3. Отношение эквивалентности в ив

Определим эквивалентность формул в исчислении высказываний.

Определение 1. Формулы U и B называются эквивалентными, что обозначается |, если

|(1)

Рассмотрим некоторые простые свойства отношения эквивалентности.

1. Рефлексивность: |.

2. Симметричность: если |, то |.

3. Транзитивность: если |и |, то |.

Задание 1. Доказать свойство симметричности отношения эквивалентности.

Решение.

1. |

2. |

3. |

Из свойств отношения эквивалентности следует, что множество формул исчисления высказываний разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных друг другу формул (классы эквивалентности). Следовательно, все теоремы исчисления высказываний образуют один класс эквивалентных формул.

В исчислении высказываний имеют место следующие эквивалентности, которые соответствуют аналогичным свойствам отношения эквивалентности алгебры высказываний.

1. |.

2. |

3. |

4. |

5. |

6. |

7. |

8. |

9. |

10. |

11. |

12. |

Для того чтобы доказать эквивалентность |в исчислении высказываний достаточно построить выводы|и|. Покажем, что если|и |, то |.

1. |	по условию
2. |	по условию
3. |	5 (1)
4. |	5 (2)
5. ,|	7
6. |	4 (3, 4, 5)

Последняя формула, в силу определения, означает .

Теорема эквивалентности. Если и- формулы, полученные заменой некоторых (одних и тех же) вхождений какой-либо высказывательной переменной в формулеU соответственно формулами и, то

|.

Следствие. Если есть некоторая подформула формулыU и эквивалентна формуле, то формула, полученная заменойв формулеU на , эквивалентнаU. Иными словами, если , то.

Свойства 2, 4, 10 и теорема эквивалентности позволяют формулу, составленную из высказывательных переменных лишь с помощью операции дизъюнкции, преобразовать к виду

.

Аналогично формула, составленная из с помощью операции конъюнкции эквивалентна формуле

.

Это позволяет дать определение понятиям нормальных форм исчисления высказываний, которые совпадают с соответствующими определениями алгебры высказываний.

Теорема 3.1. Для каждой формулы исчисления высказываний существуют эквивалентные ей дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы.

4. Исчисление секвенций ис.

Исчисление высказываний генценовского типа называется исчислением секвенций ИС.

Алфавит ИС состоит из символов алфавита ИВ, дополненных символом |. Допустимые последовательности символов – формулы определяются также как и в ИВ, кроме того, в ИС вводится понятие секвенция.

Пусть U₁, U₂, . . . ,U_n, V – формулы ИС. Секвенциями называются конечные последовательности следующих двух видов:

1. U₁, U₂, . . . ,U_n | V (из истинности U₁, U₂, . . . ,U_n следует истинность V);

2. U₁, U₂, . . . ,U_n |- (система формул U₁, U₂, . . . ,U_n противоречива).

Множество аксиом ИС определяется единственной схемой секвенций U |- U. Правила вывода ИС определяются следующими записями, где T, T₁ – конечное множество формул (возможно пустое).

1. (введение ).

2. (удаление ).

3. (удаление ).

4. (введение ).

5. (введение ).

6. (удаление  или правило разбора двух случаев).

7. (введение ).

8. (удаление ).

9. (удаление  или доказательство от противного).

10. (выведение противоречия).

11. (перестановка посылок).

12. (уточнение или правило лишней посылки).

Исчисления ИВ и ИС эквивалентны.