Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет природообустройства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МУ для подготовки к АКР 1 семестр выс. мат

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2016

Размер:

1.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

lim 3

lim

3x2

4x 2

lim

= (

) = lim

lim

lim 1

3 0

	б) lim		9	x		3	.
	б) lim		x2		x		.
		x 0	x2		x
	Так как lim (							3) = 0 и lim (x2 x) = 0, то имеем неопределенность
	Так как lim (					9 x		3) = 0 и lim (x2 x) = 0, то имеем неопределенность
			x	0				x 0
типа	0	.
типа	0	.
	0
	Преобразуем выражение под знаком предела, домножив числитель и

знаменатель на (				9			х	3) – выражение, сопряженное числителю.

lim

= (

) = lim

( 9 х 3) ( 9 х 3 )

( 9 х )

lim

x 0

х(х 1) ( 9 х 3)

x 0 х(х 1) ( 9 х 3)

= lim

lim

= lim

x 0 х(х 1) ( 9 х 3)

x 0

(х 1) ( 9 х 3)

lim 1

lim (х

lim (

в)

lim

sin 2

cos x

0 1

Так как lim sin 2 x = 0 и lim (1

cos x)

0 , то имеем неопределенность типа

Для

раскрытия

этой

неопределенности

используем

формулу

cosx

2sin

2 x

и первый замечательный предел lim

sin x

= 1.

sin 2 x

lim

sin 2 х

= (

) =

lim

sin 2 x

lim

0 1

cos x

2sin

2 x

sin

2 x

sin x

lim

= 2.

x 0

sin

2 x

г)

lim

Так как

lim

= 1,

lim (2x

1) = ∞, то имеем неопределенность типа

1 . Используем второй замечательный предел:

lim 1

= е.

x 2 2 x 1

x 2

2 x 1

x 2 x 3 2 x 1

lim

= lim

= lim 1

x 3

2 x 1

( x 3)

= lim

= е– 2 =

д) lim

tg3x

x 0 e2 x

Вычислим	предел		lim		tg3x		,

			x 0 e2 x			1
малые функции при x		x0 .
Если при х	х0	(x)		*(x) ,		в(x)

lim	(x)	lim	* (x)
lim	(x)	lim	(x)
x x0	(x)	x x0	(x)
Поэтому

используя		эквивалентные бесконечно
* (x) , тогда
lim	(x)	lim	* (x)	.
	* (x)		* (x)
x x0		x x0

lim

tg3x

tg3x 3x, (e2 x 1)

2х, при х

= lim

x 0 e2 x 1

x 0

2x 2

Задание 2.

Исследовать функцию

у f (x)

на непрерывность: найти

точки разрыва и определить их тип. Изобразить схематический график функции.

		x,	x	0,
	f (x) = x2 , 0 x 2,
		2,	x	2
РЕШЕНИЕ
x,	x	0,		y1	x,	x	0,
f (x) = x2 , 0 x 2,				y2	x2 , 0 x 2,
2,	x	2.		y3	2,	x	2.
		22

На каждом из промежутков (– ; 0); (0; 2); (2; + ) функция определена и является элементарной и, следовательно, непрерывна. Непрерывность функции может нарушаться лишь в точках, где меняется ее аналитическое задание, т.е. в точках х = 0 и х = 2. Исследуем функцию на непрерывность в этих точках. Найдем односторонние пределы функции в точках х = 0 и х = 2.

Если х = 0, то имеем:

			lim	f (x)	lim	( х)	0 ;
		x 0		x	0
			lim	f (x)	lim	х2	0;
			x	0	x	0
				f (0 ) = 0.
Так как, f (0) = lim	f (x)	= lim	f (x) , то функция непрерывна в т. х = 0.
x	0	x	0

Если х = 2, то имеем:

	lim		f (x) =	lim	x 2 = 4;
x	2	0	x	2 0
	lim		f (x) =	lim	2 = 2;
x	2	0	x 2		0
			f (2) = 4.

Так как в точке х = 2 односторонние пределы функции не равны между собой, то эта точка является точкой разрыва функции. А так как эти пределы являются конечными числами, то это точка разрыва первого рода.

Сделаем чертеж.

y3 2

y1 x

												х
-2	-1				1		2		3			х

-1

Рисунок 1 – График функции f (x)

Тема 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1 Знать и применять формулы для нахождения производной суммы, разности, произведения, частного двух функций.

2Находить производную сложной функции.

3Находить дифференциал функции у = f(х) в заданной точке.

4Находить пределы, используя правило Лопиталя.

5Уметь находить точки экстремума.

6Определять интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз графика функции.

7Определять точки перегиба графика функции.

8Находить вертикальные и наклонные асимптоты графика функции.

9Строить графики функций с использованием производной.

Задачи для самостоятельного решения

1 Найти производную функции:

y	x3	3		4.
	3		x3

2 Найти производную функции:

y sin(5x 4). 3 Найти производную функции:

	5x7	3
y			x2	1.
	cos(6x	3)

4 Найти производную третьего порядка функции: y 12 x2 .

5 Найти производную третьего порядка функции: y sin(5x 4).

6 Найти производную функции:

y (arctg 1 x )2 .

7 Найти дифференциал функции:

f (x)

2x2 sin( 2x 11).

8 Найти дифференциал второго порядка d 2 y ,если x – независимая переменная для функции:

y	1	e 7 x .
	7

9 Используя правило Лопиталя, вычислить предел:

lim	tg 4x	.
lim		.
x	tg8x
x
2

10 Используя правило Лопиталя, вычислить предел:

lim tg

3).

11 Исследовать функцию на возрастание и убывание:

f (x) 3x3

12 Найти экстремум функции:

3 x2

13 Исследовать на выпуклость и точки перегиба график функции:

3x6

6x 1.

Образцы решений

Задание 1. Найти производные у′ =

данных функций.

а) у 57 x

tg(1

3x) .

Производную данной функции найдем по формуле

у′ = (u∙v)′ = u′v + uv′,

где u = u(х) и v = v(х) – дифференцируемые функции.

Тогда

у′ = (57 x

tg(1

3x))

= (57 x ) tg(1

3x) + 57 x (tg(1

3x))

= 57х∙ln5∙(7x)′∙tg(1 – 3x) + 57х∙

∙(1 – 3x)′ =

cos2 (1

3x)

= 7∙57х∙ln5∙tg(1 – 3x) – 3∙57х∙

= 57х(7ln5∙tg(1 – 3x) – 3∙

cos2 (1

3x)

cos2 (1 3x)

б) y

3x x2

5 .

sin 4x

Производную данной функции найдем, используя формулу

у′ =

u v

где u = u(х) и v = v(х) – дифференцируемые функции.

Тогда

у′ =

(

sin 4x

x2 ) sin 4x

x2 )(sin 4x)

sin 2 4x

(

3 2x)sin 4x

x2 )cos4x(4x)

sin 2 4x

=	(2x 3)sin 4x 4(1 3x	x2 )cos4x	.
	sin 2 4x

в) у = (arctg2x + 3е2x – 5x)4.

Данная функция является сложной и ее можно записать в виде у = и4, где и = arctg2x + 3е2x – 5x. Производную сложной функции найдем по правилу

ух′ = уи′их′.

Тогда

у′ = ((arctg2x + 3е2x – 5x)4)′ = 4(arctg2x + 3е2x – 5x)3(arctg2x + 3е2x – 5x)′ =

= 4(arctg2x + 3е2x – 5x)3(

+ 6е2х – 5).

4х2

Задание 2. Используя правило Лопиталя, найти пределы:

а) lim

sin 5x

;

б) lim

0 sin 3x

РЕШЕНИЕ

Согласно правилу Лопиталя:

lim

u(x)

= lim

u (x)

v(x)

v (x)

x x0

для неопределенностей вида

Тогда в нашем случае:

а) lim

sin 5x

= lim

(sin 5x)

= lim

5cos5x

x 0 sin 3x

x 0

(sin 3x)

3cos3x

б)

lim

= lim

(x2 )

lim

= lim

(2x)

(ex )

= lim

= 0.

e x

Задание 3. Найти интервалы возрастания и убывания функции у = 3х – х2.

РЕШЕНИЕ

Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции используется следующий алгоритм:

1)Находим область определения функции D(у).

2)Находим производную заданной функции.

3)Приравниваем производную к нулю и находим корни получившегося уравнения.

4)Найденными точками разбиваем область определения функции на интервалы и находим знак производной на каждом из них.

5)Если на интервале знакопостоянства у′ < 0, то функция на этом интервале убывает, и наоборот – если у′ > 0, то функция на этом интервале возрастает.

Следуя алгоритму, получаем:

D(у) = R.

Находим производную функции:

у′ = (3х – х2)′ = 3 – 2х.

В области определения

функции

у′ = 0 при 3 – 2х = 0,

т.е. при х =

Найденная

точка

разбивает

область

определения функции

на

интервалы

(– ∞;

) и (

; + ∞).

1,5

–

В интервале

(– ∞;

)

производная у′ < 0, следовательно,

функция

данном интервале убывает, а в интервале ( 32 ; + ∞) у′ > 0 – функция возрастает.

Тема 4. Функции нескольких переменных

1 Находить значение функции двух переменных в точке.

2Находить частные производные функции двух переменных.

3Уметь находить полный дифференциал функции двух переменных в заданной точке.

4Определять локальные экстремумы функции двух переменных.

Задачи для самостоятельного решения

1 Найти частные производные функции двух переменных: z = x3 + y3 – 5xy – x2y + 2xy2.

2 Найти частные производные второго порядка функции двух переменных:

z = 3y∙сos(7x + 2y).

3 Найти локальные экстремумы функции двух переменных: z = 8x2 – y2 + 2x + 2y.

Образцы решений

Задание 1. Найти локальные экстремумы функции двух переменных z = x 2 y xy 2 3xy (x 0; y 0) .

РЕШЕНИЕ

Так как по условию x < 0, y < 0, то областью определения функции двух переменных является часть плоскости, лежащая внутри третьей четверти, не включая осей координат.

Если дифференцируемая функция z = f(x,y) имеет в точке М0(х0; у0) локальный экстремум, то в этой точке обе ее частные производные первого порядка, если они существуют, равны нулю, т.е. zx (M 0 ) 0, z у (M 0 ) 0 , либо

хотя бы одна из этих частных производных в этой точке не существует.

Точки, принадлежащие области определения, в которых частные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует, называются

критическими.

Находим частные производные данной функции:

		zx′ = 2xy + y2 +3y,
		zy′ = x2 + 2xy +3 x.
Приравнивая их к нулю, получаем систему уравнений:
y(2x	y	3) 0,	Т.к. x<0 и y<0, то	2x y 3	0,
x(x 2 y 3) 0.				x 2 y 3 0.
Полученная система имеет одно решение, которое определяет
критическую точку: М0	1;	1 .
Рассмотрим достаточные			условия существования		локального

экстремума. Пусть существуют частные производные первого и второго

порядков	функции	z = f (x; y)	и М0(х0; у0) – критическая					точка функции
z = f (x; y), то есть zx (M 0 ) 0, z у (M 0 )				0 . Введем следующие обозначения:
A	zxx(M 0 ),	B zxy(M 0 ),	C	z yy(M 0 ),	A	B	AC	B2.

					B	C

Тогда:

1)если > 0, A > 0 (или C > 0), то функция имеет в точке М0 минимум;

2)если > 0, A < 0 (или C < 0), то функция имеет в точке М0 максимум;

3)если < 0, то в точке М0 экстремума нет;

4)если = 0, то экстремум может быть, а может и не быть (требуется дополнительное исследование).

Вычислим частные производные второго порядка функции z = f (x,y):

zxx″ = 2y; zxy″ = 2x + 2y + 3;

zyy″ = 2x,

и для критической точки М0 вычисляем соответствующее значение :

M 0 1; 1 : A 2, B 1, C 2,

тогда

(M0 )	2	1	3 > 0,	A 2 0 ,
	1	2

то в точке М0 имеем точку локального максимума функции, в которой

Zmax (–1; –1) = 1.

Тема 5. Комплексные числа

1 Знать определение комплексного числа и уметь выполнять действия над комплексными числами в алгебраической форме.

2 Указывать комплексное число, сопряженное данному комплексному числу.

3Изображать комплексные числа на плоскости.

4Определять модуль и аргумент комплексного числа.

5Представлять комплексные числа в тригонометрической форме и выполнять действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

6Представлять комплексные числа в показательной форме.

7Возводить в натуральную степень и извлекать корни натуральной степени из комплексных чисел.

Задачи для самостоятельного решения

Дано комплексное число z

2i . Действительная часть комплексного

числа равна …

Дано комплексное число z

2i . Мнимая часть комплексного числа

равна …

Дано комплексное число z

i . Комплексное число z , сопряженное

данному, равно …

Сумма комплексных чисел z1

1 2i

и z2

равна …

Разность комплексных чисел z1

5i и z2

2i равна …

Произведение комплексных чисел z1

2i и z2

равно …

Частное комплексных чисел z1

2i и z2

равно …

Комплексное число z1

изображается точкой с координатами …

либо радиус-вектором …

Дано комплексное число z1

3i . Модуль

числа

равен …,

аргумент этого числа равен …

10 Тригонометрическая форма комплексного числа z

1 i

…

11 Показательная форма комплексного числа z

…

Образцы решений

Задание 1. Дано комплексное число z = – 4 3 – 4∙i.Требуется:

1)изобразить число z в виде радиус-вектора на комплексной плоскости;

2)записать число z в тригонометрической форме;

3)найти все значения 3 z .

РЕШЕНИЕ

1) Комплексным числом называется число z = x + i∙y, где х и у –

действительные числа, а i – мнимая единица, i2 = – 1.

х= Rez называется действительной частью комплексного числа, а у = Imz

–мнимой частью комплексного числа.

Запись числа в виде z = x + i∙y называется алгебраической формой комплексного числа.

Всякое комплексное число z = x + i∙y можно изобразить точкой М(х; у) плоскости Оху такой, что х = Rez, у = Imz. Плоскость, на которой изображается комплексное число, называется комплексной плоскостью, при этом ось абсцисс называют действительной осью, а ось ординат – мнимой осью.

Комплексное число изображают также на комплексной плоскости с помощью радиус-вектора r = OM = (х; у).

В нашем случае z = – 4 3 – 4∙i. Имеем х = Re z = – 4 3 , у = Im z = – 4. Изобразим это число на комплексной плоскости в виде радиус-вектора.

Для этого построим точку M ( 43; 4) и соединим ее с началом координат.

Тогда радиус-вектор OM изображает число z на комплексной плоскости (рисунок 2).

						Рисунок 2
2) Запишем число z				в тригонометрической форме
					z	r(cos i sin	) ,

где r	z	x 2	y 2 –	модуль комплексного			числа,	arg z – аргумент
где r	z	x 2	y 2 –	модуль комплексного			числа,	arg z – аргумент
комплексного числа z .
Аргумент			комплексного		числа z ≠ 0 –		величина	многозначная и
определяется		с	точностью		до	слагаемого	2πk (k = 0,– 1, 1, – 2, 2 …):
						30

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.04.2015710.45 Кб18МУ БУ (практические - часть1) 2004.pdf
#
09.04.2015299.84 Кб8МУ БУ (практические- часть 3) 2008.pdf
#
09.04.2015574.29 Кб9МУ БУ (практ-кие- часть 4) 2010.pdf
#
09.04.2015578.76 Кб10МУ БУиА часть 1 практич. 2010.pdf
#
09.04.20154.6 Mб186МУ для дневников.doc
#
15.03.20161.57 Mб8МУ для подготовки к АКР 1 семестр выс. мат..pdf
#
09.04.2015934.73 Кб13МУ для практических занятий 2013.pdf
#
09.04.2015294.74 Кб7МУ к контр. работе.pdf
#
09.04.2015285.19 Кб67МУ Контрольная работа 2012.docx
#
15.03.20161.11 Mб33МУ КР АТПО для ЗФ и СФО к печати 13.11.2009.doc
#
15.03.2016234.79 Кб11Му макросы и VBA.pdf