Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

metod_kki

.pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
15.03.2016
Размер:
1.81 Mб
Скачать

21

участка дана его поверхностная плотность dm = ρ(x, y, z). Тогда значение массы d S

участка S(x, y, z) даётся значением поверхностного интеграла первого рода общего вида, где подинтегральноя функция есть поверхностная плотность поверхности:

M (S )= ∫∫dm =

 

dm

 

 

 

∫∫ρ(x, y, z)d

 

 

 

 

∫∫ρ(x, y, z)|

i

j

k

 

∫∫

d

S

=

 

S

 

=

xu'

yu'

zu'

| du dv .

 

 

S (x, y,z )

S (x, y,z ) d

S

 

 

 

S (x, y,z )

 

 

 

 

S (x, y,z )

xv'

yv'

zv'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь (i, j, k )тройка единичных декартовых векторов (ортов), направленных вдоль

осей декартовой системы координат.

Разлагая определитель в интеграле по верхней строке и, беря модуль полученного вектора, получаем формулу для поверхностного интеграла первого рода в скалярном виде:

M(S)= ∫∫ρ(x, y, z)

 

y'

z'

 

2

+

 

z'

x'

 

2

+

 

x'

y'

 

2

du dv.

 

 

 

 

 

 

 

y'

z'

 

 

 

z'

x'

 

 

 

x'

y'

 

 

 

 

u

u

 

 

 

 

u

u

 

 

 

 

u

u

 

 

 

S(x,y,z)

 

v

v

 

 

 

 

v

v

 

 

 

 

v

v

 

 

 

Заметим, что с помощью подобного рода интегралов удобно получать также центры тяжести и моменты инерции поверхностей в пространстве.

Задача. Найти поверхность тела вращения плоской кривой, заданной в плоскости XOZ уравнением z = f (x) и получаемого вращением этой кривой вокруг оси OZ .

Решение. Нетрудно видеть, что параметрическое уравнение этого тела вращения имеет

x = r cos(ϕ)

Здесь r = u .

вид: y = r sin(ϕ).

 

ϕ = v

z = f (r)

 

Элемент поверхности этого тела вращения примет вид:

 

dS

 

(r sin(ϕ))'r

(f (r))'r

 

2

 

 

(r cos(ϕ))'r

(f (r))'r

 

2

 

 

(r cos(ϕ))'r

(r sin(ϕ))'r

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

+

 

 

+

 

dr dϕ .

 

(r sin(ϕ))ϕ'

0

 

 

 

(r cos(ϕ))ϕ'

0

 

 

 

(r cos(ϕ))ϕ'

(r sin(ϕ))ϕ'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Раскрывая определители, получаем:

dS =(f ' (r))2 r2 (cos2 (ϕ)+sin2 (ϕ))+r2 (cos2 (ϕ)+sin2 (ϕ))dr dϕ =(fr' )2 +1 r dr dϕ

.

Итак, искомая площадь поверхности даётся формулой:

ϕ=2π r=R

' 2

 

 

(0 r R)

 

S =

 

(fr )

 

dϕ , предполагая, что:

S(r,ϕ):

 

.

+1 r dr

ϕ 2π)

ϕ=0

r=0

 

 

 

(0

 

Задача. Найти площадь поверхности полусферы радиуса R .

Решение. Воспользуемся решением предыдущей задачи. В данном случае имеем вращение четверти окружности радиуса R , уравнение которой имеет вид:

21

22

z = f (r)=

 

R2

r 2 . Отсюда: f ' (r)=

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

(2r dr) Тогда, используя решение

 

2

 

R2 r 2

 

предыдущей задачи, получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sсферы

 

ϕ=2π r=R

 

r

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ=2π

 

 

r=R

R

 

d(R

 

r

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

+1 r dr

 

dϕ =

 

dϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dr

 

=

 

2

 

R

2

r

2

 

 

 

R

2

r

2

 

 

 

 

 

 

ϕ=0

r=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ=0

 

 

r=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

z=R2

R2

 

dz

 

 

 

 

 

1

 

 

z

 

 

+1

 

 

z=R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sсферы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

= 2πR

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2πR

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

 

= 2πR R = 2πR

 

=

 

 

.

 

2

 

 

z

2

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

+1

 

z=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z=R

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда получаем известную формулу для вычисления площади сферы:

Sсферы = 4πR2 .

§ 9 Поверхностные интегралы второго рода и их физический смысл.

Определение. Поверхностные интегралы второго рода (в трёхмерном евклидовом

пространстве) суть интегралы от внешних дифференциальных форм второго порядка ω2 по участку поверхности S2 (x, y, z):

∫∫ω2 (x, y, z,dx,dy,dz).

S2 (x, y,z )

Пример. Дадим формулу для вычисления установившегося, (то есть не зависящего от

времени) потока жидкости через участок поверхности S2 (x, y, z). Под потоком

понимается количество (объём) жидкости протекающее через заданный участок

поверхности в единицу времени. Поле скоростей жидкости задаётся векторным

 

 

 

 

 

 

 

v

= v (x, y, z)

уравнением

 

= v()r , эквивалентным трём скалярным уравнениям: vyx

= vxy (x, y, z).

v

 

 

 

 

 

 

 

 

= vz (x, y, z)

 

 

 

 

 

 

 

vz

Здесь: r = (x, y, z) и v = (vx , vy , vz ). Объём жидкости, протекающий через бесконечно-

 

 

 

r

 

 

r

 

 

малую площадку dS =

 

du ×

 

 

dv (смотри выше пример использования

 

 

 

u

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дифференциальной формы), есть объём параллелепипеда, натянутый на тройку

векторов: v, r du, r dv , то есть:

u v

dVжидкости

 

∫∫

vx

vy

=

xu'

yu'

dt

 

S (u,v )

xv'

yv'

 

 

vz

(du dv)= ∫∫(vx dy dz +vy dz dx +vz dx dy)=

∫∫ω2 .

zu'

zv'

S (x, y,z )

S (x, y,z )

22

23

Напомним, что внешнее произведение двух дифференциальных форм на паре дифференциалов (du,dv) принимает значение определителя, например:

(dy dz)(du,dv)=

yu'

zu'

(du dv). Из формулы потока жидкости видно, что

 

yv'

zv'

 

дифференциальная форма ω2 есть не что иное, как разложение определителя третьего порядка по верхней строке.

§10 Теорема Пуанкаре и её использование при вычислении поверхностных интегралов второго рода.

Этот замечательный результат А. Пуанкаре будем использовать, прежде всего, как мнемоническое правило для формулировок целого ряда теорем, поэтому формулируем теорему Пуанкаре в её наиболее абстрактном виде.

Итак, теорема Лейбница – Ньютона – Грина – Стокса – Остроградского – Гаусса-

Пуанкаре имеет вид:

∫∫ωn

= ∫∫∫D ωn .

 

D(Vn+1 )

Vn+1

Комментарии (пояснения) к теореме.

 

 

1.Объём Vn+1 есть n +1 - мерная ограниченная область в пространстве той же размерности. Ограниченность следует понимать как ограниченность расстояния между любыми двумя точками, расположенными внутри области, то есть эти расстояния не могут превышать некоторого заданного числа.

2.Далее, D(Vn+1 ) есть топологическая граница этой области – поверхность размерности n . Граница понимается с том смысле, что любой n +1-мерный шар с центром в точке границы содержит внутри себя как точки, принадлежащие области, так и точки, не принадлежащие к ней. В то же время для внутренних и внешних точек области существуют шары, содержащие только внутренние или только внешние точки области.

3.В левой части равенства имеем n - кратный интеграл. Кружок на символе

двойного интеграла означает, что у самой границы отсутствует граница. Иначе говоря, D(D(Sn+1 ))= 0 известный топологический факт.

4.Дифференциальный оператор D имеет вид:

D =

dx1 +

 

dx2 +…+

dxm , причём объём Vn+1

погружен в

 

 

 

 

 

x

x

2

x

m

 

1

 

 

 

 

 

 

пространство (x1 , x2 , xm ) размерности m n +1.

 

23

24

5.Внешнее произведение D ωn обладает свойствами произведения Грассмана, а именно: линейностью и антикоммутативностью.

Более подробно смысл теоремы будет ясен из дальнейшего изложения материала. Рассмотрим теперь частные случаи теоремы Пуанкаре.

1.Теорема (формула) Грина.

Здесь n =1, m = 2 , Vn+1 = S2 , D = x dx + y dy ,

ωn =ω1 = Pdx +Qdy = P(x, y)dx +Q(x, y)dy .

Имеем: D(S2()Pdx +Qdy)= (∫∫S2 ) x dx + y dy (Pdx +Qdy)=

 

 

 

P (dx dx)+

Q

(dx dy)+ P

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

=

 

 

(dy dx)+

 

(dy dy)

=

 

 

 

 

∫∫

x

 

 

x

 

y

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

(S2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

P

 

 

 

 

 

 

Q

 

P

 

 

 

 

 

 

=

 

0

+

(dx dy)+

((dx dy)+0)

=

∫∫

 

 

(dx

dy).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫∫

 

 

x

y

 

 

 

 

 

x y

 

 

 

 

 

 

 

(S2 )

 

 

 

 

 

(S2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

P

 

 

Итак:

(Pdx +Qdy)=

 

(dx dy)

- формула Грина.

 

 

 

∫∫

x

 

y

 

D(S2 )

(S2 )

 

 

 

2.Теорема (формула) Стокса.

 

 

 

 

 

 

 

Здесь n =1,

m = 3 , V

 

= S

, D =

dx +

 

dy +

 

dz ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n+1

 

2

 

 

 

x

 

 

 

y

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω1 = Pdx +Qdy + Rdz = P(x, y, z)dx +Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Pdx +Qdy + Rdz)=

 

 

 

x

dx +

 

y

dy +

z

dz (Pdx +Qdy + Rdz)=

 

D(S2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(S2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

=

∫∫

 

0 +

 

(dx dy)+

(dx dz)+

 

(dy dx)+ 0 +

(dy dz)

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

(S2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

P

(dz dx)+

 

Q

 

(dz dy)+0

=

∫∫

 

Q

 

(dx dy)+

R

 

((dz dx))

+

 

 

 

 

 

z

 

x

 

∫∫ z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(S2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(S2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

∫∫

 

((dx dy))+

(dy dz)+

(dz dx)+

((dy dz))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

.

 

 

(S2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

∫∫(P(dy dz)+Q(dz dx)+ R(dx dy))=
D(V3 )

25

Итак: (Pdx +Qdy + Rdz)=

D(S2 )

 

 

R

 

Q

P

 

R

 

Q

 

 

∫∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

(dy dz)+

 

 

(dz dx)+

 

 

(S2 )

y

 

z

 

z

 

x

 

x

 

В векторных обозначениях формула принимает вид:

P

 

 

 

(dx dy)

- формула Стокса.

 

y

 

 

 

 

 

 

A dr = ∫∫rot(A)dS

D(S2 ) (S2 )

 

 

i

 

j

 

k

 

i

j

k

 

 

 

 

 

 

 

или: rot(P,Q, R) (dx, dy,dz)= ∫∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xu'

yu'

zu'

dudv .

x

 

y

 

z

D(S2 )

(S2 )

P Q R

 

xv'

yv'

zv'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Теорема (формула) Гаусса – Остроградского.

Здесь n = 2 , m = 3 , Vn+1 =V3 , D = x dx + y dy + z dz ,

ω2 = P(dy dz)+Q(dz dx)+ R(dxdy).

Имеем:

= ∫∫∫V3 x dx + y dy + z dz (P(dy dz)+Q(dz dx)+ R(dx dy)).

Проделывая выкладки, аналогичные предыдущим, получаем формулу Гаусса

– Остроградского:

 

 

 

 

P

 

Q

 

R

 

∫∫

(P(dy dz)+Q(dz dx)+ R(dx dy))=

 

 

+

+

(dx dy dz).

 

 

 

 

 

∫∫∫

x

 

y

 

z

 

D(V )

V

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

В векторных обозначениях эта теорема принимает вид:

∫∫A dS = ∫∫∫div(A)dV ,

где: A = (P,Q, R), dS =

i

xu'

D(V3 )

(V3 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xv

 

 

 

 

 

 

P

 

Q

 

R

 

div(A)=

,

,

 

(P,Q, R)=

+

+

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

z

 

 

x y z

 

 

 

 

 

4.О доказательстве теоремы Пуанкаре.

j k

yu' zu' , yv' zv'

Нижеследующие рассуждения показывают метод доказательства этой теоремы в частном случае одного слагаемого дифференциальной формы

второго порядка. Рассмотрим выражение ∫∫∫D ω2 , где

V3

ω2 = f (x, y, z)(dy dz). Тогда подинтегральное выражение может быть представлено в виде:

25

 

 

 

 

 

26

∫∫∫D ω2

= ∫∫∫(D ω2 )f (du dv dw)=

V3

 

V3

= ∫∫∫

 

Du

Dv

Dw

 

f (du dv dw)= ∫∫∫(Du f (dy dz)vw + Dv f (dy dz)wu + Dw f (dy dz)uv )

 

 

 

yu'

yv'

yw'

 

V3

 

zu'

zv'

zw'

 

V3

Очевидно, в данном случае мы имеем разложение определителя по верхней строке. Примем без доказательства тот факт, что подходящей параметризацией объёма V3 его поверхность D(V3 ) может быть разбита на 6

граней, причём на противоположных гранях один параметр из трёх сохраняет постоянное значение. Пример: раздувание куба в пространстве (u,v, w) до

сферы в пространстве (x, y, z).

Пояснение. Дифференциал Du f следует понимать как дифференциал (главную линейную часть приращения) вдоль возрастания параметра u :

 

 

 

f

∂ +

f ∂ +

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

z

 

 

D f = Df

du =

 

 

 

 

 

du =

f

x

+

f

y

+

f z

du .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

u

 

 

 

u

 

 

 

 

x u

y u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z u

Аналогично расписываются

Dv f

 

и Dw f .

 

 

 

 

 

 

Выполняя интегрирование в первом слагаемом суммы трёх интегралов :

∫∫∫(Du f (dy dz)vw + Dv f (dy dz)wu + Dw f (dy dz)uv ) по параметру u , во

V3

втором – по v , а в третьем – по w , получаем следующее выражение:

∫∫(f (u2 ,v, w)f (u1 ,v, w))(dy dz)(dv,dw)+

∫∫(f (u,v2 , w)f (u,v1 , w))(dz dx)(dw,du)+

(u=const )

(v=const )

+ ∫∫(f (u,v, w2 )f (u,v, w1 ))(dx dy)(du,dv).

(w=const )

В первом слагаемом последнего выражения интегрирование производится по противоположным граням кривоповерхностного куба в пространстве (x, y, z),

соответствующим граням куба (точнее, параллелепипеда): u = u2 и u = u1 в пространстве (u,v, w). Аналогичные рассуждения справедливы и для противоположных граней v = v2 , v = v1 и w = w2 , w = w1 .

Иногда рассуждения проводятся следующим образом. Строим криволинейную сетку разбиения области интегрирования V3 (x, y, z),

соответствующую прямоугольной сетке V3 (u,v, w). Затем тройные интегралы (например, ∫∫∫(Du f (dy dz)vw ) ) по бесконечно тонким слоям, где один из

V3

параметров (u,v или w) отличается на бесконечно – малую величину, представляем в виде приближённых разностей интегралов по близким поверхностям. Тогда интегралы по внутренним поверхностям криволинейной сетки взаимно уничтожаются и остаются только разности интегралов по криволинейным граням куба в пространстве (x, y, z),

соответствующим граням куба V3 (u,v, w).

26

27

Далее, поскольку ориентации по противоположным граням куба противоположны (если смотреть на них извне куба), то для сохранения единой ориентации по всем граням куба, необходимо изменить ориентации

и знаки перед функциями на гранях u =u1 , v = v1 , w = w1 . Тогда сумма шести слагаемых выражения:

∫∫(f (u2 ,v, w)+ f (u1 ,v, w))(dy dz)(dv,dw)+

∫∫(f (u,v2 , w)+ f (u,v1 , w))(dz dx)(dw,du)+

(u=const )

(v=const )

+ ∫∫(f (u,v, w2 )+ f (u,v, w1 ))(dx dy)(du,dv) превратится в интеграл по всем

(w=const )

шести граням куба в пространстве (x, y, z), то есть в ∫∫ f (dy dz).

(Vn+1 )

Читателю рекомендуется провести аналогичные рассуждения для теорем Грина и Стокса.

5.Теорема Лейбница – Ньютона.

Здесь n = 0 , m =1, Vn+1 = L1 , D = dxd dx .

ω0 = F(x) - форма «нулевого» порядка. Здесь F(x)f (x)dx .

Теорема формально выглядит так: ω0

= D ω0 или так:

 

 

D(L1 )

L1

b

b

 

 

= dF(x)dx .

 

F(b)F(a)F(x)|

 

a

a

dx

 

Удобно также представить теорему как «перепрыгивание» дифференциала с цепи Vn+1 на коцепь ωn , в данном случае: n = 0 (пользуемся топологической

терминологией):

F

(

d )F

 

b

b

dF

b

 

= dF

 

dx f (x) dx .

b

b

 

a

a

dx

 

 

a

a

a

6.Пример использования теоремы Пуанкаре.

Вычислим контурный интеграл

 

(ydx xdy), где S2

и D(S2 ) - круг, и,

 

 

 

 

 

D(S2 )

 

 

 

 

 

 

соответственно, окружность радиуса R .

 

 

 

 

 

Решение. По теореме Пуанкаре:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ydx xdy)=

dx

x

+ dy

 

y

(ydx xdy)=

 

 

 

D(S2 )

(S2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (11)

 

dx dy = (2) S

 

= −2πR2 .

 

(x)dx dy + y (dx dy)

∫∫

круга

∫∫

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(S2 )

 

 

 

 

 

(S2 )

 

 

 

27

28

Проверка. Вычислим контурный интеграл непосредственно параметризацией

( ) x = R cos(ϕ)

окружности: D S2 : y = Rsin(ϕ). Имеем:

 

 

ϕ=2π

(R sin(ϕ))

d(R cos(ϕ))

(R cos(ϕ))

d(R sin(ϕ))

(ydx xdy)=

 

dϕ

dϕ

dϕ =

D(S2 )

 

ϕ=0

 

 

 

 

 

ϕ=2π

 

 

(ϕ)))dϕ = −R2 dϕϕ=2π = −2πR2 .

 

 

= R2

((sin2

(ϕ)+cos2

 

 

 

ϕ=0

 

 

 

ϕ=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 11 Пример решения задания по кратным и криволинейным интегралам.

1

2x2

1. Изменить порядок интегрирования dx

f (x; y)dy .

0

x2

 

2. Вычислить ∫∫xdxdy , если область D ограничена линиями y = 0, y = x, x2 + y2 = 2 ,

D

x2 + y2 = 9 (x>0; y>0)

3. Найти объём тела, ограниченного поверхностями z = 25, z = x2 + y2

4. Вычислить криволинейный интеграл 2xydx + x2 dy , если линия L задана

(L )

уравнением y = x2 +1, (0 x 2) .

5. Найти центр тяжести треугольника постоянной плотности, внутренность которого

 

x 0

 

определяется неравенствами: S :

y 0 .

x

+

y

1

 

 

 

 

b

a

 

 

6. Вычислить интеграл ∫∫(x dy dz + y dz dx + z dx dy)по замкнутой

(S )

поверхности, образованной гранями тетраэдра, внутренность которого определяется

 

x 0

 

 

y 0

 

 

.

неравенствами: V :

z 0

 

 

 

 

 

x + y + z 1

 

28

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29

 

 

.

 

 

РЕШЕНИЕ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1). Делаем рисунок области интегрирования. Эта

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

область есть участок между двумя параболами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = x2 и y = 2 x2 (правее оси ОУ). Точка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пересечения парабол x =1; y =1. Таким образом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

область делится на два участка: первый –( 0 y 1),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

второй 1 y 2 . На первом участке y = x2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

следовательно x =

 

y ; на втором участке

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 2 x2 , следовательно x =

 

2 y . Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

интеграл в ответе разбивается на два интеграла.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y=1

 

x= y

 

 

y=2

x= 2y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: = dy fdx + dy fdy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y=0

 

x=0

 

 

y=1

 

 

x=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2). Область интегрирования в полярных координатах r,ϕ , где x = r cosϕ ; x = r cosϕ

 

 

 

имеет вид 2 x2

+ y2 = r 2

9 , отсюда (

2 < r < 3 ) по углу ϕ это есть область между

 

 

y = 0,(ϕ = 0)

и y = x, (ϕ =

π

4

) . Элемент площади в полярных координатах есть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx dy = rdr dϕ . x = r cosϕ . Поэтому исходный интеграл имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕϕ==0π 4 rr==3

2

(r cos ϕ )( rdr dϕ ) = ϕϕ==0π 4 cos ϕdϕ rr==3

2

r 2 dr

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ=π 4

 

2

 

r =3

 

 

 

 

π 4

r

2+1

 

3

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

3

 

 

3

 

2

 

2 2

 

 

9 2

 

2

= cos ϕdϕ

 

 

r

dr

 

 

 

= sin ϕ |

 

 

 

= (

 

 

0)

 

 

 

 

 

27

 

 

 

|

 

 

|

 

 

 

 

 

|

 

 

 

 

 

 

3

 

(

2) =

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

2

+1

 

2

 

3

 

 

2

 

3

2

3

 

 

ϕ=0

 

 

 

 

r = 2

 

 

 

 

0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: интеграл равен

9

 

2

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3). Искомый объём есть объём «бокала» между поверхностью налитой в него воды

 

 

 

 

z = 25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = r cosϕ

 

 

 

 

 

и дном бокала z = x2

+ y2 . Переходим в цилиндрические координаты y = r sinϕ ,

 

 

 

 

 

элемент

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

объёма в цилиндрических координатах имеет вид dx dy dz = rdrdϕdz . Область по

 

 

 

(x,y) ограничена окружностью r =

x2

+ y2 =

25 = 5 . Таким образом, объём

 

 

 

 

 

описываем неравенствами (0 ϕ 2π),

(r 0 5) и ((x2

+ y2

= r 2 ) z 25) .

 

 

 

 

 

Поэтому искомый объём вычисляется так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ=2π

r=5 z=25

 

 

 

 

 

 

 

ϕ=2π

 

r=5

 

z=25

 

 

2π

r=5

z=25

 

 

r=5

 

 

 

 

 

V = ∫∫∫dxdydz =

 

 

 

rdrdϕdz =

 

dϕ

rdr

 

dz =ϕ

|

 

rdrz |

2

 

= 2π

 

rdr(25 r 2 ) =

 

 

 

 

(v)

 

 

 

 

 

ϕ=0 r=0 z=r 2

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ=0

 

r=0

 

z=r 2

 

 

0

r=0

z=r

 

 

 

r =0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r1+1

5

 

r 3+1

 

π

 

 

 

625

 

 

625

 

625

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

|

 

 

 

 

= 2π

 

 

 

 

= π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2π

 

 

 

 

 

 

 

|

2

4

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+1 0

 

3 +1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: V = π

625

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4). Параметрическое уравнение кривой интегрирования имеет вид x = x

 

, где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = x2 +1

 

 

 

 

 

(0 x 2) . Поскольку dy = yx'

dx = (x2

 

+1)'x xdx 2xdx , то искомый интеграл пишется в

 

 

виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x=2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

4x

3+1

2

 

x

1+1

 

2

 

 

I = (2xydx + x2 dy) =

(2x(x2 +1)dx + x2 (2xdx)) = 4x3dx + 2xdx =

 

|

+2

 

 

| = 24 +2

2

= 20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( L)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

3 +1

0

1+1

0

 

 

Ответ: I=20.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫∫ρ x dxdy

 

 

 

5) Центр тяжести плоской фигуры S определяется по формулам: x

 

 

=

(S )

 

 

 

 

 

,

 

 

s

 

∫∫ρ dxdy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫∫ρ y dxdy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

s

=

(S )

 

 

 

 

 

. Здесь S - область интегрирования, ρ

=

 

- плотность фигуры.

 

 

 

 

 

∫∫ρ dxdy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку по условию задачи ρ = const , её можно вынести за знак интегралов и на неё

 

 

сократить, так что будем считать, что ρ =1. Так как для диагонали прямоугольного

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

треугольника S

 

имеем:

 

 

+

 

 

 

 

=1, то y =

b 1

 

 

, отсюда фигура S

 

определяется

 

 

 

 

a

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 x a

 

 

 

неравенствами: S :

0

y b 1

 

 

 

 

 

x . Поэтому координата xs центра тяжести a

∫∫x dxdy

вычисляется следующим образом: xs = (S∫∫) dxdy

 

 

x

x=a

y=b 1

 

 

 

 

a

x dxdy

=

x=0

y=0

 

 

. Интеграл в числителе

 

 

x

 

x=a

y=b 1

 

 

 

 

 

a

 

 

dxdy

 

 

x=0

y=0

 

 

 

30

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]