3498

1.Поясните смысл величин 0,8 и 0,6 в уравнениях регрессии.

2.Сравните эластичность расходов от объема производства для продукции А и Б при выпуске продукции А в 500 единиц.

3.Определите, каким должен быть выпуск продукции А, чтобы эластичность расходов на нее совпадала с эластичностью расходов на продукцию Б.

4.Оцените значимость каждого уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера.

Задача 12

Зависимость объема продаж (тыс. руб.) у от расходов на рекламу (тыс. руб.) х характеризуется по 12 предприятиям концерна следующим образом:

1.Определите коэффициент корреляции.

2.Постройте таблицу дисперсионного анализа для оценки значимости уравнения регрессии в целом.

3.Найдите стандартную ошибку оценки коэффициента регрессии.

4.Оцените значимость коэффициента регрессии через t-критерий Стьюдента.

5.Определите доверительный интервал для коэффициента регрессии с вероятностью 0,95 и сделайте вывод.

Задача 13

В таблице представлена информация, полученная по 20 сельхозпредприятиям области.

Фактическое значение F-критерия Фишера – 45.

1.Определить линейный коэффициент детерминации.

2.Постройте уравнение линейной регрессии.

3.Найдите средний коэффициент эластичности.

4.С вероятностью 0,95 укажите доверительный интервал ожидаемого значения урожайности в предположении роста количества внесенных удобрений на 10 % от своего среднего уровня.

11

Задача 14

Изучается зависимость материалоемкости продукции от размера предприятия по 10 однородным заводам.

2.Оцените тесноту связи с помощью индекса корреляции.

3.Охарактеризуйте эластичность изменения материалоемкости продукции.

4.Сделайте выводы о значимости уравнения регрессии.

Задача 15

Имеются данные о цене однокомнатной квартиры и величине ее общей площади по 10 сделкам одного района города.

1.Рассчитайте параметры уравнения линейной парной регрессии

2.Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

3.Дайте с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4.Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения.

5.Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность уравнения.

6.Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10 % от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости α = 0,05.

Задача 16

Имеются данные о цене однокомнатной квартиры и величине ее общей площади по 10 сделкам одного района города.

12

1.Рассчитайте параметры уравнения степенной парной регрессии

2.Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

3.Дайте с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4.Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения.

5.Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность уравнения.

6.Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10 % от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости α = 0,05.

Задача 17

Имеются данные о цене однокомнатной квартиры и величине ее общей площади по 10 сделкам одного района города.

1.Рассчитайте параметры уравнения экспоненциальной парной регрессии

2.Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

3.Дайте с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4.Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения.

5.Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность уравнения.

6.Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10 % от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости α = 0,05.

Задача 18

Бытовые услуги населению (млрд руб.) на территории России за 2005–2010 гг. характеризовались следующими уравнения трендов.

1.Выберите наилучшее уравнение тренда.

2.Дайте интерпретацию параметров степенной и линейной функций.

3.На основе параболы второй степени определите базисный и среднегодовой темп

роста.

13

Задача 19

По совокупности 30 предприятий торговли изучается линейная зависимость между ценой товара А (тыс. руб.) x и прибылью торгового предприятия (млн руб.) y. При оценке регрессионной модели были получены следующие промежуточные результаты:

1.Поясните, какой показатель корреляции можно определить по вышеприведенным данным.

2.Постройте таблицу дисперсионного анализа для расчета значений F-критерия Фишера.

3.Сравните фактическое значение F-критерия с табличным. Сделайте выводы.

Задача 20

Зависимость спроса на товар от его цены по 20 наблюдениям характеризуется уравнением: lg 1,75 0,35lg . Доля остаточной дисперсии в общей составила 18 %.

1.Запишите данное уравнение в виде степенной функции.

2.Оцените эластичность спроса на товар в зависимости от его цены.

3.Определите индекс корреляции.

4.Оцените значимость уравнения регрессии через F-критерия Фишера. Сделайте выводы.

2. МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ

Краткие теоретические сведения

Множественная регрессия представляет собой регрессию результативного признака с двумя и большим числом факторов, то есть модель вида

y = fˆ(x1 , x2 , ...x p ),

где y – зависимая переменная (результативный признак); x1, x2, …, xp – независимые переменные (факторы).

Для построения уравнения множественной регрессии чаще всего используются следующие функции:

Можно использовать и другие функции, приводимые к линейному виду.

14

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют метод наименьших квадратов. Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, строится следующая система нормальных уравнений, решение которой позволяет получить оценки параметров регрессии:

∑ y = na + b1 ∑ x1 + b2 ∑ x2 + K+ bp ∑ x p

∑ yx1 = a∑ x1 + b1 ∑ x12 + b2 ∑ x1 x2 + K+ bp ∑ x1 x p

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∑ yx p = a∑ x p + b1 ∑ x1 x p + b2 ∑ x2 x p + Kbp ∑ x2p

Для ее решения может быть применен метод определителей

соответствующего столбца матрицы данными левой части системы.

Другой вид уравнений множественной регрессии – уравнение регрессии в

β – стандартизованные коэффициенты регрессии.

К уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе применим МНК. Стандартизованные β – коэффициенты определяются из следующей системы уравнений:

15

Индекс множественной корреляции для уравнения в стандартизованном масштабе может быть представлен выражением

Ryx1x2Kxp = ∑βxi ryxi .

При линейной зависимости коэффициент множественной корреляции можно определить через матрицу парных коэффициентов корреляции

где r – определитель матрицы парных коэффициентов корреляции

16

r11 – определитель матрицы межфакторной корреляции. Этот определитель более низкого порядка остается, когда вычеркиваются из матрицы коэффициентов парной корреляции первый столбец и первая строка

Качество построенной модели в целом оценивает коэффициент (индекс)

детерминации. Коэффициент множественной детерминации рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции Ryx2 1x2Kxp .

Скорректированный индекс множественной детерминации содержит поправку на число степеней свободы и рассчитывается по формуле

где n – число наблюдений; m – число факторов.

Частные коэффициенты (индексы) корреляции, измеряющие влияние на y

фактора xi при неизменном уровне других факторов можно определить по формуле

или по рекуррентной формуле

Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от –1 до 1. Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью

F-критерия Фишера

17

Оценка значимости коэффициентов чистой регрессии по t-критерию Стьюдента может быть проведена по формулам

При построении уравнения множественной регрессии может возникнуть проблема в наличии Мультиколлинеарности факторов, их тесной линейной связанности.

Считается, что две переменные явно коллинеарны, т.е. находятся между собой в линейной зависимости, если rxi x j ≥ 0,7 .

По величине парных коэффициентов корреляции обнаруживается лишь явная коллинеарность факторов. Наибольшие трудности в использовании аппарата множественной регрессии возникают при наличии мультиколлинеарности факторов, тем не менее надежна оценка распределения суммы объясненной вариации по отдельным факторам с помощью метода наименьших квадратов.

Для оценки мультиколлинеарности факторов может использоваться определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами.

Если бы факторы не коррелировали между собой, то матрица парных коэффициентов корреляции между факторами была бы единичной матрицей, поскольку все недиагональные элементы были бы равны нулю.

Так, для включающего три объясняющих переменных уравнения y = a + b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 + ε .

матрица коэффициентов корреляции между факторами имела бы определитель, равный единице.

18

Если же, наоборот, между факторами существует полная линейная зависимость и все коэффициенты корреляции равны единице, то определитель такой матрицы равен

Чем ближе к нулю определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии. И, наоборот, чем ближе к единице определитель матрицы, тем меньше мультиколлинеарность факторов.

Проверка мультиколлинеарности факторов может быть проведена методом

Мультиколлинеарность считается доказанной.

Для применение МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это значит, что для каждого значения xi остатки εi имеют одинаковую дисперсию. Если это условие не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. При нарушении гомоскедастичности мы имеем неравенства

При малом объеме выборки, что наиболее характерно для эконометрических исследований, для оценки гетероскедастичности может использоваться метод Гольдфельда – Квандта. Основная идея теста Гольдфельда – Квандта состоит в следующем.

1.Упорядочение n наблюдений по мере возрастания переменной x.

2.Исключение из рассмотрения C центральных наблюдений, при этом (n − С): 2 f p ,

где p – число оцениваемых параметров.

3. Разделение совокупности из (n − С) наблюдений на две группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора x) и определение по каждой из групп уравнений регрессии.

19

4. Определение остаточной суммы квадратов для первой S1 и второй S2 групп и нахождение их отношения: R = S1 : S2 .

При выполнении нулевой гипотезы H0 о гомоскедастичности отношение R будет удовлетворять F-критерию с числом степеней свободы для каждой остаточной суммы квадратов (n − С − 2 p): 2 . Чем больше величина R превышает табличное значение F- критерия, тем более нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин.

Уравнения множественной регрессии могут включать в качестве независимых переменных качественные признаки (например, профессия, пол, образование, климатические условия, отдельные регионы и т.д.). Чтобы ввести такие переменные в регрессионную модель, их необходимо упорядочить и присвоить им те или иные значения, т.е. качественные переменные должны быть преобразованы в количественные. Такого рода сконструированные переменные в эконометрике принято называть фиктивными переменными. Например, включать в модель фактор «пол» в виде

1− мужской пол

фиктивной переменной можно в следующем виде: z = 0 − женский пол.

Коэффициент регрессии при фиктивной переменной интерпретируется как среднее изменение зависимой переменной при переходе от одной категории (женский пол) к другой (мужской пол) при неизменных значениях остальных параметров. На основе t-критерия Стьюдента делается вывод о значимости влияния фиктивной переменной и существенности расхождения между категориями.

Задачи для самостоятельной работы

Задача 1

Для изучения рынка жилья в городе по данным о 46 коттеджах было построено

где – цена объекта, тыс. д.е.;

–расстояние до центра города, км;

–полезная площадь объекта, кв.м;

–число этажей в доме, ед;

–коэффициент множественной детерминации;

–стандартные ошибки для коэффициентов множественной регрессии.

1.Проверьте гипотезу о том, что коэффициент регрессии b1 в генеральной совокупности равен нулю.

2.Проверьте гипотезу о том, что коэффициент регрессии b2 в генеральной совокупности равен нулю.

3.Проверьте гипотезу о том, что коэффициент регрессии b3 в генеральной совокупности равен нулю.

4.Проверьте гипотезу о том, что коэффициент детерминации равен нулю.

20