг,ццц, гцг,ццг, ггц,цгц,цгг, гцц , |
|||
44
4. |
Событие |
A |
||
|
|
|||
цифры», |
M 3 |
. |
||
5. |
P A M N |
|||
|
|
|
|
|
- «выпадение двух гербов и одной
3 8 0,375 |
. |
|
45
Пример 1.7 Преподаватель вызвал через старосту на обязательную консультацию трех студентов из шести отстающих. Староста забыл фамилии вызванных студентов и послал наудачу трех отстающих студентов. Какова вероятность того, что староста послал именно тех студентов, которых назвал преподаватель?
46
Решение. Трех студентов из шести можно вы-
брать |
С |
3 |
способами (порядок их выбора не имеет |
|||
6 |
||||||
|
||||||
|
|
|
|
|
||
значения). Благоприятствует событию |
A |
(вызваны |
||||
|
||||||
именно те студенты, которых приглашал преподаватель) только один шанс. Поэтому
( |
) |
1 |
|
1 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 3 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= 63 |
|
|
|
= 20 = 0,05 |
|||||
|
|
= |
6 ∙ 5 ∙ 4 |
||||||
.
47
Пример 1.8. У продавца на рынке 60 арбузов, из которых 50 спелых. Покупатель выбирает 2 арбуза. Какова вероятность того, что оба выбранные
арбуза спелые (соб. |
А |
)? |
|
Решение. Два арбуза из 60 можно выбрать чис-
лом способов, равным
С 2 60
. Благоприятствует со-
бытию |
А |
С |
2 |
шансов. |
|||
|
|||||||
50 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
P A |
C |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
50 |
|||
|
|
|
|
|
|||
Поэтому |
|
|
2 |
||||
|
60 |
||||||
|
|
|
|
|
C |
|
|
245 354
.
48
Пример 1.9. Буквы |
А, А, А, Е, И, К, М , М ,Т,Т |
|
написаны на отдельных карточках. Каждая карточка берется в случайном порядке и прикладывается одна к другой. Найдите вероятность того, что получится слово «математика»?
Решение. Пусть событие |
А |
- получение слова |
|||||
|
|||||||
«математика». Общее число исходов |
N P |
10! |
, |
||||
10 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а число исходов M , благоприятствующих собы- |
|||||||
тию |
A |
, значительно больше, так как перестановка |
|||||
|
|||||||
трех букв A , осуществляемая P3 3! |
способами, и |
||||||
49
перестановки двух букв |
M |
и двух букв |
T |
|
|
способами) не меняет собранное из карточек «математика»;
( |
2 |
2! |
|
P |
слово
|
По |
правилу произведения |
M |
||||||||
|
|
||||||||||
P A |
M |
|
P P P |
|
3! 2! 2! |
|
1 |
|
|
||
|
|
3 |
2 |
2 |
|
|
|
|
0,0000066 |
||
|
P |
|
|
|
|||||||
|
N |
|
|
|
10! |
|
151200 |
|
. |
||
|
|
|
10 |
|
|
|
|
||||
P P P |
||
3 |
2 |
2 |
. Итак,
Но эту задачу можно решить по-другому, рассматривая комбинации букв как перестановки с
повторениями, из которых событию A будут
50