Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

3443 Курсовая Работа ЭЭ

.pdf
Скачиваний:
19
Добавлен:
15.03.2016
Размер:
488.69 Кб
Скачать

Рис. 10. Схема для определения напряжения на источнике тока

С учетом этого определим комплексную мощность идеального источника тока:

*

S J = U J J 4 = 248,222e j0,0608 2,06e j0,7 = 590,695e j0,684 = 370,338 + j352,583 .

Активная и реактивная мощности, развиваемые источниками, равны соответственно:

Pист. = Re(SE1) + Re(SJ4) = 87,338 + 370,338 = 457,676 Вт,

Qист. = Im(SE1) + Im(SJ4) = 20,85 + 352,583 = 373,474 ВАр.

Определим погрешность расчета δ по следующим формулам:

δ P % =

 

Pист. Pпот.

 

2

100% ,

 

δQ % =

 

Qист. Qпот.

 

2

100% .

(38)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pист. + Pпот.

 

 

 

Qист. + Qпот.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δ P % =

 

 

457,676 457,688

 

 

 

2

100% = 2,6 103% ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

457,676 + 457,688

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δQ % =

 

373,474 373,415

 

 

 

2

100% = 5,07 103% .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

373,474 + 373,415

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как видно из приведенных результатов расчета, баланс активной и реактивной мощностей выполняется. Расхождение в расчете не превышает сотую долю процента. Из этого можно сделать вывод о том, что расчет токов выполнен верно.

9. Определим ток I3, используя теорему об эквивалентном источнике напряжения. При этом вся схема превращается в схему, показанную на рис. 11. Для этой схемы ток I3 можно рассчитать по формуле:

I 3 =

EЭ

,

(39)

Z Э + Z 3

 

 

 

 

21

 

 

U X.X.

где EЭ = UX. X., а UX. X – напряжение холостого хода на разомкнутых зажимах между узлами a и b, как это показано на рис. 12.

Рис. 11. Схема для расчета тока I3 с использованием теоремы об ЭИН

Рис. 12. Схема для расчета UХ. Х.

Для расчета UХ. Х. размыкаем ветвь с емкостью С3 и находим напряжение между точками разрыва. Обозначим токи в ветвях схемы. Так как схема изменилась, то токи в ветвях схемы тоже изменятся и будут другие. Пометим их штрихом. Напряжение UХ. Х. найдем из уравнения, записанного по второму закону Кирхгофа для контура, направление обхода которого на схеме показано пунктирной линией. В этом случае требуется рассчитать только ток I6. Этот ток можно найти из формулы делителя токов.

I 6 ' = J 4

 

 

R7

+ Z C 7

= 2,06e

j 0,7

108 j46,3

 

= 0,742

j0,898 = 1,165e

j 0,88

.

R6

+ R7 + Z C 7

 

94,5 + 108

j46,3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В этом случае уравнение по второму закону Кирхгофа будет иметь следующий вид:

+ J 4 Z L5. + I 6 'R6 = E1 ,

откуда

 

U

X.X. = E1 J 4 Z L5. I 6 'R6 .

(40)

 

Подставим в это выражение числовые значения:

22

π

U Х. Х. = 91,6 + j33,3 2,06ej 0,7 81e j 2 1,165e j 0,88 94,5 =

= 91,6 + j33,3 107,494 j127,622 70,144 + j84,89 = 86,05 j9,3 = 86,551ej 3,034 , B.

Для определения ZЭ в схеме рис. 12 параметры источников приравниваем к нулю и получаем схему рис. 13.

Рис. 13. Схема для определения ZЭ

Внутреннее сопротивление эквивалентного источника определим как сопротивление относительно точек a и b в схеме рис. 13.

 

R Z

7

 

94,5 117,5ej0,405

= 52,6 + j71,418 = 88,692e j0,936

Z Э = Z L5 +

6

= j81+

 

R6 + Z 7

94,5 + 108 j46,3

 

 

 

Теперь, зная EЭ и ZЭ, рассчитаем ток I3.

I 3 =

86,551ej3,034

=

86,551ej3,034

= 1,527ej2,651 = −1,347 j0,719

52,6 + j71,418 j92,6

56,7ej0,383

 

 

 

Ом. (41)

А. (42)

Из сравнения полученного результата со значением тока I3, найденного в п. 7, следует, что и по модулю, и по аргументу эти значения совпадают.

10. Построим векторные диаграммы токов и напряжений для узла 3 и третьего контура схемы, состоящего из сопротивлений Z6 и Z7, в схеме, приведенной на рис. 8.

По первому закону Кирхгофа для узла 3:

I5 = I6 + I7

; 0,229 j2,046 = −0,08 j1,162 + 0,309 j0,884 .

(43)

Для третьего контура по второму закону Кирхгофа:

 

I 7

R7 + I 7 Z C7 I 6 R6 = 0 .

(44)

После подстановки числовых значений получим:

0,937ej1,235 108 + 0,937ej1,235 46,3ej1,571 1,165ej1,64 94,5 = 0 .

23

Выбрав масштаб по току и напряжению, строим векторные диаграммы, которые приведены на рис. 14.

Рис. 14. Векторные диаграммы токов и напряжений

Для сравнения построим временные зависимости токов и напряжений, показанных на векторной диаграмме. Временные зависимости для токов i5(t), i6(t) и i7(t) имеют следующие выражения:

i5 (t) = 2,912 cos(1000t 0,70) А, i6 (t) = 1,647 cos(1000t 1,64) А, i7 (t) = 1,325 cos(1000t 1,235) А.

Наибольший интерес представляют токи i6(t) и i7(t), графики временных зависимостей для этих токов приведены на рис. 15.

Рис. 15. Графики временных зависимостей для токов i6(t) и i7(t)

24

Запишем временные зависимости для напряжений uR6(t), uR7(t) и uC7(t).

uR6 (t) = 110,07 cos(1000t 1,64) В, uR7 (t) = 125,8 cos(1000t 1,64) В, uC7 (t) = 53,9 cos(1000t 2,805) В.

Графики временных зависимостей для тока i7(t) и напряжений uR7(t) и uC7(t) приведены на рис. 16.

Рис. 16. Графики временных зависимостей тока i7(t) и напряжений uR7(t) и uC7(t)

По этим графикам можно определить фазовый сдвиг между токами и напряжениями. Так, из первого графика видно, что ток i7(t) опережает ток i6(t). Величина фазового сдвига равна 0,4 мс. Умножив это значение на частоту ω = 1000 рад/с, получим значение фазового сдвига 0,4 рад. Данное значение совпадает со значением, полученным из формул, приведенных в табл. 1.

Из второго графика видно, что напряжение на резисторе совпадает по фазе с током, а напряжение на емкости отстает от тока на π/2.

Пример 2. Расчет цепи с независимыми источниками.

1.Задан код схемы 9. 3. 13. 10. 4. 5. 3. Схема, составленная в соответствии с этим кодом, приведена на рис. 17.

2.По формулам, приведенным в задании, рассчитаем величины элементов схемы и параметры источников.

R1 = 10,5 Ом; R2 = 15,75 Ом; R3 = 21 Ом; R7 = 42 Ом; L4 = 26,25 10-3 Гн;

L5 = 31,5 10-3 Гн; C3 = 42 10-6 Ф; C6 = 73,5 10-6 Ф.

i1 (t) = 2,2 Cos(1000t 0,175) А; i4 (t) = 2,5Cos(1000t 0,70) А.

25

Рис. 17. Схема для расчета к примеру 2

3. Представим гармонические функции i1(t) и i4(t) в виде комплексных действующих значений и запишем их в показательной и алгебраической формах записи.

J1 = 1,556 ej0,175 = 1,532 j0,271, А,

J 4 = 1,767767 ej0,70 = 1,352 j1,139 , А.

4. Определим комплексные сопротивления реактивных элементов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

Z

L4

= jωL

= jX

L4

= j103 26,25 103

= j26,25 = 26,25e j 2

Ом;

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

Z

L5

= jωL

= jX

L5

= j103 31,5 103 = j31,5 = 31,5e j 2 Ом;

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

=

1

 

 

= − jX

 

= − j

1

 

= − j23,8095238 =

23,8095238e

j

π

Ом;

C3

 

 

 

C3

 

 

 

 

 

2

jωC

 

103 42 10

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

j

π

Z

C6

=

 

 

 

= − jX

C6

= − j

 

 

 

 

= − j13,6054422 = 13,6054422e

 

 

2 Ом.

jωC

 

 

103 73,5 106

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Седьмая ветвь схемы содержит сопротивление R7 и емкость C7. Определим их комплексное сопротивление Z7 и комплексную проводимость Y7:

Z

7

= R

+

1

= R

jX

C 7

= 108 j46,3 = 117,506ej0,405

Ом.

 

 

 

 

 

 

7

 

jωC7

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y 7

=

1

=

 

 

1

 

= 8,51 103e j0,405 = 7,822 103 + j3,353103

См.

Z 7

117,5ej0,405

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Определим число уравнений, которое надо составить для расчета токов в ветвях схемы методом контурных токов и методом узловых напряжений. Предварительно проведем топологический анализ схемы. Для чего определим число узлов в схеме NУ, число ветвей NВ, число идеальных источников тока NJ и число особых ветвей схемы NОС.

NУ = 4; NВ = 7; NJ = 2; NОС = 0.

NМКТ = NВ NУ+1 – NJ = 7 – 4 +1 – 2 = 2;

NМУН = NУ – 1 – NОС = 4 – 1 – 0 = 3.

26

Составим системы уравнений тем и другим методом и выразим токи в ветвях через контурные токи и узловые напряжения.

Для составления системы уравнений по МКТ выберем три основных контура с контурными токами II, III, IIII и два дополнительных контура с контурными токами J1 и J4, равными токам источников (рис. 17). Система уравнений в этом случае будет иметь следующий вид:

I I (R2 + R3 + Z C3 + Z L5 + Z C 6 )J1R2 J 4 (R2 + R3 + Z C3 )I II Z C6

= 0

(45)

I II (Z C6 + R7 )I I Z C6 = 0

.

 

 

Определив из полученной системы уравнений неизвестные контурные токи, выразим через них токи в ветвях схемы:

I2 = J1 II + J4; I3 = II J4; I5 = II; I6 = II III; I7 = III.

Для расчета токов по МУН воспользуемся схемой рис. 18. В схеме рис. 18 показан базисный узел, для которого напряжение равно нулю, т. е. U4 = 0. Покажем узловые напряжения U1, U2, U3. В этом случае система уравнений, составленная по МУН, будет иметь следующий вид:

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

R

 

 

 

 

R

 

+ Z

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

R

 

+ Z

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

C3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

C3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

R

 

+ Z

C3

Z

L5

 

 

 

 

 

 

1 R

 

+ Z

C3

 

 

 

 

3

 

Z

L5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

Z

L5

 

 

Z

C6

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

2

Z

L5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= J 4

.

(46)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 18. Схема для расчета по МУН

Решив систему уравнений, найдем неизвестные узловые напряжения U1, U2, и U3 и выразим токи в ветвях схемы через узловые напряжения:

I 2

=

 

U

1

; I 3 =

U1 U 2

; I 5

=

 

U

2

U

3

; I 3

=

 

U

1

U

2

; I 6 =

U 3

; I 7

=

 

U

3

; I1 = I 2 + I 3 . (47)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R3 + Z C3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z C6

 

 

 

 

 

 

R2

 

 

 

 

Z L5

 

 

 

Z C3

 

 

 

R7

27

7. Рациональным методом, т. е. методом, требующим решения системы с меньшим числом уравнений, является в данном случае МКТ. Выполним расчет токов в ветвях схемы рис. 17 данным методом. Для этого запишем систему уравнений по МКТ в каноническом виде и подставим в нее числовые значения.

I I (15,75 + 21j23,8095238 + j31,5 j13,6054422)+ I II ( j13,6054422) =

 

= 1,5556349ej0,17515,750 + 1,767767ej0,7 (15,75 + 21j23,8095238)

.

(48)

I I ( j13,6054422)+ I II (j13,6054422 + 42) = 0

 

 

 

 

Решим данную систему уравнений методом Крамера. Для этого вычислим главный определитель системы Z и два дополнительных 1 и 2.

Z =

 

 

 

36,75 j5,915

j13,605

 

= 1,648103 j748,429 = 1,810 103 ej0,426

,

 

 

 

 

 

 

 

j13,605

42 j13,605

 

 

 

 

 

1 =

 

46,700 j78,31

j13,605

 

 

 

== 895,980 j3,924 103 = 4,025 103 ej1,346

,

 

 

 

 

 

0

42 j13,605

 

 

 

 

 

 

 

2 =

 

 

36,75 j5,915

46,700 j78,31

 

= 1,065 103 j635,38 = 1,241 103 ej2,604 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j13,605

0

 

 

 

 

 

 

 

Определим контурные токи II, и III.

I I =

1

= 1,347 j1,769 = 2,224ej0,92 А,

I II =

2

= −0,391j0,563 = 0,685ej2,178 А.

Z

Z

 

 

 

 

Выразим токи в ветвях схемы через контурные токи:

I2 = J1 II + J4; I3 = II J4; I5 = II; I6 = II III; I7 = III.

Вычислим токи в ветвях схемы:

I2 = 1,532 – j0,271 – 1,347 + j1,769 + 1,352 – j1,139 = 1,537 + j0,36 = 1,578ej0,23 А, I3 = 1,347 – j1,769 – 1,352+j1,139 = –4,9 10–3 j0,631 = 0,631ej1,579 А,

I5 = 1,347 – j1,769 = 2,22ej0,92 А,

I6 = 1,347 – j1,769 + 0,391+j0,563 = 1,738 – j1,206 = 2,116ej0,607 А, I7 = – 0,391 – j0,563 = 0,685ej2,178 А,

J1 = 1,5556349 ej0,175 = 1,531875 j0,2708487 А, J 4 = 1,767767 ej0,70 = 1,3520627 j1,138826 А.

28

Результаты расчетов сведем в табл. 2.

 

 

 

 

Таблица 2

Рассчитанный

Алгебраическая

Показательная

Мгновенные значения

ток

форма записи

форма записи

рассчитанных токов, А

 

 

 

 

 

J

1

1,532 – j0,271

1,556e–j0,175

i (t) = 2,2 cos(1000t 0,175)

 

 

 

1

I

2

1,537 + j0,36

1,578ej0,23

i (t)= 2,232 cos(1000t + 0,23)

 

 

 

2

I3

–4,9 10–3 j0,631

0,631ej1,579

i3 (t) = 0,892 cos(1000t 1,579)

J

4

1,352 – j1,139

1,768ej0,7

i (t) = 2,5cos(1000 t 0,70)

 

 

 

4

I5

1,347 – j1,769

2,22e–j0,92

i5 (t) = 3,145cos(1000t 0,92)

I6

1,738 – j1,206

2,116e–j0,607

i6 (t) = 2,992cos(1000t 0,607)

I7

– 0,391 – j0,563

0,685ej2,178

i7 (t) = 0,969cos(1000t 2,179)

8. Проверим правильность расчета, составив и рассчитав баланс активной и реактивной мощностей.

Активная потребляемая мощность:

Pпотр. = R1J12 + R2I22 + R3I32 + R7I72 = 10,5 1,5562 + 15,75 1,5782 + 21 0,6312 + +42 0,6852 = = 25,41 + 39,236 + 8,35 + 19,726 = 92,722 Вт.

Реактивная потребляемая мощность:

Qпотр. = – XC3 I32 + XL4 J42 + XL5 I52 XC7 I72 = – 23,81 0,6312 + 26,25 1,7682 + 31,5 2,222 – –13,605 0,6852 = – 9,467 + 82,03 + 155,78 – 60,895 = 167,45 ВАр.

Определимкомплекснуюмощность, развиваемуюидеальнымиисточникамитокаJ1 иJ4. Для определения комплексной мощности идеального источника тока надо найти напряжение на его зажимах. С этой целью запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для контуров, указанных на рис. 19. В первый контур войдут ветви Z1 и Z2, а во второй

ветви Z4, Z5 и Z6.

Рис. 19. Схема для определения напряжения на источниках тока

29

U

J 1

= J

1

R + I

2

R

 

= 1,556ej 0,175

10,5 + 1,578e j 0,23

15,75 = 16,085 j2,844 + 24,205 + j5,665 =

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 40,290 + j2,821 = 40,388e j 0,07 B.

 

 

 

U

J 4 = J 4 Z L4 + I 5 Z L5 + I 6 Z C6 = 1,768ej0,7

j26,25 + 2,22ej0,92 j31,5 + 2,116ej0,607 (j13,605) =

 

 

= 29,894 + j35,492 + 55,735 + j42,434 16,414

j23,645 = 69,216 + j54,281 = 87,962e j0,665 B.

С учетом рассчитанных значений напряжений на источниках тока определим комплексную мощность идеальных источников тока:

*

 

 

 

*

= 40,388e j0,07 1,556e j0,175 + 87,962e j0,665 1,768e j0,7 = 62,829e j0,245 +

Sист. =

U

J1 J1

+

U

J 4

J 4

 

 

+ 155,496e j1,365 = 60,954 + j15,234 + 31,768 + j152,216 = 92,722 + j167,45.

Активная и реактивная мощности, развиваемые источниками, равны соответственно:

Pист. = Re(SJ1) + Re(SJ4) = 92,722 Вт,

Qист. = Jm(SJ1) + Jm(SJ4) = 167,45 ВАр.

Определим погрешность расчета δ по формулам (49):

δ P % =

 

 

Pист. Pпот.

 

2

100% , δQ % =

 

Qист. Qпот.

 

2

100% .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pист. + Pпот.

 

 

 

Qист. + Qпот.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δP % =

 

 

92,722 92,722

 

 

 

2

100% = 0% ,

(49)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

92,722 + 92,722

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δQ % =

 

 

167,45 167,45

 

2

100% = 0% .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

167,45 + 167,45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как видно из приведенных результатов расчета, баланс активной и реактивной мощностей выполняется. Расхождение в расчете равно нулю. Из этого можно сделать вывод о том, что расчет токов выполнен верно.

9. Определим ток I6, используя теорему об эквивалентном источнике тока. При этом вся схема превращается в схему, показанную на рис. 20.

Рис. 20. Схема с эквивалентным источником тока

Для этой схемы ток I6 можно рассчитать по формуле (50):

I 6 = J Э

Z Э

.

(50)

Z Э + Z 6

 

 

 

30

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]