Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лекция2

.pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
14.03.2016
Размер:
259.39 Кб
Скачать

ТЕОРЕМА О РАЗЛОЖЕНИИ

Пусть x H – элемент гильбертово пространства, M – подпространство H; тогда существует единственная пара векторов y, z, где y M , z M , таких, что x y z (без доказательства).

Элемент y называется проекцией элемента x на подпространство M Вектор z H, z M – расстояние от элемента x до множества M, Множество элементов z M – ортогональным дополнением M.

Следствием теоремы о разложении является аналог теоремы Пифагора: x 2 y 2 z 2 .

ОРТОГОНАЛЬНЫЙ БАЗИС

Пусть в гильбертовом пространстве H размерности n задан базис

ei

 

1,...,n .

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n

Любой элемент H можно разложить по этому базису: a,

 

H,

a ie i ,

 

iei ,

b

b

 

 

в базисе ei .

 

 

 

i 1

 

 

i 1

i , i – координаты векторов a,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

Вычислим скалярное произведение векторов: (a,

 

) j i gij ,

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 1

i 1

 

 

 

 

 

 

где G gij матрица, содержащая попарные скалярные произведения векторов базиса gij (ei ,e j ). Система базисных векторов e1,e 2 , ...,e n называется ортонормированной, если

(ei ,e j ) 1, i j

ij 0, i j .

Каждая система попарно ортогональных ненулевых элементов линейно независима.

Наибольшее число векторов в такой системе не может превышать размерность пространства, поэтому ортонормированная система может служить базисом пространства.

Векторы a,b H могут быть представлены в виде линейной комбинации векторов ортонормированного

n

 

 

n

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

базиса: a je j

, b je j , где j a,e j , j

 

,e j ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

2

j

2

, a,

 

j j .

 

 

 

 

 

b

b

j 1

 

 

j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

j 1

 

 

 

j 1

ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ

Простота вычисления нормы, координат и скалярного произведения векторов делает ортонормированный базис наиболее удобным для использования. Любой базис можно сделать ортонормированным с помощью специального процесса ортогонализации векторов.

Пусть x1, x2 , x3 , ..., xm – система линейно независимых векторов в пространстве Rm .

Построим ортонормированную систему векторов z1, z 2 , z3 , ..., z m , которая также будет базисом в пространстве Rm . Векторы z k можно построить по следующей схеме:

y1 x1,

z1

 

 

y1

,

y2 x 2 x 2 , z1 z1,

z 2

 

 

y2

 

 

.

 

 

y1

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверим, что векторы ортогональны, т.е. y2 , z1 0 :

y2 , z1 x2 x2 , z1 z1, z1 x2 , z1 x2 , z1 z1, z1 0

, так как z1, z1

 

 

 

z1

 

 

 

2 1 .

 

 

 

 

Далее строим z3 : y3 x3 x3 , z1 z1 x3 , z 2 z 2 ,

z3

 

 

y

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и проверяем, что z3 ортогонален z 2 , z1 и т.д.

Все вновь построенные векторы zk линейно выражаются через xk , и, наоборот, xk выражается через zk . Ни один из построенных векторов zk не может обратиться в 0.

Действительно, пусть на некотором k-м шаге получен нулевой вектор zk .

Поскольку z k линейно выражается через x1, x 2 , ..., x k , это означает линейную зависимость системы векторов x1, x 2 , ..., x k , что противоречит тому, что эти векторы входят в базис.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Оператором, действующим на векторном пространстве X, называется отображение, по которому

элементу x X ставится в соответствие элемент

y Y :

y A x ,

или A : X Y .

Пусть X, Y – линейные пространства; x1, x2 X .

A( 1x1

2 x2 ) 1 Ax1

2 Ax2 .

Оператор A : x y называется линейным, если

Если X, Y – нормированные пространства, оператор A : X Y если существует константа C, такая, что Ax C x .

называется ограниченным,

Наименьшая из всех таких констант C называется нормой оператора А.

Неравенство Ax Ax

называют условием согласования норм.

ОПЕРАЦИИ НАД ЛИНЕЙНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

Сложение: U A B , если Ux Ax Bx

x X,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Умножения на константу: V A , если V x Ax

x X .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Произведение

операторов.

Пусть A : Y Z ,

B : X Y . Оператор

C : X Z

является

 

произведением A и B, если Cx A B x A B x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если A, B – линейные операторы, то оператор C = A B тоже линеен, причем

 

 

 

AB

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I – тождественный оператор в X, отображающий любой элемент в себя: I x x

 

 

 

 

 

 

x X .

 

Пусть A : X X , A x y . Обратный оператор A 1

: X X :

A A 1

A 1 A I .

 

Если оператор

A имеет

обратный,

то уравнение

Ax y

имеет

решение:

x A 1 y .

 

Ядро линейного оператора A : X Y - это множество векторов x X, таких, что A x

 

.

 

0

 

Если ядро оператора A состоит из одного нулевого элемента, то он имеет обратный.

Размерность ядра, т.е. число линейно независимых векторов, называется дефектом.

Образ линейного оператора A : X Y называется множество всех элементов y Ax .

Ранг линейного оператора - размерность образа линейного оператора.

Ранг невырожденного оператора A: Rn Rn равен n, а дефект равен 0.

Пусть A: Rn Rm и размерность ядра оператора равна l. Можно показать, что m + l = n.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ

Пусть e1,e 2 , ...,e n - базис в пространстве Rn.

n

Любой вектор может быть представлен в виде x xje j .

j 1

Подействуем на вектор базиса e j линейным преобразованием A: Rn Rn .

Так как результатом будет также вектор из Rn , разложим его по базису e1,e 2 , ...,e n :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

e

j

n

 

a kj

e

k ,

 

j 1, ...,

n .

В силу линейности оператора A имеем

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ax A n

 

x j

e

j

 

n

x j A e j

n

x j n

akj

e

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 1

 

 

 

 

 

j 1

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x (a

11

 

e

1

a

21

e

2

... a

n1

e

n ) x

2

(a

e

1 a

22

e

2 ... a

n

2

e

n )

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

... xn (a1n

e

1 a2 n

e

2 ... ann

e

n )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

1 ( x a

11

x

2

a

12

... x

n

a

1n

) e 2 ( x a

21

x

2

a

22

... x

n

a

2 n

)

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

... e n ( x1an1 x2 an 2

... xn ann )

n

e

j n

xk a jk .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 1

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ

 

 

 

 

 

y A x

 

 

 

 

 

 

n

Пусть

y , y

2

, ..., y

n – координаты вектора

в том же базисе

e1

,e 2

, ...,e n

, т.е.

y y je j

1

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

В силу единственности разложения по базису имеем y j

a jk xk , или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y1 x1a11

x2a12

... xna1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2 x1a21

x2a22

... xna2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yn x1an1

x2an2 ... xnann

 

 

 

 

 

Каждому линейному оператору A в базисе e1,e 2 , ...,e n соответствует квадратная матрица:

a ...

11

A ... ...

an1 ...

a1n

...

ann .

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦЫ ПРИ ПЕРЕХОДЕ К НОВОМУ БАЗИСУ

Пусть линейный

оператор в базисе

e1,e 2 , ...,e n , имеет матрицу

j 1,...,m

A {aij }i 1,...,n ,

а в базисе g1, g 2 , ..., g n

j 1,...,m

 

– матрицу A {a ij }i 1,...,n

. Найдем, как связаны между собой матрицы A, A .

Обозначим через

C {c

}j 1,...,n

матрицу перехода от базиса

e1

,e 2

, ...,e

ij

i 1,...,n

 

 

 

gi Cei . Матрица С соответствует линейному преобразованию Rn Rn .

Поскольку это преобразование переводит базис в базис, то оператор существует обратный C 1 , e i C 1g i , i 1, ...,n .

n

Поскольку А – матрица оператора в базисе g1, g 2 , ..., g n , то Agi aij g j .

j 1

Применяя к обеим частям равенства оператор C 1 , получим

n к базису g1, g 2 , ..., g n , т.е.

С невырожден, и для него

 

 

 

n

 

n

 

 

 

 

n

C 1 Ag i

C 1 aij g j aijC 1g j

aije j .

 

 

 

j 1

 

j 1

 

 

 

 

j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

Подставляя в левую часть равенство gi Cei , получим C 1 ACei aije j ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 1

 

1

 

 

 

1

2

 

 

n

 

Следовательно, матрицей оператора C

 

A C в базисе e ,e

 

, ...,e

 

 

 

 

является матрица A , т.е.

 

 

 

C

1

A C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦЫ К ДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ

Можно доказать, что система собственных векторов матрицы линейного оператора, отображающего Rn Rn , соответствующих разным собственным значениям, линейно независима.

Если матрица имеет полную систему собственных векторов, то они образуют базис в пространстве Rn , в котором исходная матрица имеет наиболее простой вид.

Матрицы, которые имеют базис, составленный из собственных векторов, называются матрицами простой структуры. Они могут быть приведены к диагональному виду, причем на диагонали будут стоять собственные значения матрицы.

Это означает, что линейное преобразование, соответствующее данной матрице, является преобразованием растяжения по характерному направлению, задаваемому собственным вектором.

Для приведения матрицы к диагональному виду используют линейное преобразование, матрица которого составлена из столбцов, являющихся собственными векторами.

ПРИМЕР

 

5

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8,

3.

A

3

6

.

Собственные значения

 

 

1

2

 

2

1

 

C

1

1

 

 

1

1

 

 

3

 

и найдем обратную.

 

5

 

3

2

 

Запишем собственные векторы в матрицу: C

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, получим матрицу преобразования к базису, составленному из собственных векторов.

 

 

 

1

 

2

2

 

5

2

2

1

8

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

Проверим: A C

A C

 

5

 

3

4

 

 

 

3

6

 

 

3

1

=

0

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В результате перехода к новому базису получена диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят собственные значения.

Нормированные собственные вектора e

1

 

 

 

 

 

x

 

 

2

 

, 3

 

T

, e

2

 

 

 

 

 

y

 

 

1

 

, 1

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

.

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица перехода:

C

 

(совпадает с найденной в MathCAD)

 

 

 

 

 

3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.