3498

Задача 2

В результате исследования факторов, определяющих экономический рост, по 73 странам получено следующее уравнение регрессии:

где – темпы экономического роста (темпы роста среднедушевого ВВП в % к базисному году);

–реальный среднедушевой ВВП, %;

–бюджетный дефицит, % к ВВП;

–объем инвестиций, в % к ВВП;

–внешний долг, % к ВВП;

–уровень инфляции, %.

1.Проверьте гипотезу о достоверности полученной модели в целом.

2.До получения результатов этого исследования ваш однокурсник заключил с вами пари, что эмпирические результаты по данной модели докажут наличие обратной связи между темпами экономического роста и объемом внешнего долга страны (% к ВВП). Выиграл ли это пари ваш однокурсник?

Задача 3

По 20 предприятиям легкой промышленности получена следующая информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (млн руб.) у от количества

1.Определить коэффициент детерминации в этой модели.

2.Составить таблицу результатов дисперсионного анализа.

3.Проанализируйте полученные результаты регрессионного анализа.

Задача 4

В процессе изучения влияния климатических условий на урожайность зерновых (ц/га) у по 25 территориям страны были отобраны две объясняющие переменные:

–количество осадков в период вегетации (мм);

–средняя температура воздуха (°С).

21

1.Определите частные коэффициенты корреляции результата с каждым из факторов. Прокомментируйте различие полученных парных и частных коэффициентов корреляции.

2.Анализируя парные коэффициенты корреляции, определите какое уравнение регрессии лучше строить:

- множественную линейную регрессию.

3. Постройте уравнение регрессии в стандартизованном масштабе и сделайте выводы.

Задача 5

По30 наблюдениямбылиполученыследующиепарныекоэффициентыкорреляции: = 0,30; = 0,60; = 0,40; = 0,10; = 0,15; = 0,80.

1.Постройте уравнение регрессии в стандартизованном виде и сделайте выводы.

2.Определите показатель множественной корреляции (нескорректированный и скорректированный).

3. Оцените целесообразность включения переменной в модель после введения в

нее переменных и .

Задача 6

Имеются следующие результаты регрессионного анализа зависимости объема

1. Напишите уравнение регрессии, характеризующее зависимость у от и .

2.Восстановите пропущенные характеристики.

3.С вероятностью 0,95 постройте доверительные интервалы для коэффициентов регрессии.

4.Проанализируйте результаты регрессионного анализа.

Задача 7

По 30 наблюдениям получены следующие данные:

22

1.Найдите скорректированный коэффициент корреляции, оцените значимость уравнения регрессии.

2.Определите частные коэффициенты эластичности.

3.Оцените параметр a.

Задача 8

По 20 актам купли-продажи однокомнатной квартиры имеются данные о цене квартиры (тыс. руб.) у, ее общей площади (м2) х1 и близости к метро (мин) х2:

∑х1 = 739; ∑х2 = 180; ∑у = 734; ∑ 27551; ∑ = 1806; ∑у2 = 28020; ∑yх1 = 27513; ∑yх2 = 6357; ∑х1 х2 = 6615.

1.Постройте уравнение множественной регрессии.

2.Найдите коэффициент множественной детерминации, в том числе скорректированный, сделайте выводы.

3.Оцените значимость уравнения регрессии через F-критерий Фишера.

4.Оцените значимость коэффициентов регрессии через t-критерий Стьюдента.

5.Определите частные коэффициенты корреляции и сделайте выводы.

6.Дайте интервальную оценку коэффициентов регрессии (с вероятностью 0,95).

7.Дайте интервал прогноза цены квартиры с вероятностью 0,95, предполагая прогнозные значения х1 = 40, х2 = 5.

Задача 9

В процессе изучения зависимости прибыли (тыс. руб.) у от выработки продукции на одного работника (ед.) х1 и индекса цен на продукцию (%) х2 получены данные по 30 предприятиям

1.Найти уравнение множественной регрессии в стандартизованном и натуральном масштабе.

2.Рассчитайте множественный коэффициент корреляции, общий и частные критерий Фишера и сделайте выводы.

23

Задача 10

По 30 заводам, выпускающим продукцию А, изучается зависимость потребления электроэнергии (тыс. кВт·ч) у от производства продукции (тыс. ед.) х1 и уровня механизации труда (%) х2.

1.Постройте уравнение множественной регрессии в стандартизованном и натуральном масштабе.

2.Определите показатели частной и множественной корреляции.

3.Найдите частные коэффициенты эластичности и сравните их с β-коэффициентами.

4.Рассчитайте общий и частные критерий Фишера.

5.Дайте интервальную оценку коэффициентов регрессии (с вероятностью 0,95).

6.Оцените значимость коэффициентов множественной регрессии.

Задача 11

При изучении зависимости потребления материалов (т) у от энерговооруженности труда (кВт·ч на одного рабочего) х1 и от объема произведенной продукции (тыс. ед.) х2 по 25 предприятиям получены следующие данные

1.Постройте уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров.

2.Определите частные коэффициенты эластичности и стандартизованные коэффициенты регрессии.

3.Найдите частные и множественный коэффициенты корреляции.

4.Оцените значимость уравнения регрессии через F-критерий Фишера.

5.Оцените значимость коэффициентов множественной регрессии.

6.Дайте интервальную оценку коэффициентов регрессии (с вероятностью 0,95).

24

Задача 12

При изучении уровня потребления мяса (кг на душу населения) у в зависимости от дохода (руб. на одного члена семьи) х1 и в соотношении с уровнем потребления рыбы (кг на душу населения) х2 результаты оказались следующими (по 50 семьям):

3. СИСТЕМА ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Краткие теоретические сведения

Сложные экономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных (одновременных) уравнений.

Различают несколько видов систем уравнений:

система независимых уравнений – когда каждая зависимая переменная рассматривается как функция одного и того же набора факторов x:

y1 = a11 x1 + a12 x2 + K+ a1m xm + ε1 , y2 = a21 x1 + a22 x2 + K+ a2m xm + ε 2 ,

. . . . . . . . . . . . . .

yn = an1 x1 + an 2 x2 + K+ anm xm + ε n

Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется МНК.

системы рекурсивных уравнений – когда зависимая переменная y одного уравнения выступает в виде фактора x в другом уравнении:

y1 = a11 x1 + a12 x2 + K+ a1m xm + ε1 ,

25

Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется МНК.

система взаимосвязанных (совместных) уравнений – когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других – в правую:

yn = bn1 y1 + bn 2 y2 + K+ bnn−1 yn−1 + an1 x1 + an 2 x2 + K+ anm xm + ε n

Такая система уравнений в эконометрике называется структурной формой

модели.

Эндогенные переменные – взаимозависимые переменные, которые определяются внутри модели (системы). В системе обозначаются как y. Их число равно числу уравнений в системе.

Экзогенные переменные – независимые переменные, которые определяются вне системы. Обозначаются обычно как x и влияют на эндогенные переменные, т.е. y.

Предопределенные переменные – это экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) переменные системы.

Коэффициенты a и b при переменных – структурные коэффициенты модели.

Приведенная форма модели представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:

где δi – коэффициенты приведенной формы модели.

Необходимое условие идентификации – выполнение счетного правила: D + 1 = H – уравнение идентифицируемо;

D + 1 < H – уравнение неидентифицируемо;

D + 1 > H – уравнение сверхидентифицируемо, где H – число эндогенных переменных в уравнении;

D – число экзогенных (предопределенных) переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.

Достаточное условие идентификации – определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.

Для решения идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов, для решения сверхидентифицируемого уравнения –

двухшаговый метод наименьших квадратов.

26

Косвенный МНК состоит в следующем:

-составляют приведенную форму модели и определяют численные значения коэффициентов (δij ) обычным МНК;

-путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров.

Двухшаговый МНК заключается в следующем:

-составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК.

-выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяют ДМНК, и находят расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели.

-обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.

Задачи для самостоятельной работы

Задача 1. Модель денежного рынка

где – процентная ставка;

–ВВП;

–денежная масса;

–внутренние инвестиции; t – текущий период.

1.Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентицифицировано ли каждое из уравнений модели.

2.Определите метод оценки параметров модели.

3.Запишите приведенную форму модели.

Задача 2. Модель Менгеса:

где – национальный доход;

–расходы на личное потребление;

–чистые инвестиции;

27

–валовая прибыль экономики;

–индекс стоимости жизни;

–объем продукции промышленности; t – текущий период;

t – 1 – предыдущий период.

1.Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентицифицировано ли каждое из уравнений модели.

2.Определите метод оценки параметров модели.

3.Запишите приведенную форму модели.

–ВВП;

–инвестиции;

–процентная ставка;

–денежная масса;

–государственные расходы; t – текущий период;

t – 1 – предыдущий период.

1.Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентицифицировано ли каждое из уравнений модели.

2.Определите метод оценки параметров модели.

3.Запишите приведенную форму модели.

Задача 4. Модель денежного и товарного рынков:

·, (функция инвестиций),

где – процентные ставки;

–реальный ВВП;

–денежная масса;

–внутренние инвестиции;

–реальные государственные расходы.

1.Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентицифицировано ли каждое из уравнений модели.

2.Определите метод оценки параметров модели.

3.Запишите приведенную форму модели.

28

–доход;

–инвестиции;

–государственные расходы; t – текущий период;

t – 1 – предыдущий период.

1.Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентицифицировано ли каждое из уравнений модели.

2.Определите метод оценки параметров модели.

3.Запишите приведенную форму модели.

Задача 6. Дана следующая структурная форма модели:

где – личное потребление в период t;

–зарплата в период t;

–прибыль в период t;

–общий доход в период t;

–общий доход в период t – 1; t – 1 – предыдущий период.

1.Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентицифицировано ли каждое из уравнений модели.

2.Определите метод оценки параметров модели.

3.Запишите приведенную форму модели.

–чистый национальный доход в период t;

–денежная масса в период t;

–расходы на потребление в период t;

–расходы на потребление в период t – 1;

–уровень безработицы в период t;

29

–уровень безработицы в период t – 1;

–инвестиции в период t.

1.Каким методом вы будете оценивать структурные параметры этой модели?

2.Выпишите приведенную форму модели.

3.Кратко охарактеризуйте методику расчета параметров первого и второго структурного уравнения модели.

Задача 8. Для изучения связи между уровнем инфляции и доходностью обыкновенных акций используется следующая система уравнений регрессии:

,

,

где – доходность облигации;

–доходность обыкновенных акций;

–доход в денежной форме на душу населения;

–доход от всех источников на душу населения;

–переменная, характеризующая новые выпуски ценных бумаг за период;

–ожидаемая доходность акций на конец периода;

–ожидаемый уровень инфляции;

1.Определите, является ли данная модель системой одновременных уравнений.

2.Выпишите приведенную форму модели.

3.Каким методом вы будете оценивать структурные параметры этой модели? Обоснуйте ответ.

Задача 9. Имеется модель, построенная по шести наблюдениям:

30