metod_kki

21

участка дана его поверхностная плотность dm = ρ(x, y, z). Тогда значение массы d S

участка S(x, y, z) даётся значением поверхностного интеграла первого рода общего вида, где подинтегральноя функция есть поверхностная плотность поверхности:

Здесь (i, j, k )тройка единичных декартовых векторов (ортов), направленных вдоль

осей декартовой системы координат.

Разлагая определитель в интеграле по верхней строке и, беря модуль полученного вектора, получаем формулу для поверхностного интеграла первого рода в скалярном виде:

Заметим, что с помощью подобного рода интегралов удобно получать также центры тяжести и моменты инерции поверхностей в пространстве.

Задача. Найти поверхность тела вращения плоской кривой, заданной в плоскости XOZ уравнением z = f (x) и получаемого вращением этой кривой вокруг оси OZ .

Элемент поверхности этого тела вращения примет вид:

Раскрывая определители, получаем:

dS =(f ' (r))2 r2 (cos2 (ϕ)+sin2 (ϕ))+r2 (cos2 (ϕ)+sin2 (ϕ))dr dϕ =(fr' )2 +1 r dr dϕ

.

Итак, искомая площадь поверхности даётся формулой:

Задача. Найти площадь поверхности полусферы радиуса R .

Решение. Воспользуемся решением предыдущей задачи. В данном случае имеем вращение четверти окружности радиуса R , уравнение которой имеет вид:

21

22

Отсюда получаем известную формулу для вычисления площади сферы:

Sсферы = 4πR2 .

§ 9 Поверхностные интегралы второго рода и их физический смысл.

Определение. Поверхностные интегралы второго рода (в трёхмерном евклидовом

пространстве) суть интегралы от внешних дифференциальных форм второго порядка ω2 по участку поверхности S2 (x, y, z):

∫∫ω2 (x, y, z,dx,dy,dz).

S2 (x, y,z )

дифференциальной формы), есть объём параллелепипеда, натянутый на тройку

векторов: v, ∂r du, ∂r dv , то есть:

∂u ∂v

22

23

Напомним, что внешнее произведение двух дифференциальных форм на паре дифференциалов (du,dv) принимает значение определителя, например:

дифференциальная форма ω2 есть не что иное, как разложение определителя третьего порядка по верхней строке.

§10 Теорема Пуанкаре и её использование при вычислении поверхностных интегралов второго рода.

Этот замечательный результат А. Пуанкаре будем использовать, прежде всего, как мнемоническое правило для формулировок целого ряда теорем, поэтому формулируем теорему Пуанкаре в её наиболее абстрактном виде.

Итак, теорема Лейбница – Ньютона – Грина – Стокса – Остроградского – Гаусса-

1.Объём Vn+1 есть n +1 - мерная ограниченная область в пространстве той же размерности. Ограниченность следует понимать как ограниченность расстояния между любыми двумя точками, расположенными внутри области, то есть эти расстояния не могут превышать некоторого заданного числа.

2.Далее, D(Vn+1 ) есть топологическая граница этой области – поверхность размерности n . Граница понимается с том смысле, что любой n +1-мерный шар с центром в точке границы содержит внутри себя как точки, принадлежащие области, так и точки, не принадлежащие к ней. В то же время для внутренних и внешних точек области существуют шары, содержащие только внутренние или только внешние точки области.

3.В левой части равенства имеем n - кратный интеграл. Кружок на символе

двойного интеграла означает, что у самой границы отсутствует граница. Иначе говоря, D(D(Sn+1 ))= 0 известный топологический факт.

4.Дифференциальный оператор D имеет вид:

23

24

5.Внешнее произведение D ωn обладает свойствами произведения Грассмана, а именно: линейностью и антикоммутативностью.

Более подробно смысл теоремы будет ясен из дальнейшего изложения материала. Рассмотрим теперь частные случаи теоремы Пуанкаре.

1.Теорема (формула) Грина.

Здесь n =1, m = 2 , Vn+1 = S2 , D = ∂∂x dx + ∂∂y dy ,

ωn =ω1 = Pdx +Qdy = P(x, y)dx +Q(x, y)dy .

Имеем: D(∫S2()Pdx +Qdy)= (∫∫S2 ) ∂∂x dx + ∂∂y dy (Pdx +Qdy)=

2.Теорема (формула) Стокса.

24

25

3.Теорема (формула) Гаусса – Остроградского.

Здесь n = 2 , m = 3 , Vn+1 =V3 , D = ∂∂x dx + ∂∂y dy + ∂∂z dz ,

ω2 = P(dy dz)+Q(dz dx)+ R(dxdy).

Имеем:

= ∫∫∫V3 ∂∂x dx + ∂∂y dy + ∂∂z dz (P(dy dz)+Q(dz dx)+ R(dx dy)).

Проделывая выкладки, аналогичные предыдущим, получаем формулу Гаусса

– Остроградского:

В векторных обозначениях эта теорема принимает вид:

Нижеследующие рассуждения показывают метод доказательства этой теоремы в частном случае одного слагаемого дифференциальной формы

второго порядка. Рассмотрим выражение ∫∫∫D ω2 , где

V3

ω2 = f (x, y, z)(dy dz). Тогда подинтегральное выражение может быть представлено в виде:

25

Очевидно, в данном случае мы имеем разложение определителя по верхней строке. Примем без доказательства тот факт, что подходящей параметризацией объёма V3 его поверхность D(V3 ) может быть разбита на 6

граней, причём на противоположных гранях один параметр из трёх сохраняет постоянное значение. Пример: раздувание куба в пространстве (u,v, w) до

сферы в пространстве (x, y, z).

Пояснение. Дифференциал Du f следует понимать как дифференциал (главную линейную часть приращения) вдоль возрастания параметра u :

Выполняя интегрирование в первом слагаемом суммы трёх интегралов :

∫∫∫(Du f (dy dz)vw + Dv f (dy dz)wu + Dw f (dy dz)uv ) по параметру u , во

V3

втором – по v , а в третьем – по w , получаем следующее выражение:

+ ∫∫(f (u,v, w2 )− f (u,v, w1 ))(dx dy)(du,dv).

(w=const )

В первом слагаемом последнего выражения интегрирование производится по противоположным граням кривоповерхностного куба в пространстве (x, y, z),

соответствующим граням куба (точнее, параллелепипеда): u = u2 и u = u1 в пространстве (u,v, w). Аналогичные рассуждения справедливы и для противоположных граней v = v2 , v = v1 и w = w2 , w = w1 .

Иногда рассуждения проводятся следующим образом. Строим криволинейную сетку разбиения области интегрирования V3 (x, y, z),

соответствующую прямоугольной сетке V3 (u,v, w). Затем тройные интегралы (например, ∫∫∫(Du f (dy dz)vw ) ) по бесконечно тонким слоям, где один из

V3

параметров (u,v или w) отличается на бесконечно – малую величину, представляем в виде приближённых разностей интегралов по близким поверхностям. Тогда интегралы по внутренним поверхностям криволинейной сетки взаимно уничтожаются и остаются только разности интегралов по криволинейным граням куба в пространстве (x, y, z),

соответствующим граням куба V3 (u,v, w).

26

27

Далее, поскольку ориентации по противоположным граням куба противоположны (если смотреть на них извне куба), то для сохранения единой ориентации по всем граням куба, необходимо изменить ориентации

и знаки перед функциями на гранях u =u1 , v = v1 , w = w1 . Тогда сумма шести слагаемых выражения:

+ ∫∫(f (u,v, w2 )+ f (u,v, w1 ))(dx dy)(du,dv) превратится в интеграл по всем

(w=const )

шести граням куба в пространстве (x, y, z), то есть в ∫∫ f (dy dz).

(Vn+1 )

Читателю рекомендуется провести аналогичные рассуждения для теорем Грина и Стокса.

5.Теорема Лейбница – Ньютона.

Здесь n = 0 , m =1, Vn+1 = L1 , D = dxd dx .

ω0 = F(x) - форма «нулевого» порядка. Здесь F(x)≡ ∫ f (x)dx .

Удобно также представить теорему как «перепрыгивание» дифференциала с цепи Vn+1 на коцепь ωn , в данном случае: n = 0 (пользуемся топологической

терминологией):

6.Пример использования теоремы Пуанкаре.

27

28

Проверка. Вычислим контурный интеграл непосредственно параметризацией

( ) x = R cos(ϕ)

окружности: D S2 : y = Rsin(ϕ). Имеем:

§ 11 Пример решения задания по кратным и криволинейным интегралам.

2. Вычислить ∫∫xdxdy , если область D ограничена линиями y = 0, y = x, x2 + y2 = 2 ,

D

x2 + y2 = 9 (x>0; y>0)

3. Найти объём тела, ограниченного поверхностями z = 25, z = x2 + y2

4. Вычислить криволинейный интеграл ∫2xydx + x2 dy , если линия L задана

(L )

уравнением y = x2 +1, (0 ≤ x ≤ 2) .

5. Найти центр тяжести треугольника постоянной плотности, внутренность которого

6. Вычислить интеграл ∫∫(x dy dz + y dz dx + z dx dy)по замкнутой

(S )

поверхности, образованной гранями тетраэдра, внутренность которого определяется

28