Радиус инерции тела |
J z M z |
(8) |
|
||
|
|
радиус инерции z геометрически равен расстоянию от оси той точки, в которой нужно сосредоточить всю массу тела (системы), чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела (системы)
Момент инерции сплошного тела
Разобъем тело на элементарные части, в пределе сумма обратится в интеграл
J z mk hk2 |
|
dm dV |
||
k |
|
|
|
|
2 |
dm |
2 |
dV |
|
J z h |
h |
(9) |
||
|
|
|
|
|
( M ) |
|
(V ) |
|
|
Пример 1 Тонкий однородный стержень |
|||
O |
z |
M |
l |
|
|||
x |
|
|
h x |
__________ |
l |
dm dx |
|
|
|
||
dx |
|
1 |
M / l |
|
|
||
|
|
J z Ml2 / 3 M z2 |
|
x |
|
z l / |
3 0.58l |
|
|
||
M |
l |
|
|
J z x2 dm 1 x2 dx 1l 3 / 3 Ml 2 / 3 |
|||
0 |
0 |
|
|
Пример 2 Тонкий однородный диск
R |
|
M |
R |
|
|
|
2 rdr |
||
|
r |
dm 2 rdr |
||
|
z |
M / R2 |
||
dr |
J z MR2 / 2 M z2 |
|||
|
||||
|
|
|||
|
|
|||
|
|
z |
0.705R |
|
|
|
Jz h2dm |
||
|
|
|||
|
|
|
(M ) |
|
R |
|
R |
|
|
r2 2 rdr 2 r3dr R4 / 2 MR2 / 2
0 0
z1 |
Теорема Гюйгенса |
|
|
|
|
d |
|
J z mk (xk2 yk2 ) |
|
||
z |
|
|
C |
y1 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
J cz1 |
mk (x12k |
y12k ) |
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
O |
|
|
y |
|
xk x1k d, yk y1k |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, x1 |
|
|
2 |
2 |
|
2 |
||
С – центр масс |
xk |
x1k 2x1k d d |
|
|||||
|
|
|
|
|||||
J z mk (x12k y12k ) ( mk )d 2 2( mk x1k )d |
|
|||||||
|
|
|
k |
|
k |
k |
|
|
mk x1k Mx1c 0 |
J z Jcz1 Md 2 |
|
|
|||||
k
Теорема Гюйгенса
J z J cz |
Md 2 |
(10) |
1 |
|
|
Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной и проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением его массы на квадрат расстояния между осями
Jcz |
момент инерции относительно |
1 |
центра масс тела |
Jz |
момент инерции тела |
относительно произвольной |
dрасстояние между осями
Jz2 Jz1 M (d22 d12 )
Момент инерции относительно произвольной оси
|
|
|
l |
|
|
J l mk hk2 |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
hk |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
Mk |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
γ |
C |
|
hk |
rk OCk |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rk |
|
r 2 |
x2 |
y 2 |
z 2 |
|
|
|
|
|
|
k |
|
k |
k |
k |
α |
|
|
β |
y |
xk il xk cos , |
||||
O |
|
|
|
yk jl |
yk cos , |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
zk kl |
zk cos |
|||
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
Jl ((xk2 |
yk2 zk2 ) (xk cos yk cos zk cos )2 )mk |
||||||||
k
l - произвольная ось с углами , ,
Момент инерции относительно произвольной оси
Jl cos2 mk ( yk2 zk2 )
k
cos2 mk (xk2 |
zk2 ) |
k |
|
cos2 mk (xk2 |
yk2 ) |
k |
(11) |
2 cos cos mk yk zk
k
2 cos cos mk xk zk
k
2 cos cos mk xk yk
k
Осевые и центробежные моменты инерции
Осевые моменты инерции:
Jx mk ( yk2 zk2 ); J y mk (xk2 zk2 ); |
J z mk (xk2 yk2 ) |
|
k |
k |
k |
Центробежные моменты инерции:
J yz mk yk zk ; |
J xz mk xk zk ; |
J xy mk xk yk |
k |
k |
k |
Момент инерции относительно произвольной оси l:
Jl Jx cos |
2 |
J y cos |
2 |
J z cos |
2 |
|
(12) |
|
|
|
|
2J yz cos cos 2Jxz cos cos 2Jxy cos cos
Осевые и центробежные моменты инерции
В отличие от осевых, центробежные моменты инерции могут быть как положительные, так и отрицательные и, в частности, при определенном выборе осей обращаться в нули
Осевой момент инерции характеризует меру инертности тела при его вращении вокруг соответствующей оси
Центробежные моменты инерции характеризуют несимметричность распределения масс тела относительно координатных осей или плоскостей
Заключение
1.Дано определение механической системы
2.Приведены ДУ ее движения
3.Определены меры движения: центр масс, количество движения, момент количества движения, кинетическая энергия
4.Определены внешние и внутренние силы, действующим на систему
5.Показано, что сумма внутренних сил и сумма их моментов равны нулю
6.Дано определение массы, центра масс и момента инерции относительно оси
7.Доказана Теорема Гюйгенса о связи между моментами инерции относительно параллельных осей