4. Полиномиальная сводимость. Np-полные языки и задачи.

Какова связь между определёнными выше классами задач P и NP? Очевидно, что (стадия угадывания отсутствует). Естественным кажется предположить, что включение является строгим, однако это утверждение в настоящее время не доказано. Самым сильным доказанным фактом является утверждение

Теорема 4.1. Если , то существует полином, что может быть решена детерминированным алгоритмом с временной сложностью .

Поэтому все утверждения в теории NP-полных задач формулируются, исходя из предположения, что . Цель теорииNP-полных задач заключается в доказательстве более слабых результатов вида: «Если , то». Данный условный подход основывается на понятии полиномиальной сводимости.

Определение. Язык полиномиально сводится к языку, что обозначается, если существует функция, удовлетворяющая условиям:

1. Существует ДМТ-программа M, вычисляющая f с временной сложностью, ограниченной полиномом, т.е. при некоторомk;

2. Для любого в том и только том случае, если.

Пусть – задачи распознавания, а– их схемы кодирования, то задача₁ полиномиально сводится к задаче ₂ (обозначается ), если.

Например, задача существования гамильтонова цикла полиномиально сводится к задаче коммивояжера. Для сведения задачи достаточно положить , если, и, в противном случае. ГраницаB для длины искомого пути берётся равной , где.

Рассмотрим свойства полиномиальной сводимости.

Лемма 1. Если , то изследует, что.

Доказательство. Пусть – алфавиты языковсоответственно. Так как, то существует отображение. Обозначим через:

–полиномиальную ДМТ-программу, реализующую это отображение;

–программу распознавания языка ;

–программу распознавания языка .

Программа распознавания языка может быть построена как композиция программи. Ко входуприменяется программа, которая строит, затем кприменяется программа, определяющая верно ли, что. Так как , то эта программа является программой распознавания языка.

Оценим временную сложность этой программы. Так как , то. Если, то. Тогда==, где. Следовательно,. Лемма доказана.

Лемма 2. Если и, то.

Доказательство аналогично, выполнить самостоятельно.

Определение. Язык L называется NP-полным, если и любой другой языкполиномиально сводится кL ().

Аналогично определяются NP-полные задачи.

Лемма 3. Если ,являетсяNP-полным и , тоявляетсяNP-полным.

Доказательство. Так как , то достаточно показать, что для любого языкасправедливо. ЯзыкявляетсяNP-полным, а, следовательно, . По условию, поэтому, в силу транзитивности отношения (лемма 2) получим .

Лемма 3 даёт рецепт доказательства NP-полноты задачи , для этого нужно показать, что:

1. ;

2. NP-полная задача полиномиально сводится к.

Для того чтобы доказывать NP-полноту с помощью полиномиальной сводимости нужно доказать существование хотя бы одной NP-полной задачи. Это сделал в 1971 году С. Кук, а такой задачей явилась задача “выполнимость”.

Задача “выполнимость”. Задано множество логических переменных и составленный из них набор элементарных дизъюнкцийC. Существует ли набор значений множества X, на котором истинны все дизъюнкции множества С?

Эквивалентная формулировка данной задачи: “Является ли выполнимой формула, равная конъюнкции всех элементарных дизъюнкций множества С над множеством высказывательных переменных X?”

Теорема 4.2.(Кука) Задача “выполнимость” является NP-полной.

Рассмотрим основную идею доказательства теоремы. Покажем, что произвольную задачу  из NP можно свести к задаче выполнимость за полиномиальное время.

Так как , то существует НДМТ-программаM её распознавания с полиномиальным временем работы. Построим группы дизъюнкций, описывающие работу программы M и принимающие значения 1 тогда и только тогда, когда программа M принимает входное слово .

Пусть , так как, то число шагов МТ-программы ограничивается числом, а номера ячеек ограничены интервалом.

Обозначим:

t – момент времени (номер шага программы) ;

k – номер состояния машины , где,;

j – номер просматриваемой ячейки ;

l – номер символа алфавита  , где.

При построении дизъюнкций будут использоваться предикаты:

–в момент времени t программа находится в состоянии ;

–в момент времени t головка просматривает ячейку j;

–в момент времени t в ячейке j находится символ .

При фиксированных значениях предметных переменных они являются высказываниями и могут трактоваться как высказывательные переменные, принимающие различные значения в зависимости от значений параметров.

Выпишем теперь требуемые группы дизъюнкций и оценим количество дизъюнкций в каждой группе.

1. Группа дизъюнкций описывает конфигурацию программы в начальный момент времениt₀:

   1. –в момент времени 0 программа находится в состоянии q₀;

   2. –в момент времени 0 головка просматривает 1-ю ячейку;

   3. –в момент времени 0 в 0-й ячейке находится символ b;

   4. , , , – в момент времени 0 в ячейках с номерами с 1-й поn-ю записано входное слово x;

   5. , , , – в момент времени 0 ячейки с номерами сn+1 по пусты.

Общее число этих дизъюнкций равно .

2. Группа содержит утверждения: “В каждый моментt программа M находится только в одном состоянии”. Они записываются следующими дизъюнкциями:

   1. , ;

   2. , .

Число таких дизъюнкций равно .

3. Группа содержит утверждения: “В каждый моментt головка просматривает только одну ячейку”. Аналогично получим:

   1. , :

   2. , .

Количество дизъюнкций группы равно .

4. Группа содержит утверждения: “В каждый моментt каждая ячейка содержит только один символ алфавита :

   1. , ,;

   2. , .

Количество дизъюнкций группы равно .

5. Группа описывает переход машинной конфигурации в следующую, согласно функции переходов (). Введём вспомогательную переменную, выражающую конфигурацию программы в моментt, где ,,. Тогда переход в следующую конфигурацию представляется набором дизъюнкций:

   1. (представление в виде ДНФ высказывания );

   2. ();

   3. ().

Общее число этих дизъюнкций равно .

Кроме того, если в момент t ячейка j не просматривается, то её содержимое не меняется. Это описывается высказыванием , которое эквивалентно дизъюнкции

4. .

Количество дизъюнкций d) равно .

6. Группа , отражающая утверждение “Не позднее, чем черезшагов программа перейдёт в состояниеq_Y”, состоит из единственного высказывания .

Таким образом, если , то у программыM есть на входе x принимающее вычисление длины не более , и это вычисление даёт при заданной интерпретации переменных набор значений истинности, который выполняет все дизъюнкции из. И наоборот, набор дизъюнкцийС построен так, что любой выполняющий набор истинности для С должен соответствовать некоторому принимающему вычислению программы M на входе x.

Осталось показать, что для любого фиксированного языка L индивидуальная задача “выполнимость” может быть построена за время ограниченное полиномом от. В качестве функции длины для задачи “выполнимость” можно взять . Так каки, то. Следовательно, задача “выполнимость” является NP-полной.

3