Матан_Ряды

21

Следовательно, если вместо точного значения суммы мы возьмем первые пять (или более) слагаемых, то погрешность вычислений не превысит 0,01.

Ответ: n ≥ 5 .

увеличивает погрешность вычислений. Кроме того, нам придется перейти (используя признак сравнения) к большему, более простому сходящемуся ряду:

интегрального признака сходимости, то для оценки погрешности вычисления суммы используем соответствующую формулу:

∞∞ 1

δ= rn ≤ n∫+1 f (x)dx = n∫+1 x3 dx .

Вычислим несобственный интеграл:

Ответ: δ ≤10−6 .

Задача №3. Оценить ошибку, получаемую при замене суммы ряда ∑∞ sin n суммой

n=1 3n

первых 10 слагаемых.

Решение. Подчеркнем еще раз, что задача о приближенном вычислении суммы имеет смысл только для сходящегося ряда, поэтому, прежде всего отметим, что данный ряд сходится. Поскольку исследуемый ряд является знакопеременным со сложным правилом изменения знака, то оценивать придется, как и в предыдущем примере, ряд из модулей данного ряда:

Используя тот факт, что sin x ≤1 при любом значении аргумента, имеем:

23

∞

∑un (x) =u1 (x) +u2 (x) +…+un (x) +…

n=1

называется функциональным рядом.

Дадим определение степенного ряда, который является важным частным случаем функционального.

Определение. Функциональный ряд вида

∞

∑сn xn = с0 + c1 x +c2 x2 +…+ cn xn +… ,

n=0

где ck -- числа, не зависящие от x , называется степенным рядом.

Ряд вида

∞

∑сn (x − a)n = с0 +c1 (x − a) +c2 (x − a)2 +…+cn (x − a)n +…

n=0

также является степенным и называется рядом по степеням (x −a) , здесь a -- число.

При любом фиксированном значении x степенной ряд превращается в числовой, который либо сходится, либо расходится.

Определение. Множество всех значений переменной x , при которых степенной ряд сходится, называется его областью сходимости.

∞

Всякий степенной ряд ∑сn xn сходится при x = 0 , соответственно ряд

n=0

∞

∑сn (x − a)n сходится при x = a .

n=0

Область сходимости степенного ряда – это числовой интервал x < R ,

∞

симметричный относительно нуля для ряда ∑сn xn

n=1

и числовой интервал

x −a < R ,

∞

симметричный относительно точки a для ряда ∑сn (x −a)n .

n=1

При этом число R называется радиусом сходимости степенного ряда. Число R может принимать любые неотрицательные значения. В частности, если R = 0 , то ряд сходится в одной точке x = 0 , если R = ∞ степенной ряд сходится на всей числовой прямой.

Для нахождения области сходимости степенного ряда обычно используют признак Даламбера. Кроме того, существует формула (Коши-Адамара) для нахождения радиуса сходимости степенного ряда:

R = lim cn .

n→∞ cn+1

При x < −R и при x > R ряд расходится, а поведение ряда при x = ±R подлежит отдельному исследованию.

Таким образом, R =3 .

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.

Пусть x =3 . Подставим это значение в формулу для исходного ряда. Получим положительный ряд

Получили положительный обобщенный гармонический ряд, который расходится,

Дальнейшее исследование на сходимость проведем, используя признак Лейбница.

Поскольку все условия признака Лейбница выполняются и ряд не сходится абсолютно, то ряд сходится условно. Таким образом, при x = −3 степенной ряд сходится.

Теперь можно записать ответ. Ответ: x [−3,3).

Степенной ряд вида

∞

∑сn (x −a)n n=1

имеет интервал сходимости, симметричный относительно точки x = a , интервал сходимости имеет вид

a −R < x < a + R ,

поведение ряда при x = a − R и x = a + R подлежит, как и в предыдущем случае, дополнительному исследованию.

Решение. Для нахождения интервала сходимости используем, как и прежде, признак Даламбера:

Степенной ряд сходится, если

x +5 4 <1,

отсюда имеем:

x + 4 < 5 ,

следовательно, радиус сходимости степенного ряда R =5 .

−5 < x + 4 < 5, −9 < x <1,

интервал сходимости симметричен относительно точки x = −4 .

Теперь необходимо выяснить, как ведет себя степенной ряд на концах интервала сходимости.

Пусть x =1. После подстановки этого значения в степенной ряд получим:

Это сходящийся обобщенный гармонический ряд и значит число x =1принадлежит интервалу сходимости.

Пусть x = −9 . Подставим это значение в исходный ряд вместо x :

Получили знакочередующийся числовой ряд, который будем исследовать на абсолютную сходимость, т.е. будем исследовать ряд

Этот положительный ряд сходится как обобщенный гармонический при p =3 >1. Отсюда следует, что знакопеременный ряд

∑∞ (−1)n

n=1 n3

сходится абсолютно и значение x = −9 принадлежит интервалу сходимости. Ответ: x [−9,1].