Проекции импульса силы
t2 |
|
t2 |
|
t2 |
|
|
|
|
|||
Sx |
Fx (t)dt |
S y |
Fy (t)dt |
Sz |
Fz (t)dt |
t1 |
|
t1 |
|
t |
|
|
|
|
|
1 |
|
В частном случае: Fx const
Sx Fx (t2 t1 )
Вслучае приложения нескольких сил:
F1 , F2 ,..., Fn
S S1 S2 ... Sn
Sx S1x S2 x ... Snx
Теорема об изменении количества движения (импульса) системы
Q MvC |
(5) |
Дифференцируем равенство (5) по времени
ddtQ M ddtvC MaC
Согласно теореме о движении центра масс
MaC Fke k
dQ Fe (9)
следовательно получим dt k
k
Теорема об изменении количества движения (импульса) системы
dQ |
Fke |
(9) - дифференциальная форма |
dt |
k |
|
Производная по времени от количества движения
механической системы равна главному вектору действующих на нее внешних сил
Теорема чаще используется в интегральной форме
t2 |
|
|
e |
e |
|
Q(t2 ) Q(t1 ) Fk |
(t)dt Sk |
(10) |
|
|
|
k t |
k |
|
1 |
|
|
Изменение импульса за промежуток времени равно сумме импульсов действующих на нее внешних сил за тот же промежуток
Теорема об изменении количества движения в
проекциях |
|
e |
|
|
Q2 x Q1x Skx |
|
|
|
Q2 y Q1y k |
Skye |
(11) |
|
k |
|
|
|
Q2 z Q1z Skze |
|
|
k
-внутренние силы непосредственно не могут влиять на изменение импульса системы
-механическую систему выбирают так, чтобы наперед неизвестные силы сделать внутренними
Теорема об изменении количества движения
|
|
|
Замечание. |
Sx |
|
|
Импульс системы меняют |
|
|
|
не сами силы, а |
τ |
|
t |
импульсы сил |
|
|
||
|
|
|
|
|
x |
|
|
Например, изменение проекции импульса |
|||
системызанавремяось x |
|
|
|
полностью определяется |
|
Sx |
|
площадью . |
|
||
заштрихованной фигуры, |
|
|
|
и не зависит от вида |
Fx |
Fx (t),t (t1 ,t2 ) |
|
кривой |
|||
|
|
||
Закон сохранения количества движения |
|
1. Пусть сумма внешних сил равна нулю Fke |
0 |
|
|
dQ |
|
k |
Тогда из уравнения |
Fke |
|||
|
|
dt |
|
k |
следует |
Q const |
(12) |
||
Если сумма внешних сил, действующих на механическую систему равна нулю, то вектор количества движения сохраняется во все время движения
Если за некоторый промежуток времени сумма
импульсов внешних сил равна нулю |
||
|
t2 |
Q(t2 ) Q(t1 ) |
Sek Fke (t)dt 0 |
||
k |
k t |
|
|
1 |
|
Закон сохранения количества движения |
|
|||
2. Пусть проекции внешних сил |
|
e |
||
на X равны нулю |
|
|
|
Fkx 0 |
Тогда из уравнения dQX |
|
e |
k |
|
|
|
|||
следует Qx const |
dt |
Fkx |
|
|
k |
|
|
||
|
|
|
|
|
Если сумма проекций всех действующих на систему внешних сил на ось равна нулю, то проекция количества движения на эту ось сохраняется во времени
Если равна нулю проекция суммы импульсов внешних сил за промежуток времени
t2 |
|
Sx Fx (t)dt 0 |
Qx (t2 ) Qx (t1 ) |
t1 |
|
Рекомендации к решению задач на применение общих теорем динамики
1Выбрать механическую систему (удачно!)
2Изобразить все нужные силы (активные и реакции связей)
3Записать одну из общих теорем динамики(или несколько)
4Проинтегрировать полученную систему уравнений. Постоянные интегрирования определяются при этом из дополнительных (начальных) условий задачи
5Определить искомые величины
Задача 2 |
Пуля весом P, летящая горизонтально со |
|
скоростью u, попадает в тележку с песком веса Q и |
||
застревает в ней. С какой скоростью будет двигаться |
||
тележка? Трением и сопротивлением воздуха пренебречь. |
||
|
N |
R |
|
u |
|
|
P |
|
Q
Решение. 1. Механическая система: пуля + тележка
2.Внешние силы, действующие на систему P,Q,N,R.
3.Запишем теорему об изменении количества движения
системы в проекции на горизонтальную ось x.
Q2 x Q1x Fkxe 0 Q2 x Q1x
Q1x Pu / g; Q2x (P Q)v/g v Pu /(P Q)
Задача 3 Однородный стержень AB длиной 2L, опирающийся нижним концом A на гладкую горизонтальную
плоскость, начинает падать из состояния покоя, образуя при |
||||
t=0 угол |
с плоскостью. Определить траекторию верхнего |
|||
конца B стержня. |
|
y |
B |
|
|
|
|
||
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
l |
|
|
|
N |
|
mg |
|
|
|
|
|
|
A |
|
φ |
x |
|
|
|
||
Решение. |
1. М.с. – стержень AB; 2. Внешние силы N, mg; |
|||
3. Теор. о дв. центра масс: xC const xC (0) L cos
xB xC L cos L cos L cos ; |
yB 2Lsin |
cos2 sin2 1 (xB cos )2 / L2 |
yB2 / 4L2 1 |
Траектория т. B – эллипс; |
|
(L cos ,0) центр; |
L, 2L полуоси |