Матан_Ряды
.pdf31
1 |
−x2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
x4 |
|
|
x6 |
|
|
|
x8 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
x4 |
|
|
1 |
x6 |
1 |
x8 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x + |
|
|
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
∫1dx − ∫x dx + |
∫ |
|
|
|
dx − ∫ |
dx + ∫ |
|
dx −…= |
|||||||||||||||
∫e dx = ∫ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−… dx = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2! |
|
|
3! |
|
|
4! |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
2! |
|
|
|
0 |
3! |
0 |
4! |
|
||||||||
= x |
|
1 |
− |
x3 |
|
1 |
+ |
x5 |
|
1 |
− |
|
x7 |
|
|
1 |
+ |
|
x9 |
|
1 |
−…=1 − |
1 |
+ |
1 |
|
|
− |
1 |
|
|
+ |
|
1 |
|
−… |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
3 |
|
0 |
|
5 2! |
|
0 |
|
|
7 3! |
|
0 |
|
|
9 4! |
|
0 |
|
|
3 |
5 2! 7 3! 9 4! |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы получили числовой ряд, который равен значению определенного интеграла. Оценим погрешность вычислений. Данный ряд – это ряд Лейбница, следовательно, погрешность вычислений не превосходит по модулю первого отброшенного члена ряда. Поэтому, вычисляя по порядку члены ряда, первым отбросим тот, который окажется по модулю меньше заданной точности:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
> 0,01 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 3! |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
< 0,01. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 4! |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда ∫1 e−x2 dx ≈1 − |
1 |
|
+ |
1 |
|
− |
1 |
|
=1 −0,333 + 0,100 −0, 024=0,743. |
||||
|
5 2! |
7 3! |
|||||||||||
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: ∫1 e−x2 dx ≈0,743. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача №6. |
Вычислить определенный интеграл ∫1 cos x2 dx с точностью 0,001. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
Решение. Вычислить этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница нельзя, поскольку первообразная функции f (x) = cos x2 не выражается в элементарных функциях.
Используем для решения задачи степенной ряд. Запишем разложение в ряд Маклорена функции f (x) = cos x :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x = |
1− |
x2 |
|
+ |
|
x4 |
|
− |
|
x6 |
+ |
x8 |
|
−… . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
4! |
|
6! |
8! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Сделаем в этой формуле заменуx → x2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
2 |
=1 |
− |
(x2 )2 |
+ |
(x |
2 )4 |
− |
|
(x2 )6 |
|
+ |
(x2 )8 |
−…=1− |
|
x4 |
+ |
|
x8 |
− |
|
x12 |
|
+ |
x16 |
+… |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
4! |
|
|
|
6! |
|
8! |
|
|
|
2! |
|
4! |
6! |
|
8! |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Данный ряд можно почленно проинтегрировать по отрезку [0,1]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
x |
8 |
|
|
|
x |
12 |
|
|
|
|
x |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
8 |
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
12 |
|
|
1 |
x |
16 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∫cos x |
|
dx = ∫ 1 |
− |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
+ |
… dx |
|
= ∫1dx −∫ |
|
|
|
|
|
dx +∫ |
|
|
|
dx − ∫ |
|
|
|
dx +∫ |
|
|
dx +…= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2! |
|
|
4! |
|
6! |
|
8! |
|
|
2! |
|
|
4! |
6! |
|
8! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
= x |
|
1 |
− |
x5 |
|
1 |
+ |
|
|
x9 |
|
1 |
− |
|
|
x12 |
|
|
1 |
|
+ |
|
|
x17 |
|
|
1 |
|
−…=1 − |
|
1 |
|
|
+ |
|
|
|
1 |
|
|
− |
|
|
|
1 |
|
|
+ |
|
|
1 |
|
|
−… . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
5 2! |
|
0 |
9 |
4! |
0 |
12 |
6! |
0 |
|
17 8! |
0 |
|
5 2! |
9 |
|
|
4! |
12 |
6! |
17 |
8! |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, вычисляемый определенный интеграл равен сумме знакочередующегося числового ряда, который удовлетворяет условиям признака Лейбница, следовательно, погрешность вычислений не превосходит модуля первого из отброшенных членов ряда.
1 |
|
> 0,001 , |
|
1 |
|
< 0,001. |
|
9 4! |
12 |
6! |
|||||
|
|
Поэтому для достижения заданной точности необходимо оставить первые 3 слагаемые.
32
∫1 cos x2 dx ≈1− |
|
1 |
+ |
1 |
=1−0,1000 +0,0046 = 0,905 . |
|||
10 |
216 |
|||||||
0 |
|
|
|
|
||||
Ответ: ∫1 cos x2 dx ≈ 0,905 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача №7. . Вычислить определенный интеграл ∫1 |
x −sin x |
dx с точностью 0,001. |
||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
x |
Решение. Распишем ряд Маклорена для функции f (x) =sin x .
sin x = x − x3 + x5 − x7 + x9 −… . 3! 5! 7! 9!
Тогда
|
x |
3 |
|
x |
5 |
|
x |
7 |
|
x |
9 |
|
|
x |
3 |
|
x |
5 |
|
x |
7 |
|
x |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x −sin x = x − x − |
|
|
+ |
|
|
− |
|
|
+ |
|
|
−… |
= |
|
|
− |
|
|
+ |
|
|
− |
|
|
+… . |
|
3! |
5! |
7! |
9! |
3! |
5! |
7! |
9! |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поделим левую и правую часть формулы на x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −sin x |
|
= |
|
x |
2 |
|
− |
|
x |
4 |
+ |
x6 |
|
− |
x8 |
+… . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
3! |
|
5! |
7! |
|
9! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Полученный степенной ряд можно почленно проинтегрировать по отрезку [0,1]. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
x −sin x |
|
x |
3 |
|
|
|
x |
5 |
|
|
|
x |
7 |
|
|
|
|
|
x |
9 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
dx = |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
… |
|
= |
|
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
+… . |
|||||||||
x |
|
|
|
|
|
5 5! |
7 7! |
|
9 |
|
9! |
3 |
3! |
5 |
5! |
7 |
7! |
9 9! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
3 3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Получившийся числовой ряд сходится по признаку Лейбница, поэтому отбрасываем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
первым слагаемое, которое меньше объявленной точности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
> 0,001 , |
|
|
|
1 |
|
|
< 0,001 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 5! |
7 |
7! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
∫1 |
|
x −sin x |
≈ |
|
1 |
|
|
− |
|
1 |
|
|
= 0,0555 −0,0017 = 0,054 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
3 |
3! |
|
|
5 5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: ∫1 |
x −sin x |
≈ 0,054 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим еще одно приложение степенных рядов, к приближенному решению дифференциальных уравнений. Решение дифференциального уравнения не всегда можно выразить в элементарных функциях. Интегралы многих дифференциальных уравнений могут быть представлены в виде степенного ряда, сходящегося в некотором интервале значений независимой переменной. В таком случае ряд, являющийся решением дифференциального уравнения можно найти с помощью рядов Тейлора.
Пусть необходимо найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями, т.е. решить задачу Коши.
Проиллюстрируем решение на примере.
Задача №8. Найти первые пять членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения y′′ = 2xy , удовлетворяющего начальным условиям
y(0) =1, y′(0) =1.
Решение. Будем искать частное решение дифференциального уравнения в виде ряда
y(x) = y(0) + |
y′(0) |
x + |
y′′(0) |
x2 |
+ |
y′′′(0) |
x3 |
+…+ |
y(n)(0) |
xn +… . |
1! |
2! |
3! |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
n! |
33
Мы выбрали разложение в ряд Маклорена, поскольку в условии задачи нам даны значения искомой функции и ее первой производной в точке x0 = 0 . Для того, чтобы
найти приближенное значение функции y(x) , нам необходимо знать значения ее второй, третьей и четвертой производных в точке x0 = 0 . Значения самой функции и первой
производной в нуле даны по условию.
Значение второй производной при x0 = 0 найдем из дифференциального уравнения,
подставив начальные условия:
y′′(0) = 2 0 1 = 0 .
Для нахождения третьей производной продифференцируем данное дифференциальное уравнение:
(y′′)′ = (2xy)′.
При этом необходимо учесть, что y -- это функция, а x -- независимая переменная:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
′′′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
′ |
), |
|
|
y |
′′′ |
= 2(y + xy |
′ |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2(x y + xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Теперь можно вычислить значение третьей производной в точке x0 = 0 : |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) = 2(1+0 1) = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Аналогично вычислим значение четвертой производной: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(y′′′)′ = (2(y + xy′))′, или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
y |
′′′′ |
= 2(y |
′ |
|
|
|
|
′ ′ |
+ xy |
′′ |
), y |
′′′′ |
= 2(y |
′ |
+ y |
′ |
+ xy |
′′ |
), y |
′′′′ |
= 2(2 y |
′ |
+ xy |
′′ |
). |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Подставив в найденное равенство значения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
′′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x0 = 0, y(0) =1, y (0) |
|
=1, y |
|
(0) = 0, y (0) = 2 получим: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
′′′′ |
|
= 2(2 1+0 0)= 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Осталось подставить вычисленные в заданной точке значения производных в ряд |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Маклорена: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
y(x) =1 + |
|
|
x |
+ |
|
x2 + |
|
|
x3 |
+ |
x4 |
=1 |
+ x + |
|
x |
3 + |
x4 |
+…. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Ответ: y(x) =1 + x + |
1 |
x3 + |
|
|
1 |
x4 |
|
|
+…. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача №9. Найти первые четыре члена разложения в степенной ряд решения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференциального уравнения |
|
y′′ |
+ |
y′ |
+ y |
= 0 |
|
, удовлетворяющего начальным условиям |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y(1) = 0, y |
(1) =1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. |
Начальные условия заданы в точке a =1 , поэтому решение будем искать в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
виде ряда Тейлора: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(n)(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y(x) = y(1) + |
y′(1) |
(x −1) + |
|
y′′(1) |
(x −1)2 |
+ |
y′′′(1) |
|
(x −1)3 |
+…+ |
|
|
(x −1)n +…. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Значения самой функции и ее первой производной даны в условии задачи. Вторую |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
производную в точке a =1 найдем из дифференциального уравнения: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
′′ |
= − |
|
|
|
− y, |
|
|
|
|
y |
′′ |
|
|
|
|
y (1) |
|
|
− y(1), |
|
′′ |
|
|
= −1 −0 = −1. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) = − |
|
|
|
|
y |
(1) |
|
|
|
Вычислим третью производную, продифференцировав дифференциальное уравнение:
′ |
|
|
y′ |
′ |
||
(y′′) |
= |
− |
|
− y |
или |
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
′′ |
− y |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
′′′ |
= − |
x |
|
|
− y |
′ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Тогда значение третьей производной равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
′′ |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
1 −1 |
|
|
||||
|
|
|
′′′ |
|
|
|
|
(1) 1 − y |
(1) |
|
|
|
′ |
|
|
y |
′′′ |
|
= − |
−1 = −1 . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
y (1) = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
− y (1), |
|
|
(1) |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Осталось записать искомый ряд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
1 |
3 |
||||||
y(x) = |
0 + |
|
(x −1) − |
|
|
(x −1) |
|
− |
|
|
|
(x −1) |
|
+…= |
(x −1)− |
|
|
(x −1) |
|
− |
|
(x −1) +… |
||||||||||||||||
1! |
2! |
|
3! |
|
2 |
|
6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: |
y(x) = (x −1)− |
1 |
(x −1)2 |
− |
1 |
(x −1)3 +… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§7. Ряды Фурье.
Мы рассмотрели ряды Тейлора, в которых функция разлагалась в ряд по системе многочленов
{un (x) = xn }, n = 0,1,2,… .
Существуют другие способы разложения функции в ряд. Например, можно разложить функцию в ряд по системе тригонометрических функций. Такое представление широко применяется для описания различных периодических процессов или функций, заданных на отрезке, которые можно доопределить на всю числовую прямую как периодические.
Рассмотрим функцию |
f (x) , периодическую с периодом T = 2l . |
|
|||||||||||||
Определение. Ряд вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
a |
0 |
∞ |
|
|
|
πk |
|
|
πk |
|
|
|
|
|
|
|
+∑ ak cos |
l |
x +bk sin |
l |
x , где |
|
||||||
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a0 = 1 |
∫l |
f (x)dx, |
ak = |
1 |
∫l |
f (x) cos |
πk xdx, |
bk = ∫l ` |
f (x)sin |
πk xdx |
|||||
l |
−l |
|
|
|
|
l |
−l |
|
|
|
l |
|
−l |
|
l |
называется рядом Фурье для заданной функции f (x) .
Для того, чтобы функцию можно было разложить в ряд Фурье она должна быть кусочно непрерывной, кусочно монотонной и ограниченной (т.н. условия Дирихле), то есть требуются гораздо более простые условия, чем для разложения в ряд Тейлора.
Если функция |
f (x) имеет период |
T = 2π , то получаем в качестве частного случая |
||||||||||
следующее разложение в ряд Фурье: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
a0 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
|
+∑(ak cos kx +bk sin kx), |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
k =1 |
|
|
|
|
||||
a0 |
= |
1 |
π∫ f (x)dx, ak = |
1 |
π∫ f (x) cos kxdx, |
bk = |
1 |
π∫` f (x)sin kxdx . |
||||
π |
π |
π |
||||||||||
|
|
|
−π |
|
|
−π |
|
|
−π |
|
||
Рассмотрим примеры. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2, |
−π < x < 0 |
. |
||
Задача №1. Разложить в ряд Фурье функцию y = |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1, 0 < x <π |
|
Решение. Данную функцию продолжим на всю числовую прямую как периодическую с периодом T = 2π , тогда ряд Фурье для нее будет иметь вид:
35
f (x) = a0 +∑∞ (ak cos kx +bk sin kx). 2 k =1
Необходимо найти коэффициенты разложения a0 , ak ,bk . Функция задана на интервале [−π,π] разными формулами, поэтому при вычислении разобьем интеграл на два:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 = π |
∫ f (x)dx = π |
|
|
|
|
∫ |
2dx + ∫(−1)dx |
= |
|
π (2 (0 +π)−1 (π −0))=1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|||||||||||||||||||
ak = |
|
|
|
|
|
|
∫ f (x)cos kxdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
sin kx |
|
−π |
|
− |
|
|
sin kx |
|
0 = 0 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
π |
|
|
π |
|
∫2cos kxdx + ∫(−1)cos kxdx |
|
|
π |
|
k |
|
|
k |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Напомним, что sin 0 = sin kπ = sin(−kπ) = 0, при k Z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
π |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
bk = |
|
|
|
|
|
|
∫ f (x)sin kxdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos kx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
coskx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
π |
|
= |
π |
|
∫2sin kxdx + ∫(−1)sin kxdx = |
|
π |
|
|
|
− |
k |
|
−π |
|
− |
− |
k |
0 |
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
|
|
|
− |
|
|
(1−cos(−kπ)) |
+ |
|
|
(cos kπ |
|
−1) |
= |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
(1−(−1) |
|
)+ |
|
|
|
|
((−1) |
−1) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
π |
|
k |
|
k |
|
π |
k |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
((−1) −1)+ |
|
|
|
|
((−1) |
− |
1) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
((−1) |
−1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
k |
|
π |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
При вычислениях использовали, что |
|
cos 0 = cos kπ = cos(− kπ)= (−1)k , k Z . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, ряд Фурье для заданной функции имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∞ |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x) = |
|
|
|
|
+ |
∑ |
|
|
|
|
|
((−1) |
−1)sin kx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
πk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: |
|
y(x) = |
|
|
|
|
+∑ |
|
|
|
|
((− |
1) |
−1)sin kx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
πk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Задача №2. Разложить в ряд Фурье функцию y = |
x, −3 < x < 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0, 0 < x <3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Решение. Период функции равен T = 6, l =3 , следовательно, используем ряд вида |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
0 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
= |
|
|
|
|
|
|
+∑ ak cos |
|
l |
x |
+bk sin |
|
l |
|
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычислим коэффициенты ряда: |
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a0 |
= |
|
|
|
|
∫ |
f |
(x)dx = |
|
|
|
|
∫ f (x)dx = |
|
|
∫xdx + ∫0dx |
= |
|
|
|
|
∫xdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
= |
|
0 |
− |
|
|
|
|
= − |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
l |
|
3 |
|
|
3 |
3 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Функция, как и в предыдущем примере, задана разными формулами, поэтому отрезок |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интегрирования разбиваем на части. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 l |
|
|
|
|
|
|
|
|
kπ |
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kπ |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
kπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
kπ |
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
|
|
kπ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ak |
= |
|
l |
|
∫ |
f (x) cos |
|
l |
|
|
|
xdx = |
|
|
∫ f (x) cos |
|
3 |
|
xdx |
= |
3 |
|
∫x cos |
3 |
|
|
|
|
xdx + ∫0 cos |
3 |
|
|
xdx |
= |
3 |
∫x cos |
3 |
|
xdx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Интеграл вычисляется по частям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u = x, dv = cos |
kπ |
xdx, du = dx, v = ∫cos |
kπ |
xdx = |
|
|
|
3 |
|
sin |
kπ |
x , тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
kπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36
|
|
|
1 l |
|
|
|
kπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
kπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
kπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
|
|
|
|
kπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
bk |
= |
|
|
∫ f (x) sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx = |
|
|
|
∫x sin |
|
|
|
|
|
xdx |
+ ∫0 sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
∫x sin |
|
|
|
xdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
l |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
xdx |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
kπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
kπ |
|
0 |
|
|
0 3 |
|
|
|
kπ |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
u = x, dv = sin |
|
3 |
xdx, du = dx, v = − kπ cos |
|
|
3 |
|
|
x |
|
|
= |
3 |
|
|
− x kπ cos 3 |
x |
|
−3 + ∫kπ cos |
3 |
|
xdx |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
kπ |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kπ |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0 +3cos(− kπ))+ 0 = − |
|
(−1)k = |
|
|
(−1)k +1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
− |
x cos |
|
x |
|
|
−3 |
|
+ |
|
|
|
|
|
sin |
|
x |
|
|
−3 = − |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
kπ |
kπ |
|
|
|
|
|
kπ |
|
kπ |
kπ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
kπ |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Осталось подставить найденные коэффициенты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
∞ |
3 |
|
|
|
(1−(− |
k |
)cos |
πk |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k +1 |
|
|
|
|
|
|
πk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: |
f (x) = |
|
|
+∑ |
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ |
|
|
|
|
|
(− |
1) |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
2 |
π |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
kπ |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Вычисление коэффициентов ряда Фурье значительно упрощается, если известно, что |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
данная функция является четной или нечетной на отрезке(−l, l ) |
. В случае четности |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции, в разложении остаются лишь четные слагаемые, содержащие |
|
cos kx , а все |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
коэффициенты |
|
bk |
|
|
при sin kx равны нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если |
f (x) -- четная, то ряд Фурье имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
kπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
|
+ |
|
|
∑ak cos |
x , где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
= 2 l |
f (x)dx, |
|
|
|
ak = |
2 l |
f (x) cos |
kπ |
xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l ∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Если |
f (x) -- нечетная, то наоборот, ряд состоит из нечетных функций sin kx , а все |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
коэффициенты a0 |
|
|
и |
ak |
равны нулю: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
kπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = ∑bk sin |
x , где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
= 2 l |
|
|
f (x)sin |
kπ |
|
xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
l |
|
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Рассмотрим теперь задачу о разложении в ряд Фурье непериодической функции, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
заданной на отрезке |
[0,l]. В этом случае можно продлить функцию на всю числовую |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
прямую как четную или как нечетную и воспользоваться формулами разложения в ряд |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
четной или нечетной функции. Тогда периодом функции назначается отрезок |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[−l,l], |
T = 2l . И разложение называется соответственно разложением в ряд Фурье по |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
синусам или косинусам. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Задача №3. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию y(x) =3x на отрезке [0,2]. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Подчеркнем, что при такой подстановке задачи функция считается заданной на |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
полупериоде, т.е. l = 2, T = 2l = 4 . Ряд по косинусам имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x) = |
|
+∑ak cos |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычислим коэффициенты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
= |
2 |
∫l |
f (x)dx |
= |
2 |
∫2 |
3xdx =3∫2 |
xdx |
=3 |
x2 |
|
0 =3 |
4 −0 = 6 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak = |
2 |
∫l |
f (x) cos |
kπ |
xdx = |
2 |
∫2 |
3xcos kπ xdx = |
3∫2 |
x cos |
kπ |
xdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
kπ |
xdx, du = dx, v = |
2 |
|
sin |
kπ |
x |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u = x, dv = cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
kπ |
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
kπ |
|
|
|
|
|
2 |
|
kπ |
|
|
|
|
2 |
|
2 2 |
|
kπ |
|
|
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
=3 x kπ sin |
2 |
x |
|
|
0 |
|
−∫kπ sin |
|
2 |
|
|
xdx |
=3 kπ x sin |
|
2 |
|
x |
|
0 |
+ kπ |
kπ cos |
2 |
x |
|
0 |
|
= |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
=3 0 |
+ |
|
|
|
(cos kπ −1) |
= |
|
|
|
|
|
((−1) |
−1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
k |
2 2 |
k |
2 |
π |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Осталось записать ответ. |
((−1)k |
−1)cos |
kπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Ответ: y(x) =3 +∑∞ |
|
12 |
|
|
|
|
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
k =1 k π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично решается задача о разложении функции в ряд Фурье по синусам, при этом l - - это по-прежнему длина отрезка, на котором задана функция:
|
∞ |
|
kπ |
|
|
||
f (x) = ∑bk sin |
x , где |
||||||
|
|
||||||
|
k =1 |
|
l |
||||
b |
= 2 l |
f (x)sin |
kπ |
xdx . |
|||
|
|||||||
k |
l ∫0 |
|
|
l |
|||
|
|
|
68
Литература
1.Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Высшая математика т.2. Дифференциальное и интегральное исчисление. Дрофа. М. 2003. 510 с.
2.В.А. Ильин, А.В. Куркина. Высшая математика. Издательство МГУ. М. 2004. 594 с.
3.Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисление.Т.1. М.
Наука. 2003.
4.Демидович Б.П. Задачи и упражнения по математическому анализу. М.
Астрель.2001.496 с.
5.И.П. Натансон. Краткий курс высшей математики. Изд. «Лань» М.2005.736с.