Лекция3
.pdfПРИМЕР 2
Вычислить интеграл с помощью метода трапеций и |
|
||||
Симпсона, N = 4. |
2 |
|
2 |
|
|
|
I |
3x |
|
2x 1 dx |
|
|
1 |
|
|
|
|
Решение. Вычислим шаг сетки: |
|
|
h |
2 1 |
0.25 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим таблицу значений функции: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
1.25 |
|
|
1.5 |
|
1.75 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
2 |
|
3.1875 |
|
|
4.75 |
|
6.6875 |
9 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По формуле |
|
|
|
|
|
|
|
2 9 |
|
|
|
|
|
|
|
||
трапеций: |
|
Itr 0.25 |
|
|
3.1875 4.75 6.6875 5.031 |
||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
По формуле |
|
|
Isim |
0.25 |
2 4 3.1875 2 4.75 4 6.6875 9 5 |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
Симпсона: |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Точное решение I = 5
Решение в MathCAD
simp(a b N g) |
|
h |
|
(b a) |
|
|
||||
|
|
|
||||||||
|
|
N |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
for |
i 0 N |
|
||||||
|
|
|
xi a h i |
|||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
f |
i |
g x |
|
||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|||
|
|
S f0 fN |
|
|||||||
|
|
for |
i 1 N 1 |
|||||||
|
|
|
S S |
2 fi |
||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
S S |
4 fi |
||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
S S |
|
h |
|
|
||||
|
3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
simp(a b 10 g) I 3.392 10 6
if mod(i 2) 
0
otherwise
simp(a b 20 g) I 2.115 10 7
ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Вычисление производной от таблично заданной функции
Используется также для приближенного вычисления производных от сложных функций
Задана таблица значений функций:
x |
x0 |
x1 |
x2 |
.. |
xN |
xi, i=0, 1,..., N; a x i b |
|
f |
f0 |
f1 |
f2 |
.. |
fN |
||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Требуется найти F (z) для заданного значения z [a, b]
13
ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Методы решения:
•Построить интерполирующую функцию F(x), x[a,b], найти ее производную F (z)
•Можно использовать кусочно-параболическую, кусочно-кубическую интерполяцию
•Для вычисления производных в узлах будем использовать формулы конечных разностей:
' |
|
|
|
|
|
|
fi 1 |
fi |
|
|
||
f xi |
|
|
|
|
|
|
Разность «вперед» |
|
||||
|
xi 1 |
xi |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
' |
|
|
fi |
|
fi 1 |
Разность «назад» |
|
|||||
f xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
xi 1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
' |
|
|
|
|
fi 1 fi 1 |
Центральная разность |
|
|||||
f xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|||
|
xi 1 xi 1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Геометрическая иллюстрация
|
|
f_ |
|
f+ |
fi |
|
fi+1 |
|
|||
|
|
f
fi-1
xi-1 |
xi |
xi+1 |
Какая формула точнее?
15
ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Оценка погрешности формулы «разность вперед»
|
|
|
|
f ' |
x |
fi 1 fi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Разложим функцию в ряд Тэйлора в точке xi |
|
|
|
||||||||||||||||||||
fi 1 |
f (xi 1 ) f (xi h) fi hfi |
|
|
h2 |
|
|
|
h3 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
fi |
|
fi ..., |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
||
|
|
Подставим в формулу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
h2 |
|
h3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
||||||||||
' |
|
fi hfi |
2 |
fi |
6 |
fi ... fi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
fi |
|
2 fi |
|
6 fi ... |
||||||||||
Главный член погрешности 16
ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Оценка погрешности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ' xi |
fi 1 fi 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
формулы «центральная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
разность» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2h |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
fi 1 |
fi |
hfi |
|
|
|
h2 |
|
|
|
h3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
fi |
6 |
|
fi ..., |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
fi |
hfi |
|
|
h2 |
|
|
|
|
h3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
fi 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
fi |
6 |
.... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
fi hfi |
|
|
h2 |
|
|
fi |
|
h3 |
|
fi |
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
fi |
|
h3 |
fi |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
' |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
... fi hfi |
|
2 |
|
6 |
... |
||||||||||||||||||||||
f xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
fi |
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
6 |
|
fi ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Главный член погрешности 17 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
ПРИМЕР
Вычислить приближенные значения производных от функции f(x)=sin(x) на отрезке [0, /2] c шагом /6.
|
|
f(x) |
|
f(x) точно |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
f+(x) |
|
f_(x) |
|
f (x) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0.954 |
|
- |
|
- |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
0.524 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
0.698 |
|
0.954 |
|
0.827 |
|
|
|
0.866 |
|
|
|
|||||
1.047 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.866 |
|
|
|
0.256 |
|
0.698 |
|
0.478 |
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|||||
1.571 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
- |
|
0.256 |
|
- |
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как получить формулы для вычисления производных в любой точке сетки с любым порядком точности?
18
ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Метод неопределенных коэффициентов
f x0 f0 hf1 f2
неопределенные коэффициенты
Разложим f1, f2
в ряд Тэйлора:
f |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
f |
0 |
|
f |
0 |
|||
|
|||||||||
|
0 |
h |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hf0 ( )
|
|
f |
|
|
|
f |
|
|
|
hf |
|
|
|
h2 |
f |
|
|
|
h3 |
f |
|
..., |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
o |
|
6 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
f |
|
|
|
f |
|
|
|
2hf |
|
|
2h2 |
f |
|
|
4h3 |
f |
.... |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
h3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2h f 2h |
2 |
|
|
4h3 |
||||||||||||
|
h f |
|
|
|
|
f |
|
|
|
f |
|
|
|
f |
|
|
f |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
2 |
|
|
o |
|
6 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
hf |
|
|
2 ) h |
2 |
|
f |
|
|
|||||||||||||||||||||
0 |
( 2 ) |
0 |
( |
2 |
|
|
0 |
( |
6 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
f |
|
|
|
43 )
19
ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Метод неопределенных коэффициентов
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 2, |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 f0 4 f1 f2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch |
2 |
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x0 |
|
|
|
2h |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 fN 4 fN 1 fN 2 |
ch |
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f xN |
|
|
|
|
2h |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f xN |
|
|
3 f |
N |
4 f |
N 1 |
f |
N 2 |
|
|
3 1 4 0.866 0.5 |
0.034 |
Точное |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.047 |
|
|
|
значение =0 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
f x0 |
3 f0 4 f1 |
f2 |
|
|
3 0 4 0.5 0.866 |
1.083 |
Точное |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
значение =1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1.047 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||