Лекция2

ТЕОРЕМА О РАЗЛОЖЕНИИ

Пусть x H – элемент гильбертово пространства, M – подпространство H; тогда существует единственная пара векторов y, z, где y M , z M , таких, что x y z (без доказательства).

Элемент y называется проекцией элемента x на подпространство M Вектор z H, z M – расстояние от элемента x до множества M, Множество элементов z M – ортогональным дополнением M.

Следствием теоремы о разложении является аналог теоремы Пифагора: x 2 y 2 z 2 .

ОРТОГОНАЛЬНЫЙ БАЗИС

где G gij матрица, содержащая попарные скалярные произведения векторов базиса gij (ei ,e j ). Система базисных векторов e1,e 2 , ...,e n называется ортонормированной, если

(ei ,e j ) 1, i j

ij 0, i j .

Каждая система попарно ортогональных ненулевых элементов линейно независима.

Наибольшее число векторов в такой системе не может превышать размерность пространства, поэтому ортонормированная система может служить базисом пространства.

Векторы a,b H могут быть представлены в виде линейной комбинации векторов ортонормированного

ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ

Простота вычисления нормы, координат и скалярного произведения векторов делает ортонормированный базис наиболее удобным для использования. Любой базис можно сделать ортонормированным с помощью специального процесса ортогонализации векторов.

Пусть x1, x2 , x3 , ..., xm – система линейно независимых векторов в пространстве Rm .

Построим ортонормированную систему векторов z1, z 2 , z3 , ..., z m , которая также будет базисом в пространстве Rm . Векторы z k можно построить по следующей схеме:

Проверим, что векторы ортогональны, т.е. y2 , z1 0 :

и проверяем, что z3 ортогонален z 2 , z1 и т.д.

Все вновь построенные векторы zk линейно выражаются через xk , и, наоборот, xk выражается через zk . Ни один из построенных векторов zk не может обратиться в 0.

Действительно, пусть на некотором k-м шаге получен нулевой вектор zk .

Поскольку z k линейно выражается через x1, x 2 , ..., x k , это означает линейную зависимость системы векторов x1, x 2 , ..., x k , что противоречит тому, что эти векторы входят в базис.

ОПЕРАЦИИ НАД ЛИНЕЙНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

Если ядро оператора A состоит из одного нулевого элемента, то он имеет обратный.

Размерность ядра, т.е. число линейно независимых векторов, называется дефектом.

 Образ линейного оператора A : X Y называется множество всех элементов y Ax .

Ранг линейного оператора - размерность образа линейного оператора.

Ранг невырожденного оператора A: Rn Rn равен n, а дефект равен 0.

Пусть A: Rn Rm и размерность ядра оператора равна l. Можно показать, что m + l = n.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ

Пусть e1,e 2 , ...,e n - базис в пространстве Rn.

n

Любой вектор может быть представлен в виде x xje j .

j 1

Подействуем на вектор базиса e j линейным преобразованием A: Rn Rn .

Так как результатом будет также вектор из Rn , разложим его по базису e1,e 2 , ...,e n :

ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦЫ К ДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ

Можно доказать, что система собственных векторов матрицы линейного оператора, отображающего Rn Rn , соответствующих разным собственным значениям, линейно независима.

Если матрица имеет полную систему собственных векторов, то они образуют базис в пространстве Rn , в котором исходная матрица имеет наиболее простой вид.

Матрицы, которые имеют базис, составленный из собственных векторов, называются матрицами простой структуры. Они могут быть приведены к диагональному виду, причем на диагонали будут стоять собственные значения матрицы.

Это означает, что линейное преобразование, соответствующее данной матрице, является преобразованием растяжения по характерному направлению, задаваемому собственным вектором.

Для приведения матрицы к диагональному виду используют линейное преобразование, матрица которого составлена из столбцов, являющихся собственными векторами.

ПРИМЕР

Таким образом, получим матрицу преобразования к базису, составленному из собственных векторов.

В результате перехода к новому базису получена диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят собственные значения.