3443 Курсовая Работа ЭЭ

где EЭ = UX. X., а UX. X – напряжение холостого хода на разомкнутых зажимах между узлами a и b, как это показано на рис. 12.

Рис. 11. Схема для расчета тока I3 с использованием теоремы об ЭИН

Рис. 12. Схема для расчета UХ. Х.

Для расчета UХ. Х. размыкаем ветвь с емкостью С3 и находим напряжение между точками разрыва. Обозначим токи в ветвях схемы. Так как схема изменилась, то токи в ветвях схемы тоже изменятся и будут другие. Пометим их штрихом. Напряжение UХ. Х. найдем из уравнения, записанного по второму закону Кирхгофа для контура, направление обхода которого на схеме показано пунктирной линией. В этом случае требуется рассчитать только ток I6′. Этот ток можно найти из формулы делителя токов.

В этом случае уравнение по второму закону Кирхгофа будет иметь следующий вид:

+ J 4 Z L5. + I 6 'R6 = E1 ,

откуда

Подставим в это выражение числовые значения:

22

π

U Х. Х. = 91,6 + j33,3 − 2,06e− j 0,7 81e j 2 − 1,165e j 0,88 94,5 =

= 91,6 + j33,3 − 107,494 − j127,622 − 70,144 + j84,89 = 86,05 − j9,3 = 86,551e− j 3,034 , B.

Для определения ZЭ в схеме рис. 12 параметры источников приравниваем к нулю и получаем схему рис. 13.

Рис. 13. Схема для определения ZЭ

Внутреннее сопротивление эквивалентного источника определим как сопротивление относительно точек a и b в схеме рис. 13.

Из сравнения полученного результата со значением тока I3, найденного в п. 7, следует, что и по модулю, и по аргументу эти значения совпадают.

10. Построим векторные диаграммы токов и напряжений для узла 3 и третьего контура схемы, состоящего из сопротивлений Z6 и Z7, в схеме, приведенной на рис. 8.

По первому закону Кирхгофа для узла 3:

После подстановки числовых значений получим:

0,937e− j1,235 108 + 0,937e− j1,235 46,3e− j1,571 − 1,165e− j1,64 94,5 = 0 .

23

Выбрав масштаб по току и напряжению, строим векторные диаграммы, которые приведены на рис. 14.

Рис. 14. Векторные диаграммы токов и напряжений

Для сравнения построим временные зависимости токов и напряжений, показанных на векторной диаграмме. Временные зависимости для токов i5(t), i6(t) и i7(t) имеют следующие выражения:

i5 (t) = 2,912 cos(1000t − 0,70) А, i6 (t) = 1,647 cos(1000t − 1,64) А, i7 (t) = 1,325 cos(1000t − 1,235) А.

Наибольший интерес представляют токи i6(t) и i7(t), графики временных зависимостей для этих токов приведены на рис. 15.

Рис. 15. Графики временных зависимостей для токов i6(t) и i7(t)

24

Запишем временные зависимости для напряжений uR6(t), uR7(t) и uC7(t).

uR6 (t) = 110,07 cos(1000t − 1,64) В, uR7 (t) = 125,8 cos(1000t − 1,64) В, uC7 (t) = 53,9 cos(1000t − 2,805) В.

Графики временных зависимостей для тока i7(t) и напряжений uR7(t) и uC7(t) приведены на рис. 16.

Рис. 16. Графики временных зависимостей тока i7(t) и напряжений uR7(t) и uC7(t)

По этим графикам можно определить фазовый сдвиг между токами и напряжениями. Так, из первого графика видно, что ток i7(t) опережает ток i6(t). Величина фазового сдвига равна 0,4 мс. Умножив это значение на частоту ω = 1000 рад/с, получим значение фазового сдвига 0,4 рад. Данное значение совпадает со значением, полученным из формул, приведенных в табл. 1.

Из второго графика видно, что напряжение на резисторе совпадает по фазе с током, а напряжение на емкости отстает от тока на π/2.

Пример 2. Расчет цепи с независимыми источниками.

1.Задан код схемы 9. 3. 13. 10. 4. 5. 3. Схема, составленная в соответствии с этим кодом, приведена на рис. 17.

2.По формулам, приведенным в задании, рассчитаем величины элементов схемы и параметры источников.

R1 = 10,5 Ом; R2 = 15,75 Ом; R3 = 21 Ом; R7 = 42 Ом; L4 = 26,25 10-3 Гн;

L5 = 31,5 10-3 Гн; C3 = 42 10-6 Ф; C6 = 73,5 10-6 Ф.

i1 (t) = 2,2 Cos(1000t − 0,175) А; i4 (t) = 2,5Cos(1000t − 0,70) А.

25

Составим системы уравнений тем и другим методом и выразим токи в ветвях через контурные токи и узловые напряжения.

Для составления системы уравнений по МКТ выберем три основных контура с контурными токами II, III, IIII и два дополнительных контура с контурными токами J1 и J4, равными токам источников (рис. 17). Система уравнений в этом случае будет иметь следующий вид:

Определив из полученной системы уравнений неизвестные контурные токи, выразим через них токи в ветвях схемы:

I2 = J1 – II + J4; I3 = II – J4; I5 = II; I6 = II – III; I7 = III.

Для расчета токов по МУН воспользуемся схемой рис. 18. В схеме рис. 18 показан базисный узел, для которого напряжение равно нулю, т. е. U4 = 0. Покажем узловые напряжения U1, U2, U3. В этом случае система уравнений, составленная по МУН, будет иметь следующий вид:

Рис. 18. Схема для расчета по МУН

Решив систему уравнений, найдем неизвестные узловые напряжения U1, U2, и U3 и выразим токи в ветвях схемы через узловые напряжения:

27

7. Рациональным методом, т. е. методом, требующим решения системы с меньшим числом уравнений, является в данном случае МКТ. Выполним расчет токов в ветвях схемы рис. 17 данным методом. Для этого запишем систему уравнений по МКТ в каноническом виде и подставим в нее числовые значения.

Решим данную систему уравнений методом Крамера. Для этого вычислим главный определитель системы Z и два дополнительных 1 и 2.

Определим контурные токи II, и III.

Выразим токи в ветвях схемы через контурные токи:

I2 = J1 – II + J4; I3 = II – J4; I5 = II; I6 = II – III; I7 = III.

Вычислим токи в ветвях схемы:

I2 = 1,532 – j0,271 – 1,347 + j1,769 + 1,352 – j1,139 = 1,537 + j0,36 = 1,578ej0,23 А, I3 = 1,347 – j1,769 – 1,352+j1,139 = –4,9 10–3 –j0,631 = 0,631ej1,579 А,

I5 = 1,347 – j1,769 = 2,22ej0,92 А,

I6 = 1,347 – j1,769 + 0,391+j0,563 = 1,738 – j1,206 = 2,116ej0,607 А, I7 = – 0,391 – j0,563 = 0,685e–j2,178 А,

J1 = 1,5556349 e− j0,175 = 1,531875 − j0,2708487 А, J 4 = 1,767767 e− j0,70 = 1,3520627 − j1,138826 А.

28

Результаты расчетов сведем в табл. 2.

8. Проверим правильность расчета, составив и рассчитав баланс активной и реактивной мощностей.

Активная потребляемая мощность:

Pпотр. = R1J12 + R2I22 + R3I32 + R7I72 = 10,5 1,5562 + 15,75 1,5782 + 21 0,6312 + +42 0,6852 = = 25,41 + 39,236 + 8,35 + 19,726 = 92,722 Вт.

Реактивная потребляемая мощность:

Qпотр. = – XC3 I32 + XL4 J42 + XL5 I52 – XC7 I72 = – 23,81 0,6312 + 26,25 1,7682 + 31,5 2,222 – –13,605 0,6852 = – 9,467 + 82,03 + 155,78 – 60,895 = 167,45 ВАр.

Определимкомплекснуюмощность, развиваемуюидеальнымиисточникамитокаJ1 иJ4. Для определения комплексной мощности идеального источника тока надо найти напряжение на его зажимах. С этой целью запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для контуров, указанных на рис. 19. В первый контур войдут ветви Z1 и Z2, а во второй

ветви Z4, Z5 и Z6.

Рис. 19. Схема для определения напряжения на источниках тока

29

С учетом рассчитанных значений напряжений на источниках тока определим комплексную мощность идеальных источников тока:

+ 155,496e j1,365 = 60,954 + j15,234 + 31,768 + j152,216 = 92,722 + j167,45.

Активная и реактивная мощности, развиваемые источниками, равны соответственно:

Pист. = Re(SJ1) + Re(SJ4) = 92,722 Вт,

Qист. = Jm(SJ1) + Jm(SJ4) = 167,45 ВАр.

Определим погрешность расчета δ по формулам (49):

Как видно из приведенных результатов расчета, баланс активной и реактивной мощностей выполняется. Расхождение в расчете равно нулю. Из этого можно сделать вывод о том, что расчет токов выполнен верно.

9. Определим ток I6, используя теорему об эквивалентном источнике тока. При этом вся схема превращается в схему, показанную на рис. 20.

Рис. 20. Схема с эквивалентным источником тока

Для этой схемы ток I6 можно рассчитать по формуле (50):

30