Московский государственный университет

ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ

Кафедра ТИ-7 «Теплофизические приборы и аппараты»

Экз.№__

«УТВЕРЖДАЮ»

Заведующий кафедрой ТИ-7

______________ Б.Т.Ерохин

«___»_____________20___г.

Только для студентов по специальностям подготовки 160304

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

НА ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №___

по дисциплине 4747 «САПР энергосистем»

ТЕМА“Формирование математических моделей и программных модулей подсистемы расчета параметров атмосферы”

Обсуждены на заседании кафедры ТИ7 «28» января 2011_г.

Протокол № 5/10

МГУПИ – 2011г.

1. Тема практического занятия №___:

«Формирование математических моделей и программных модулей подсистемы расчета параметров атмосферы»

2. Время: 4 часа (180 мин.).

3. Место проведения: к.259, лаборатория «Математического моделирования», кафедра ТИ-7

4. СОДЕРЖАНИЕ

4.1. Перечень отрабатываемых учебных вопросов и действий :

- 1-й учебный вопрос:

Аппроксимация данных и методы их оценки

- 2-й учебный вопрос:

Способы формирования математической модели методом аппроксимации данных

- 3-й учебный вопрос:

Формирование программных модулей по результатам аппроксимации данных методами трендов.

5.1.Цель и задачи выполняемой работы

Достаточно большой класс энергетических систем предназначен для использования в составе летательных аппаратов и при их проектировании актуальной является задача определения параметров движения ЛА, определения аэродинамических сил и энергетических характеристик двигателей т.д. Движение ЛА выполняется в широком диапазоне изменения высота и скорости полета, что приводит необходимости формирования математических моделей и программных средств для корректного расчета аэродинамических сил. Существенное влияние параметры окружающей среды оказывают и на энергетических характеристик ракетных двигателей и тем более на энергетические характеристик двигателей с использованием забортной среды в качестве компонента топлива.

В данной работе предлагается реализовать достаточно простые методы формирования математических моделей и программных средств подсистемы расчетов параметров окружающей среды для дальнейшего использования в подсистеме расчета параметров движения ЛА в составе САПР ЭС.

5.2.Основные положения

Величина лобового сопротивления может достигать значений сравнимых по величине с тягой двигателя при увеличении скорости полета до 300 500м/с в плотных слоях атмосферы. Лобовое сопротивление рассчитывается по соотношению

,

где коэффициент лобового сопротивления, который зависит от числа Маха (отношение скорости полета к местной скорости звука).

Таким образом, для расчета динамики полета требуются зависимости от высоты следующих параметров:

• давление атмосферного воздуха,

• плотность атмосферного воздуха ,

• температуры атмосферного воздуха,

или хотя бы значение двух любых параметров.

Коэффициент С_xтак же в значительной степени изменяется в зависимости от скорости полета (числа Маха).

Осредненные значения параметров атмосферы при стандартных внешних условиях известны и представлены в табл.1 и табл.2. Табл. 1 содержит численные значения температуры, давления, плотности и вязкости атмосферного воздуха в широком диапазоне изменения высоты и достаточно малой величиной шага по высоте.

Таблица 1. Функции для расчета параметров стандартной атмосферы(Абрамович)

Таблица 2. Функции для расчета параметров стандартной атмосферы

Высота,км,	Изменение плотности, ρ(h)/ρ(0)	Изменение давления , p(h)/p(0)	Изменение температуры , √T(0)/T(h)
0	1	1	1
0,5	0,95	0,94	1,003
1	0,902	0,885	1,01
1,5	0,859	0,83	1,015
2	0,813	0,78	1,021
3	0,731	0,687	1,032
5	0,586	0,527	1,054
6,5	0,494	0,428	1,072
10	0,323	0,258	1,118
15	0,152	0,118	1,133
20	0,0697	0,0543	1,133
25	0,0316	0,0251	1,121
30	0,0145	0,0118	1,109
35	0,00679	0,00563	1,098
40	0,00302	0,00283	1,034
45	0,00147	0,00153	0,979
50	0,000764	0,000878	0,933
55	0,000473	0,000508	0,963
75	0	0	1,122
100	0	0	1,176

Табл. 2 содержит численные данные для температуры, давления, плотности в относительных единицах и в качестве базовых значений параметров выбраны условия у поверхности земли на уровне моря. Таким образом, таблица содержит табулированные значения следующих функций:

функция изменения давления;

функция изменения температуры;

функция изменения плотности.

Используя имеющиеся исходные данные для 20 различных высот следует построить математическую модель изменения каждого параметра от высоты. Допустим, что изменение параметра можно описать в виде полинома 6 степени

,

где - коэффициенты в модели, значения которых необходимо подобрать так, чтобы выполнялись условия совпадения искомой функции с системой исходных точек. По условию задачи количество исходных точекn>6.

В исходных точках значения функции известны и равны. Тогда значения коэффициентов— должны удовлетворять условиямдля

Получим систему из n+1 уравнения относительно 7 неизвестных. Этопереопределенная система, котораяне имеет классического решения, т.к. как в общем случае не существует многомерной плоскости, проходящей через всеn+1 точек. Исключением являются случаи, когда система линейно зависима и количество входящих в нее независимых уравнений не превышает 7.

Однако, можно найти обобщенное решение переопределенной системы алгебраических уравнений, для которых неувязки решений для системы исходных точек будут минимальными. Неувязки решений определяются как квадраты разностей обобщенное решение и исходного значения функции. Для определения обобщенного решения из условия минимума суммы квадратов невязки применяем стандартные процедуры МНК.

Используя имеющиеся исходные данные для 20 различных высот следует построить математическую модель изменения каждого параметра от высоты на основе МНК. С целью упрощения решения поставленной задачи предлагается использовать формирование линий тренда и полученные при этом регрессионные уравнения применять для математических моделей. Наибольшее количество степеней свободы в Excelобеспечивает полином 6 степени, для которого в результате применения МНК получаем не более 7 коэффициентов, т.е. полученная система уравнений по всей совокупности исходных точек является переопределенной.

Для реализации полученной математической модели формируется программный модуль или расчетное выражение, при помощи которых и выполняется текущий расчет по регрессионным моделям. Результаты расчетов сравниваются с исходными данными и выполняется оценку качества построенной модели. Для этого рассчитывается индекс или коэффициент детерминации (аппроксимации) по формуле:

R²= r_xy²(индекс детерминации),

а также средняя ошибка аппроксимации:

Допустимый предел значений средней ошибки аппроксимации определяется типом решаемой задачи, для которой формируются регрессионные зависимости и не превышает долей процента для технических дисциплин и единиц процентов для других областей применения. В этом случае модель оценивается как достаточно точная, в противном случае говорят о плохом качестве построенной модели.

В своих расчетах будем использовать более жесткий критерий оценки качества аппроксимации: максимальная ошибка аппроксимации в диапазоне изменения исходных данных.