Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

metod_kki

.pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
15.03.2016
Размер:
1.81 Mб
Скачать

11

 

 

k=m1 l=n1~ ~ ~

3.

Вычисляем интегральную сумму: ∑ ∑ f

(xk , yl ) xk yl . Здесь

 

~ ~ ~

k=0 l=0

 

 

 

~ ~

 

 

 

f (xk , yl )= f (xk , yl ), если элемент разбиения имеет с областью

 

интегрирования S непустое пересечение и

~

~ ~

 

f

(xk , yl )= 0 в противном случае.

 

Кроме того,

xk = xk +1 xk и yl = yl+1 yl .

На самом деле в данном случае

интересующий нас цилиндр, объём которого мы ищем, заменяется на некоторую ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольных столбиков – прямоугольных призм. При этом основание каждого столбика есть элемент

разбиения [

~ ~ ~

xk , yl ], а высота столбика – есть f (xk , yl ), то есть, грубо

говоря, расстояние от плоскости XOY до графика подинтегральной функции

z = f (x, y) вдоль прямой, параметрическое уравнение которой имеет

 

~

 

x = xk

 

 

~

. Интегральная сумма есть объём этой ступенчатой фигуры,

вид: y = yk

 

z = t

 

 

 

 

который при достаточно мелком разбиении области интегрирования можно

 

считать приближённо равным ориентированному объёму .

4.

Определим мелкость разбиения

ρ как максимальную длину сторон

 

элементов разбиения xk , yl

по всем точкам разбиения, то есть по всем k

и l . Тогда, очевидно, двойной интеграл ∫∫ f (x, y) dx dy как

(S )

ориентированный объём кривоповерхностного цилиндра следует определить как предел интегральных сумм при мелкости разбиения, стремящейся к нулю. Для того, чтобы указанное определение было корректным, этот предел не должен зависеть (а) от выбора точек разбиения и (б) от выбора точек (аргументов) вычисления подинтегральной функции (~xk , ~yl ) внутри элемента

разбиения [ xk , yl ].

11

12

§ 4 Достаточные условия существования двойного интеграла.

Эти условия следующие: (1) непрерывность подинтегральной функции на области интегрирования, (2) компактность области интегрирования, то есть её ограниченность и замкнутость относительно операции предела и (3) измеримость области интегрирования, то есть возможность покрытия границы этой области многоугольником сколь угодно малой площади. При выполнении этих условий предел интегральных сумм существует и не зависит от выбора точек (сетки) разбиения области интегрирования и выбора течек – аргументов подинтегральной функции внутри элементов разбиения. Рассмотрим эти условия более подробно.

1.Непрерывность функции есть коммутативность (перестановочность) оператора предела и оператора функции. Иначе говоря, непрерывность означает, что предел от функции равен функции от пределов. Попросту:

lim f (x, y)= f lim x, lim y .

xx0 xx0 yy0 yy0

2.Ограниченность области интегрирования означает, что вся она может быть помещена внутрь круга достаточно большого радиуса. Замкнутость области интегрирования означает, что коль скоро все элементы сходящейся (то есть имеющей предел) последовательности точек принадлежат области интегрирования, предел этой последовательности также должен принадлежать области интегрирования.

3.Измеримость области интегрирования, грубо говоря, означает, что площадь границы этой области равна нулю или, точнее говоря, имеет меру нуль. Здесь следует уточнить, что допускается покрытие границы области интегрирования многоугольником сколь угодно малой площади с конечным числом сторон (мера Жордана). В противном случае нам придётся признать, что двумерная функция Дирихле, равная нулю в точках, обе координаты которых иррациональны и равная единице в противном случае, имеет двойной интеграл (например, по области единичного квадрата) равный нулю (интеграл Лебега или интеграл по мере Лебега). Имеется в виду тот факт, что все точки, хотя бы одна координата которых рациональна, могут быть покрыты полосами сколь угодно малой суммарной площади (используется свойство счётности рациональных чисел, подробнее об этом ниже).

§5 Основные свойства кратных интегралов.

Эти свойства, в основном, аналогичны свойствам обыкновенных однократных определённых интегралов.

Свойство 1. Кратный интеграл есть линейная функция относительно своего подинтегрального выражения:

∫∫(k1 f1 (x, y)+k2 f2 (x, y))dxdy = k1

∫∫f1 (x, y)dxdy +k2

∫∫ f2 (x, y)dxdy .

(S )

(S )

(S )

В частности, интеграл от суммы равнее сумме интегралов, а постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

12

13

Свойство 2. Кратный интеграл есть (в некотором смысле) также линейная функция и от своей области интегрирования. Именно: если S1 + S2 есть

объединение областей интегрирования S1

и S2 , а S1 S2 - их пересечение (общая

часть), то: ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (x, y)dxdy + ∫∫ f (x, y)dxdy

∫∫ f (x, y)dxdy .

(S1 +S2 )

(S1 )

(S2 )

(S1 S2 )

В частности, если пересечение двух множеств имеет меру нуль, то есть может быть покрыто многоугольником сколь угодно малой площади, то:

∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (x, y)dxdy + ∫∫ f (x, y)dxdy .

(S1 +S2 )

(S1 )

(S2 )

Это свойство напоминает линейность интеграла но уже относительно области интегрирования (в топологии область (цепь) можно также умножать и на целочисленный коэффициент).

Свойство 3. Если dxdy > 0 , то есть ориентация области совпадает с ориентацией осей OX и OY , то неравенство можно интегрировать:

(f1 (x , y )

f 2 (x , y ))

 

 

∫∫ f1 (x , y )dxdy

∫∫ f 2 (x , y )dxdy

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

(S )

(S )

 

Свойство 4. Модуль интеграла не превышает интеграла от модуля:

 

 

∫∫ f (x, y)dxdy

 

f (x, y)

 

 

 

 

 

∫∫

 

 

dxdy .

 

 

 

 

 

 

 

 

(S )

 

(S )

 

 

 

 

 

 

 

Это свойство вытекает из аналогичного свойства для (интегральных) сумм.

Свойство 5 (теорема о среднем). Если выполнены достаточные условия теоремы

существования двойного интеграла ( f (x, y)

непрерывна на замкнутой и

ограниченной области S ), то внутри области интегрирования S найдётся такая

~ ~

 

 

 

точка (x, y ), что справедливо равенство:

 

 

~ ~

~ ~

~ ~

∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (x, y )dxdy =

f (x, y )∫∫dxdy = f (x, y ) S .

(S )

(S )

 

(S )

Приведём краткое доказательство этой теоремы.

Теорема вытекает из известного факта от том, что непрерывная функция f (x, y)

на компактном множестве S достигает любого значения между максимумом и минимумом этой функции на S . Далее, по теореме об интегрировании неравенств (при dxdy < 0 неравенства меняются на противоположные) видно, что:

(min(f )f (x, y)max(f ))

 

 

 

 

 

 

∫∫min(f )dxdy ∫∫ f (x, y)dxdy ∫∫max(f )dxdy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

S

S

 

Деля двойное неравенство в правой части на S , получаем:

 

 

1

∫∫min(f )dxdy = min(f )

1

∫∫f (x, y)dxdy

1

 

∫∫max(f )dxdy = max(f ).

 

 

S

S

S

 

 

 

S

 

 

 

S

 

S

 

 

Так как

1

∫∫ f (x, y)dxdy есть значение между максимумом и минимумом

 

S

 

 

 

 

 

S

 

 

~ ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x, y), то найдётся такая точка (x, y ) внутри S , что:

 

 

 

 

~ ~

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x, y )=

 

 

∫∫ f (x, y)dxdy . Умножая последнее равенство на

S , получаем то,

 

 

S

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

что требовалось доказать.

13

14

§ 6 Сведение двойного интеграла к повторному.

Теорема (о вычислении двойного интеграла). Если область интегрирования имеет вид:

S : ((a x b);

(ϕ1 (x)y ϕ2 (x))), где ϕ1 (x), ϕ2 (x) - непрерывные функции, и f (x, y)

непрерывна на S , то справедливо равенство:

 

x=b y=ϕ2 (x)

 

∫∫ f (x, y)dxdy =

f

(x, y)dy dx .

(S )

x=a

y=ϕ1(x )

 

Доказательство. Делаем разбиение двойного интеграла такое же, как в определении

y=ϕ2 (x)

двойного интеграла. Введём обозначение: Φ(x)= f (x, y)dy . Разбиваем интеграл в

y=ϕ1(x )

правой части равенства теоремы в соответствии с разбиением сегмента

x=b

k=m1 x=xk +1

[a,b]: Φ(x)dx =

Φ(x)dx =

x=a

k=0

x=xk

x=x +

k 1Φ(~ )

xk xk . Здесь мы воспользовались теоремой

x=xk

о среднем для обычного определённого интеграла и обозначением:

xk = xk +1 xk .

Далее, для заданного разбиения сегмента [minϕ1 (x),maxϕ2 (x)] вдоль оси OY видно,

 

 

~

 

 

y =yl+1

 

 

 

 

 

 

~

y =ϕ2 (xk )

 

 

~

 

 

~

~

~

~

l =n1

 

~

 

l =n1

что: Φ(xk )=

f (xk , y)dy =

 

f

(xk , y)dy = f

(xk ,

yl ) yl .

 

 

~

l =0

 

y =yl

 

 

l =0

 

 

 

 

 

y =ϕ1(xk )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В последнем равенстве мы опять воспользовались теоремой о среднем. Здесь

 

 

~

 

 

 

f (x, y), если (x, y) S и равна нулю в

yl = yl+1 yl . Функция f (x, y) совпадает с

 

 

l=n1~

~

~

 

yl в выражение для повторного интеграла

противном случае. Подставляя f (xk , yl )

 

 

l =0

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x=xk+1

)

 

 

 

 

 

 

 

(правая часть равенства теоремы): Φ(xk

xk , получаем, что значение повторного

 

 

x=xk

 

 

 

 

 

~ ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k =m1 l=n1

 

 

 

интеграла есть разновидность интегральной суммы

∑ ∑ f (xk , yl )

xk

yl для двойного

 

 

 

 

 

 

 

 

k=0 l=0

 

 

 

 

интеграла левой части равенства теоремы. Поскольку достаточные условия

 

существования двойного интеграла в данном случае выполнены, выражение

k=m1 l=n1

~ ~

) xk yl сколь угодно мало отличается от двойного интеграла, то есть

∑ ∑ f

(xk , yl

k=0 l=0

просто равно ему, что и требовалось доказать.

Доказанная теорема даёт возможность вычислять двойные интегралы, сводя их к повторным интегралам.

Пример вычисления двойного интеграла. Требуется вычислить объём верхней половины шара x2 + y2 + z2 R2 ; z 0; радиуса R с центром в начале координат.

Решение. Из геометрических соображений видно, что параметры повторного интеграла следующие:

a = −R; b = +R; ϕ1 (x)= − R2 x2 ; ϕ2 (x)= + R2 x2 ; z = f (x, y)= R2 (x2 + y2 ).

14

15

Отсюда получаем: ∫∫ f (x, y)dxdy =

Vшара

x=+R y=+ R2 x

2

(R

 

x

 

)y

 

 

=

 

 

 

 

 

dy dx .

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

2

 

(S )

2

x=−R y=−

2

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

Обозначим r = R2 x2 и сделаем замену во внутреннем определённом интеграле:

y= r sin(ϕ), ϕ = arcsin y . Вычисляем значение внутреннего интеграла:

r

 

 

 

 

 

 

 

ϕ=arcsin

(+r )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ϕ=+

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

r

2

(r

 

 

 

2

d

(r sin(ϕ))

dϕ =

ϕ=+ 2 2

cos

2

(ϕ)dϕ = r

2

1+cos(2ϕ)

 

 

 

 

 

 

 

 

Φ(x)=

 

 

 

 

 

 

 

sin(ϕ))

 

 

 

dϕ

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

2

dϕ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ=arcsin

(r )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ=−π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ=−

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r 2

 

 

+

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

π

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r 2

 

 

π

 

 

 

π

 

 

 

 

r 2

 

 

 

=

 

dϕ

2

+

cos(2ϕ)

d(2ϕ)2ϕ=+π

=

r 2

 

2

+

sin(2ϕ)

2ϕ=+π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

+

 

 

 

 

 

+0

=π

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

2

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2ϕ=−π

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

2ϕ=−π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Далее, подставляем вычисленное значение внутреннего интеграла во внешний интеграл:

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

x=+R

 

 

R

2

x

2

 

 

 

 

 

π

2

 

 

+R

 

 

 

2

 

 

+R

 

 

π

 

 

2

+R

 

 

 

x

3

+R

 

 

π

 

 

2

 

 

 

 

 

R

3

3

 

 

 

шара

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(R (R))

 

(R)

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

π

 

 

 

 

 

 

 

dx =

R

 

 

 

dx

 

 

 

=

 

R

 

x

 

 

 

 

=

 

 

R

 

 

 

 

 

 

=

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

3

 

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

x=−R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

R

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 23 π R3 .

Отсюда получаем известную формулу для вычисления объёма шара: Vшара = 43 πR3 .

§ 7 Замена переменных в кратном интеграле.

1.Внешнее произведение дифференциальных форм.

Определение. Внешней дифференциальной формой первого порядка от нескольких переменных называется линейная комбинация дифференциалов с коэффициентами при них – функциями этих переменных.

Пример. Пусть в пространстве имеется силовое поле, заданное в векторном виде: F = F ()r , где F = (Fx , Fy , Fz )- вектор силы в точке r , а r = (x, y, z) - радиус-

вектор точки пространства. Тогда дифференциал работы по перемещению материальной точки в силовом поле на бесконечно-малое расстояние

dr = (dx , dy , dz ) есть скалярное произведение силы: F ()r = F(x, y, z) на путь:

dr и может быть представлен в виде дифференциальной формы первого порядка следующим образом:

dA = F dr cos( (F,dr))= (F dr)= (Fx , Fy , Fz ) (dx,dy,dz)= Fx dx + Fy dy + Fz dz .

Определение. Внешнее произведение двух дифференциальных форм первого порядка на параметризованной поверхности r = r(u,v)= (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) определяется следующим образом: ω2 =ω1(1) ω1(2) есть функция (функционал), который на паре дифференциалов (du, dv) принимает числовое значение

15

16

 

 

 

(1)

(2)

)(du, dv)=

 

ω(1)(du)

ω(2)(du)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

следующего определителя: (ω1

ω1

 

ω(1)(dv)

ω(2)(dv)

 

 

. Здесь:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

ω(k )(du)= F (k )

x

du + F (k )

y

du

(k =1,2); ω(k )(dv)= F (k )

x dv + F (k ) y dv (k =1,2).

 

 

1

x u

y u

 

1

 

x

v

y

v

Определение. Внешняя форма второго порядка есть линейная комбинация внешних произведений дифференциальных форм первого порядка с коэффициентами – функциями координат (x, y, z) параметризованной поверхности: S:

r = r(u,v)= (x(u,v), y(u,v), z(u,v)). Итак, внешняя форма второго порядка полностью

определяется своими коэффициентами, внешними произведениями форм первого порядка и параметризованной поверхностью.

Пример. Если в пространстве в каждой его точке r = (x, y, z) задано поле скоростей

движения жидкости v = v(x, y, z)= (vx (x, y, z), vy (x, y, z), vz (x, y, z)), то дифференциальная форма: ω2 = vx dy dz +vy dz dx +vz dx dy задаёт

количество (объём) жидкости dVdt , проходящей в единицу времени через

бесконечно-малую площадку dS = dr(du)×dr(dv) параметризованной поверхности r = r(u,v)= (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) следующим образом:

dV

= (v (dS ))=

vx

dx(du)

dt

 

dx(dv)

 

 

vy dy(du)

dy(dv)

vz

dz(du) = (vx dy dz +vy dz dx +vz dx dy)(du,dv). dz(dv)

Вторая строка определителя есть вектор бесконечно-малого перемещения вдоль поверхности S : dr(du)= ur du (при изменении параметра u : u u +du и

неизменном параметре v ). Аналогично, третья строка определителя есть вектор бесконечно-малого перемещения вдоль поверхности S : dr(dv)= vr dv (при изменении параметра v : v v +dv и неизменном параметре u ). Как принято в

физике, dS = dr(du)×dr(dv) есть векторное произведение этих векторов, равное по

модулю площади этой площадки (параллелограмма, натянутого на эти вектора). Внешняя дифференциальная форма в правой части равенства определяется разложением определителя средней части двойного равенства по верхней строке.

2.Замена переменных в двойном интеграле.

16

17

Теорема (о замене переменных в двойном интеграле).

x = x(u,v)

Пусть y = y(u,v) - функции, непрерывные вместе со своими первыми частными

производными по u и по v в некоторой области параметров S(u,v) (на плоскости переменных u и v ). При этом предполагается, что S(u,v) имеет вид, указанный в теореме о сведении двойного интеграла к повторному. Пусть область S(u,v)

x = x(u,v) )

преобразованием y = y(u,v) преобразуется в область S(x, y на плоскости

переменных x и y . Пусть функция z = f (x, y) непрерывна по своим переменным в области S(x, y). Тогда справедливо следующее равенство:

∫∫ f (x, y)dxdy =

∫∫ f (x(u,v), y(u,v))

x'

y'

dudv .

u'

u'

S (x, y )

S (u,v)

xv

yv

 

Определитель в правой части равенства называется определителем Якоби или якобианом. Геометрический смысл последнего равенства состоит в том, что двойной интеграл в правой части равенства есть предел интегральных сумм разбиения области S(u,v) интегрирования по прямоугольной сетке, а интеграл в

левой части равенства есть предел интегральных сумм разбиения области S(x, y)

интегрирования по криволинейной сетке, получаемой из прямоугольной

 

x = x(u,v)

det(dru ,drv )=

 

xu'

yu'

 

dudv есть площадь

 

 

 

преобразованием

y = y(u,v) . Выражение:

 

xv'

yv'

 

бесконечно-малого элемента разбиения криволинейной сетки (см. рисунок).

Не вдаваясь в подробности доказательства теоремы, заметим, что интегральную сумму правой части равенства по криволинейной сетке можно со сколь угодно высокой точностью представить суммой того же интеграла, но по обычной прямоугольной сетке, параллельной осям координат. Фактически нужно доказать, что сама криволинейная (гладкая, дифференцируемая) сетка имеет меру нуль. Последнее вытекает из того, что график любой непрерывной (а, тем более, дифференцируемой) функции имеет меру нуль в силу существования интеграла Римана от непрерывной функции.

17

18

Следует заметить, что подинтегральное выражение интеграла: ∫∫ f (x, y)dxdy

S (x, y )

можно рассматривать как внешнюю дифференциальную форму второго порядка вида: ω2 = f (x, y)dx dy . В этом случае теорема о замене переменных в двойном интеграле становится формально очевидной, поскольку в силу линейности а

антисимметричности внешнего произведения дифференциальных форм первого

порядка (так же, как и у определителей и произведений Грассмана) видно, что:

dx dy = (xu' du + xv' dv) (yu' du + yv' dv)= xu' yu' (du du)+ xu' yv' (du dv)+ xv' yu' (dv du)+ xv' yv' (dv dv)

= 0 + xu' yv' (du dv)+ xv' yu' ((du dv))+0 = (xu' yv' xv' yu' )(du dv)=

 

xu'

yu'

 

dudv , что и

 

 

 

 

xv'

yv'

 

 

утверждалось.

 

 

 

Пример. Вычислим объём полушара с помощью преобразования декартовых координат в полярные. Область полушара представим как область, ограниченную плоскостью

z = 0 (плоскость XOY ) и графиком функции полусферы радиуса R : x2 + y2 + z2 = R2

или: z =

R2 (x2 + y2 ).

 

Формулы преобразования из декартовых координат (x, y) в полярные координаты

 

x = r cos(ϕ)

. Сравнивая формулы преобразования с теорией, видим,

(r,ϕ)имеют вид:

что: u = r;

y = r sin(ϕ)

 

v =ϕ .

 

Вычислим элемент площади в полярных координатах:

 

xr'

yr'

 

(r cos(ϕ))'r

(r sin(ϕ))'r

 

1 cos(ϕ)

1 sin(ϕ)

 

 

 

 

 

 

dx dy =

xϕ'

yϕ'

 

dr dϕ = (r cos(ϕ))ϕ'

(r sin(ϕ))ϕ'

dr dϕ =

r (sin(ϕ))

r cos(ϕ)

 

dr dϕ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= r(cos2 (ϕ)+sin2 (ϕ))dr dϕ = r dr dϕ . Геометрический смысл этой формулы ясен из следующего рисунка.

Положительность якобиана следует из сохранения ориентации элемента площади (смотри рисунок).

Итак, вычисляем объём полушара:

V

=

∫∫

R

 

(x

 

+ y

 

)dx dy =

∫∫

R

 

r

 

dr (rdϕ)=

ϕ=2π r=R

R

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

∫ ∫

 

 

rdr dϕ

шара

 

 

 

2

 

2

 

2

 

 

 

2

 

2

 

 

 

2

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S (x, y )

 

 

 

 

 

 

 

S (r,ϕ)

 

 

 

 

 

ϕ=0 r=0

 

 

 

 

 

Поскольку внутренний интеграл от ϕ не зависит, его можно вынести за знак внешнего интеграла как константу (постоянную):

V

r=R

 

 

 

 

ϕ=2π

 

 

 

 

 

 

(d

)rdr

r=R

 

(d )ϕ

ϕ=2π

 

шара

 

 

2

 

2

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

R

 

r

 

rdr

dϕ =

R

 

r

 

 

 

 

=

2

 

 

 

 

 

 

r=0

 

 

 

 

 

ϕ=0

 

 

 

 

 

 

 

 

r=0

 

ϕ=0

18

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

r=R

 

 

1 (R2

r 2 )

 

+1 r=0

 

2

 

 

 

 

2

 

2

 

 

2

 

2

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

(R

 

r

 

)2

d (R

 

r

 

)

(2π 0)=

+

 

 

 

 

 

 

 

2π

= πR

 

.

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

r=0

 

 

2

+1

 

 

r=R

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

= 4

 

 

 

 

Отсюда получаем известную формулу для объёма шара: V

πR3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

шара

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Менее тривиальный пример замены переменных в двойном интеграле даёт следующая

2

2

2

 

задача: вычислить площадь внутри астроиды: x

3

+ y

3

= R

3

.

x = r cos3 (ϕ)

Указание: выполнить замену переменных ( ). Область интегрирования в

y = r sin3 ϕ

( ) (0 r R)

астроидальных координатах определяется так: S r,ϕ : ( ).

0 ϕ 2π

Примечание. Фигура астроиды имеет вид, похожий на фигуру бубновой масти и представляет собой траекторию точки окружности радиуса R4 , катящейся внутри

окружности радиуса R . Читателю рекомендуется проверить этот факт методами аналитической геометрии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод параметрического уравнения астроиды.

 

 

 

 

 

 

 

 

r(ϕ)= (x(ϕ), y(ϕ))= r

+r

=

3

r cos(ϕ),

3

 

r sin(ϕ)

+

1

cos(ϕ 4ϕ),

1

sin(ϕ 4ϕ) .

4

4

4

4

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Косинус и синус тройного угла вычисляем по формулам Муавра – Лапласа:

(cos(3ϕ)+i sin(3ϕ))= (cos(ϕ)+i sin(ϕ))3 = cos3 (ϕ)+3cos2 (ϕ)sin(ϕ) i +3cos(ϕ)sin2 (ϕ) i2 +sin3 (ϕ) i3

Приравнивая действительные и мнимые части этого равенства, получаем: cos(3ϕ)= cos3 (ϕ)3cos(ϕ)(1cos2 (ϕ))= 4cos3 (ϕ)3cos(ϕ) и

sin(3ϕ)=3(1sin2 (ϕ))sin(ϕ)sin3 (ϕ)=3sin(ϕ)4sin3 (ϕ).

Отсюда:

x= 4r (3cos(ϕ)+cos(3ϕ))= 4r (3cos(ϕ)+4cos3 (ϕ)3cos(ϕ))= r cos3 (ϕ) и

y= 4r (3sin(ϕ)sin(3ϕ))= 4r (3sin(ϕ)(3sin(ϕ)4sin3 (ϕ)))= r sin3 (ϕ).

Приводим вычисление площади астроиды, выполненное на языке Maple ([Maple]).

> with(LinearAlgebra):

19

20

x:=r*cos(f)^3;y:=r*sin(f)^3;iak:=<<diff(x,r) | diff(y,r)>, <diff(x,f) | diff(y,f)>>;det:=Determinant(iak); det:=simplify(det);Int(Int(det,r=0..R),f=0..2*Pi)=int(int(det, r=0..R),f=0..2*Pi);

>

§ 8

Поверхностные интегралы первого рода.

 

 

 

 

 

Пусть имеется параметрическое уравнение поверхности r = r(u,v) или, в

 

x = x(u,v)

 

x

 

 

 

 

 

 

x(u,v)

 

скалярном виде: y = y(u,v), где r = y , r(u,v)= y(u,v). Тогда площадь бесконечно-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = z(u,v)

 

z

 

 

 

 

 

 

z(u,v)

 

малого элемента криволинейной сетки

 

dS

 

определяется модулем векторного

 

 

r

 

r

 

 

i

 

j

k

 

 

 

 

 

 

 

 

x

'

 

y

'

z

'

du dv

векторных дифференциалов

произведения: dS =

u

du ×

v

dv =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

u

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

xv'

 

yv'

zv'

 

 

сетки участка поверхности S(x, y, z), получаемых из векторов (du,0), (0,dv) элемента

прямоугольной сетки плоского участка S(u,v) преобразованием r = r(u,v). Определение поверхностного интеграла первого рода дадим на модельной

задаче определения массы участка поверхности S(x, y, z), если в каждой точке этого

20

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]