1. Задача изоморфизма подграфу.

Даны два графа, G₁ и G₂. Множество вершин первого графа обозначим V₁, а второго — V₂ . Пусть |V₁| > | V₂| = п. Требуется ответить на вопрос: найдется ли в графе G₁ подграф H, изоморф­ный графу G₂?

2. Задача о клике.

Дан граф G с m вершинами и целое положительное число п. Граф называется кликой, если каждая вершина в нем связана реб­ром с каждой. Количество вершин в клике назовем ее мощно­стью. Верно ли, что в данном графе G имеется клика мощности не менее, чем n?

3. Гамильтонов цикл.

Дан граф G c n вершинами. Существует ли в графе простой цикл, проходящий через все вершины графа? Простым называет­ся цикл, в котором вершины не повторяются. Таким образом, гамильтонов цикл — это последовательность вершин и дуг (ребер) графа, содержащая все вершины графа G по одному разу, но, мо­жет быть, содержащая не все дуги.

4. Задача коммивояжера.

Дан граф G с п вершинами. Каждому ребру графа приписано положительное целое число d_i , задающее длину ребра. Кроме этого, задано некоторое положительное целое число L. Требует­ся ответить на вопрос: найдется ли в графе G маршрут, проходя­щий через все вершины графа G , такой, что его длина не превы­шает L?

Другие модификации задачи о коммивояжере требуют отыскания маршрута минимальной длины, гамильтонова цикла и т. п. Неизменным остается требование однократного прохождения че­рез все вершины.

Кроме класса NP-полных проблем рассматривают еще и класс NP-трудных проблем.

Проблема Т называется NP-трудной, если она удовлетворяет условию: Если R  NP, то R сводится к T за полиномиальное вре­мя.

Заметим, что это условие совпадает со вторым условием для NP-полных проблем. Следовательно, NP-полная проблема — это NР-трудная задача, принадлежащая классу NP.

Для того чтобы уяснить себе возможное различие между классами Р и NP, продолжим анализ проблемы выполнимости логического выражения.

Кроме общей задачи о выполнимости, могут быть поставле­ны задачи с ограничивающими условиями. Например, ограниче­ние на длину дизъюнктов.

Задача о k-выполнимости — это задача о выполнимости для выражений, в которых длины дизъюнктов не превосходят вели­чины k.

Разумеется задача оk-выполнимости проще задачи о (k + 1)-выполнимости, и проще общей задачи о выполнимости для лю­бого конечного k. Самая простая — задача об 1-выполнимости. В этом случае любой дизъюнкт состоит только из одной пере­менной или ее отрицания, т. е. Если все переменные в записанной конъюнкции различны, то выражение выполнимо, а если одна и та же переменная встречается два раза, в одном случае с показателем 1, а в другом случае с пока­зателем 0, то в соответствии с известным тождеством х¹&х° = 0 выражение тождественно равно нулю, т. е. не выполнимо. Про­верка этого требует времени, линейного по отношению к длине выражения.

Вывод: задача об 1-выполнимости принадлежит классу Р.