Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет природообустройства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МУ для подготовки к АКР 1 семестр выс. мат

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2016

Размер:

1.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Argz = аrgz + 2πk, где	аrgz –	главное значение аргумента, заключенное в
промежутке (– π; π],	то есть	arg z	(иногда в качестве главного

значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0; 2π)).

Аргумент φ определяется из формулы tg	y	. Так как	arg z	, то
Аргумент φ определяется из формулы tg	x	. Так как	arg z	, то
	x
получаем, что

arctg xy arg z = arctg xy arctg xy

для внутренних точек I, IV четвертей,

для внутренних точек II четверти,

для внутренних точек III четверти.

Тогда модуль комплексного числа z = – 4 3 – 4∙i:

r = x2

y2 = ( 4 3)2 ( 4)2 = 48 16 = 64 = 8,

а так как точка М находится в III четверти, то аргумент

arctg

Тогда

z 8

cos

i sin

– тригонометрическая форма

комплексного числа z.

3) Для нахождения п z

воспользуемся формулой

2 k

), где k = 0, 1, 2, …, п – 1.

wk = n z

= n r (cos

+ isin

В нашем случае имеем п = 3 и

2 k

wk = 3

4 3

4 i

= 3 8 (cos

+ isin

), где k = 0, 1, 2.

Придавая k последовательно значения 0, 1, 2, находим все три значения корней:

w0	= 3			(cos(		5		) + isin(					5	)) ≈ 2∙(0,643 – 0,766i) = 1,286 – 1,532i,
			8			5							5

						18							18
						18							18
w1	= 3			(cos	7		+ isin		7			) ≈ 2∙( 0,342 + 0,94i) = 0,684 + 1,88i,
			8		7				7
			8		18				18
					18				18
		3			19					19				3
			2		19					19					2

w2	=			(cos 18			+ isin				18 ) =					(– cos18 – isin18 ) ≈ 2∙(– 0,985 –
w2	=			(cos 18			+ isin				18 ) =					(– cos18 – isin18 ) ≈ 2∙(– 0,985 –

0,174i) =

= – 1,97 – 0,348i.

Тема 6. Первообразная и неопределенный интеграл, определенный интеграл

1 Знать определение первообразной и неопределенного интеграла.

2 Знать и применять основные свойства неопределенного интеграла.

3 Применять таблицу неопределенных интегралов.

4 Проверять результаты интегрирования дифференцированием.

5 Применять формулу замены переменной в неопределенном интеграле.

6 Применять формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

7 Знать определение определенного интеграла.

8 Применять формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенных интегралов.

9 Знать и применять основные свойства определенного интеграла.

10 Применять формулу замены переменной в определенном интеграле.

11 Применять формулу интегрирования по частям для определенного интеграла.

12 Вычислять площадь простейших геометрических фигур с помощью определенного интеграла.

13 Применять понятие определенного интеграла для вычисления длин дуг плоских кривых, заданных параметрическими уравнениями и уравнениями в полярной системе координат.

Задачи для самостоятельного решения

Если F(x) – одна из первообразных функции f(x),то

f (x)dx = …

Производная от интеграла

f (x)dx

равна …

Дифференциал от интеграла d

f (x)dx равен …

Интеграл

dF(x) равен …

Если f (x)dx F(x) C , то

f (ax

b)dx …

Если функция

F (x)

arctg

первообразная

функции f (x) , то

функция f(x) равна …

Если f (x)

, то ее первообразная F (x) равна …

a 2

Найти интеграл

(3x 2

5)dx .

Найти интеграл

2x3

dx .

x 4

10 3sin(2x 1)dx

k cos(2x

1) C . Тогда k = …

11 2e5x 3dx

ke5x

3 C . Тогда k = …

12 Найдите интегралы:
а)	cos x d (cos x) ;				б)	tg2 x d (tgx) ;	в)	d (1	ln x)	;
а)	cos x d (cos x) ;				б)	tg2 x d (tgx) ;	в)	sin 2 (1		;
								sin 2 (1	ln x)
г)		d (1	x2 )	;	д)	earcsin x d (arcsin x) .
г)				;	д)	earcsin x d (arcsin x) .
	1		x2

13 Какую из подстановок целесообразно использовать для замены переменной в интеграле:

а)

e x

dx ;

б)

dx ;

в) x(2x2 1)5 dx ;

3 4e x

г)

dx ;

д) x (x 2)7 dx .

2x 2

14 Какое из выражений целесообразно принять за U при интегрировании по частям интеграла:

а) x2e3x dx ;

б) x ln xdx;

в) (2x 3) cos xdx ;

г) xarctgxdx .

15 Какое из выражений целесообразно принять за dV при интегрировании по частям интеграла:

а)	xarctgxdx ;	б)	(3x	2) cos5xdx ;
в)	e x (x 1)dx ;	г)	ln( x	5)dx .

16 Если F(x) является первообразной функции f(x), то справедлива формула Ньютона-Лейбница …

17 Вычислить определенные интегралы:

	2		2
а)	2x2		2	dx;	б)	cos xdx ;
а)	2x2		x	dx;	б)	cos xdx ;
	1		x			0
	1					0
	4					1
в)		xdx ;			г)	еx 1dx .
	1					0

18 Вычислить определенные интегралы методом замены переменной:

а)

1 x 2 xdx ;

б)

dx ;

в)

x 1

0 1

2x 1

19 Вычислить определенные интегралы интегрированием по частям:

	2	e	1
а) xsinxdx ;		б) ln xdx;	в) xe x dx.
0		1	0

20 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у = х3, у = 0, х = 1; б) у = х2, у = 1, х = 0.

Образцы решений

Задание 1. В пунктах а, б найти неопределенные интегралы, а в пункте в вычислить определенный интеграл.

а)

dx .

РЕШЕНИЕ

2x 9 dx = 3 x

2x 9 dx

3 x

3 dx

2dx 9 x 2 dx =

= 3

3 1

2ln

x 2 1

С =

x 3

2ln

x 1

= 93

С .

2ln

б)

tg 2x

dx .

cos2 2x

РЕШЕНИЕ

tg 2x

+ I2.

cos2 2x

I1 =

= 5∙

= [так как

f (ax

b)dx

F (ax

b) C ] =

cos2 2x

= 5∙

∙tg2x + C;

tg 2x

применим подстановку tg 2x

I2 =

cos2 2x

тогда dt

dx, откуда dx

cos2 2x

∙

tdt

+ C =

cos2

Таким образом,

5 tg 2x

dx =

tg 2x

tg 2 2x C.

cos2 2x

в)

(2х 1)sin 2xdx .

РЕШЕНИЕ

Найдѐм данный интеграл, используя формулу интегрирования по частям:

																		b		ba			b
																		UdV UV					VdU .
																		UdV UV
																		a					a
													U	2x				1,			dV			sin 2xdx
	(2х			1)sin 2xdx =					dU					(2x				1) dx	2dx, V				sin 2xdx			1		cos2x
0									dU					(2x				1) dx	2dx, V				sin 2xdx			2		cos2x
0


	(2x		1)			1	cos2x									1		cos2x	2dx =
	(2x		1)		2		cos2x				0		0	2				cos2x	2dx =
					2									2

=		1	(2		1)cos2							1	1cos0					cos2xdx =				1	(2	1)	1		1		sin 2x
		1										1										1			1		1			=
	2								2												2				2	2				=
	2								2									0			2				2	2				0
		1						1	1						1			0												0
=		1		(2	1)			1	1	sin 2					1		sin 0 = – π.
=	2			(2	1)		2		2	sin 2				2			sin 0 = – π.
	2						2		2					2

Задание 2. Изобразить фигуру, ограниченную указанными линиями:

у = – х, у = 2х – х2

и вычислить ее площадь.

РЕШЕНИЕ

Нарисуем чертеж фигуры, ограниченной линиями:

у = – х, у = 2х – х2.

Методом выделения полных квадратов преобразуем уравнение параболы

у= 2х – х2:

у= – (х2 – 2х), у = – (х2 – 2х + 1 – 1), у = – [(х – 1)2 – 1],

у = – (х – 1)2 + 1 или y 1 (x 1)2 .

Из уравнения видно, что вершина параболы находится в точке (1;1), а ее ветви направлены вниз.

Прямая у = – х – это биссектриса второго и четвертого координатных углов (рисунок 3).

Рисунок 3

Определим абсциссы точек А и В – точек пересечения параболы и прямой. Для этого решим систему уравнений:

				y	2x		x2 ,
					y	x.
Получим: хА = 0, хВ = 3.
		b
	Тогда по формуле S		( f2 (x)	f1(x))dx вычислим искомую площадь.
		a
Для нашего случая f1 (x)		x,	f2 (x)	2x	x2 , a 0, b				3.
S	3 ( 2x x2 ( x) dx	3 (3x x2 )dx			3x2		x3	3	27		27		9	(ед.кв.).
								3

					2	3			2	3		2
	0	0			2	3		0	2	3		2
	0	0

Тема 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1 Уметь определять порядок дифференциального уравнения.

2 Знать определение общего и частного решения дифференциального уравнения.

3 Знать определение дифференциального уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными, однородного, линейного и уметь решать их.

4 Уметь решать дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка.

5 Знать определение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

6 Определять вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

Задачи для самостоятельного решения

1 Определить порядок дифференциального уравнения:

а) у′ + ух2 = 1x ;

б)	у	у cos x	у sin x 0 ;
в)	у	5 у 6 у	0 .

2 Показать, что функция у = Сх3 есть общее решение дифференциального уравнения ху′ – 3у = 0. Найти частное решение, удовлетворяющее условию

у(1) = 1.

3 Решить дифференциальные уравнения:

а) у′ = у2cosx;

б) у′ =	y	+ sin		y	;
	x			x

в) у′ + tgx =			1			.

			cosx

4 Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

а) у′′ + 4у′ + 3у = 0; б) у′′ + 4у′ + 4у = 0; в) у′′ + 4у′ + 13у = 0.

5 Указать вид частного решения данного линейного неоднородного

дифференциального	уравнения	второго	порядка	с	постоянными
коэффициентами и специальной правой частью:
а) у′′ + 8у′ + 16у = (1 – х)е– 4х;		б) у′′ – 5у′ + 6у = 13sin2x;
в) у′′ – у = е– х;		г) у′′ + 3у′ = х2 – 3.

Образцы решений

Задание 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка

3x dx y dy 5xy dy 2xy dx

РЕШЕНИЕ

Преобразуем данное уравнение. Слагаемые с множителем dx перенесем в левую часть равенства, а слагаемые с dy – в правую часть. Имеем:

3x dx 2xydx 5xydy ydy .

Вынесем общие множители за скобки:

x(3 2 y)dx y(5x 1)dy .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные:

x dx	y dy	.

5x 1 3	2 y

Интегрируем обе части последнего равенства:

							xdx				ydy			,
														,
							5x	1		3		2 y
	1	(5x				1) 1		dx		1		(3		2 y)				3	dy ,
	5			5x 1				dx		2		3			2 y				dy ,
	5			5x 1						2		3			2 y
	1	1				1		dx		1		1	3					dy ,

	5					5x 1				2			3 2 y
1			1								1				3	ln	3 2 y			.
1	x		1	ln	5x 1				C		1	y			3
5	x	5		ln	5x 1				C	2		y	2
5		5								2			2

Следовательно, общим интегралом исходного уравнения является

1		1				1		3	ln	3 2 y	.
	x		ln	5x 1	C		y
5		5				2		2

Задание 2. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

yy sin x . x x

РЕШЕНИЕ

Так как уравнение линейное, то решаем его с помощью подстановки Бернулли:

y u v , где u u(x), v v(x) .

Имеем: y u v uv. Подставив в исходное уравнение выражения для y и y , получим уравнение

u v		uv		uv	sin x		,
u v		uv		x	x		,
				x	x
которое преобразуем к виду
v	v	u	u v		sin x	.
v		u	u v			.
	x				x

Так как произведение u v должно удовлетворять исходному уравнению, то одну из неизвестных функций, например v , можно выбрать произвольно.

Выбираем в качестве v любое частное решение

v(x) уравнения v

0 .

Тогда

. Разделим переменные, имеем

Интегрируя, получим:

, ln

ln C .

Полагая C1

1, выбираем частное решение v

. Далее найдем общее решение

из уравнения u v

sin x

, где v

. Имеем:

sin x ,

sin x , u

sin x dx

cos x C .

Общее решение исходного уравнения

y uv 1x ( sin x C) .

Задание 3. Найти общее решение уравнения

ху уln yx

РЕШЕНИЕ

Данное уравнение относится к уравнениям вида F (x, y , y) 0. Понизим

его порядок с помощью подстановки

P, где P

P(x) .

Тогда y

Подставив в уравнение вместо y и y

их выражения, получим

P ln

Это однородное уравнение первого порядка относительно

функции Р(х) .

Полученное уравнение решим с помощью подстановки Р

Ux,

P U x

U .

U x

U ln U

U (ln U

Разделив переменные и проинтегрировав, получим

U (ln U

ln ln U 1 ln x ln C,

ln U 1 C1x,				ln U C1 x 1,
	U eC1x 1,			P xeC1x 1 ,
	dy	xeC1x 1	,	dy xeC1x 1dx .

	dx

Проинтегрировав, получим

dy		x eC1x	1,
	1	C1x	1	1		C1x 1
y		x e			x e	C2 .
y	C1	x e		C1 2	x e	C2 .

Задание 4. Найти общее решение уравнения

уу ( у )2 у 2 у.

РЕШЕНИЕ

Данное дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка, относится к уравнениям вида F ( y, y , y) 0. Порядок

такого уравнения понижается подстановкой у Р , где Р Р( у). Тогда

у	dP	dy	P	dP	.
у			P		.
	dу	dx		dy

Подставляя вместо y и yих выражения в исходное уравнение, получим

уР	dP		P 2	у 2 Р
	dу

или
у		dP	P	у2
		dу
				.

Получили линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно искомой функции Р( у).

Решаем подстановкой Р U V , P U V	V U .
y(U V V U ) UV y 2 ,
y U V U (V y V )	y 2 .

Функцию V выберем так, чтобы коэффициент при U был равен нулю.

V 0

или

;

ln V

ln y,

V y.

Подставляя V y в уравнение, получим

2 dU

( y

dy,

U y

C1 .

Тогда

P ( y

C1 ) y

или

y( y C1 ).

Разделив переменные и проинтегрировав, получим

dx,

x C2

y( y C1 )

С1

y C1

(x C2 ) – общий интеграл данного уравнения при Р 0.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.04.2015710.45 Кб18МУ БУ (практические - часть1) 2004.pdf
#
09.04.2015299.84 Кб8МУ БУ (практические- часть 3) 2008.pdf
#
09.04.2015574.29 Кб8МУ БУ (практ-кие- часть 4) 2010.pdf
#
09.04.2015578.76 Кб10МУ БУиА часть 1 практич. 2010.pdf
#
09.04.20154.6 Mб186МУ для дневников.doc
#
15.03.20161.57 Mб8МУ для подготовки к АКР 1 семестр выс. мат..pdf
#
09.04.2015934.73 Кб12МУ для практических занятий 2013.pdf
#
09.04.2015294.74 Кб7МУ к контр. работе.pdf
#
09.04.2015285.19 Кб67МУ Контрольная работа 2012.docx
#
15.03.20161.11 Mб33МУ КР АТПО для ЗФ и СФО к печати 13.11.2009.doc
#
15.03.2016234.79 Кб11Му макросы и VBA.pdf